13.5.2009

1. Gitterebenen (Netzebenen) und Millersche Indizes Beschreibung einer Ebene im Punktgitter: • Schnittpunkte in Einheiten der Basisvektoren m1, m2, m3 (Bsp: 3, 1, 2) • bilde Kehrwerte: 1/m1, 1/m2, 1/m3 (Bsp.: 1/3, 1/1,1/2) • Multiplikation mit kleinster ganzen Zahl p, so dass teilerfremde ganze • Zahlen entstehen h = p/m1, k = p/m2, l = p/m3 (Bsp.: 6/3, 6/1, 6/2) • (hkl) Millersche Indizes, beschreiben Lage dieser und aller dazu äquivalenter Ebenen (Ebenenschar) Normalenvektor n = [hkl], steht senkrecht auf Ebenenschar 3.) Strukturbestimmung – Grundlagen der Beugungstheorie Lokale Verfahren (STM, AFM, Elektronenmikroskopie,…) Beugungsverfahren (nutzen Periodizität) 13.5.2009 24 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

2. Beugungsverfahren • Kriterien für Wahl der Quelle: • geeignete Wellenlänge, insbesondere  < Gitterparameter! • Wechselwirkung mit der Materie (z.B. stark für Elektronen, schwach für Photonen) 3.1) Beugungstheorie Beobachter P B Quelle Probe Q ebene Wellen 13.5.2009 25 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

3. Annahmen: • Eben einfallende Welle • Kohärente Streuung (einfallende Welle rege Materie an allen Punkten P zur Emission von Kugelwellen an; • es besteht feste Phasenbeziehung zwischen Primärstrahlung und angeregten Kugelwellen • 3) Einfachstreuung Amplitude der einfallenden Strahlung am Ort P zur Zeit t mit () Streubeitrag der Kugelwelle des Ortes r zur Amplitude bei B () Streudichte, enthält gesuchte Information über Gitterstruktur Amplitude der auslaufenden Kugelwelle am Ort B; A  Abstand-1 13.5.2009 26 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

4. K k k0 Berücksichtigt man, dass und () mit () und () ergibt sich: Gesamte Streuamplitude durch Integration über Probe: Messgröße: Streuintensität I elastische Streuung k0 = k mit dem „Streuvektor“ 13.5.2009 27 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

5. Beachte: Streuintensität  Fourier-Transformierten der Streudichte bzgl. Streuvektor2 vgl. Optik: I   Fourier-Transformierten des beugenden Objektes2 3.2) Periodische Strukturen und reziprokes Gitter Wenn (r) periodisch, kann Funktion in Fourier-Reihe entwickelt werden für gerade Funktion in 1D: Atompositionen Periodizität: 1 = a = 2/k1 (x) x a 13.5.2009 28 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

6. g1, g2, g3: linear unabhängig mit für Spezialfall n2 = n3 = 0 Erweiterung auf periodische Strukturen in 3D G muß so gewählt werden, dass gilt (r + rn) = (r) mit beliebiger Gittervektor Forderung ist äquivalent zu: mit ganzer Zahl m und für alle n1, n2, n3 denn damit gilt: Zerlege G in eine (zunächst noch nicht festgelegte) Basis: findet man: und 13.5.2009 29 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

7. Bemerkungen • Basisvektoren gi spannen das reziproke Gitter auf • Gitterpunkte G = hg1 + kg2 +lg3 werden durch Zahlentripel (hkl) festgelegt • dabei sind (hkl) die Millerschen Indizes • 3) Konstruktionsvorschrift für die gi‘s : • g1 steht senkrecht auf der von a2 und a3aufgespannten Ebene • g2, g3 entsprechend • mit |g1a1| = |g1||a1|cos(g1, a1) = 2  |g1| = 2|g1|-1|a1|-1cos(g1, a1)-1 Bedingungen werden erfüllt durch: Aus analogen Betrachtungen der anderen Spezialfälle ergibt sich: = 2, i = j = 0, i j 13.5.2009 30 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

8. Der reziproke Gittervektor steht senkrecht • auf der mit (hkl) bezeichneten Netzebenenschar • 2) dhkl mit und Ghkl  () endlich, nur für 0, sonst Erinnerung: Integral in () ≡ Fourier-Darstellung der -Funktion, d.h. = Beugungsreflexe nur dann, wenn gilt: („Laue-Bedingung“) Es gelten folgende Aussagen: (hkl) 3.3) Die Streubedingung bei periodischen Strukturen 20.5.2009 31 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

9. (02) (12) (22) (01) (11) (21) (00) (10) (20) k k0 K 3.4) Laue-Bedingung und Ewald-Kugel 2D-Projektion des reziproken Gitters (Erinnerung: jeder Punkt repräsentiert eine Netzebenenschar) Konstruktion der Ewald-Kugel • zeichne k0 mit Spitze auf (000) weisend in rez. Gitter • zeichne Kreis mit Radius |k|=|k0| um Ursprung von k0 • an Stellen, wo Kreis Punkte des rez. Gitters trifft, gilt • K = k - k0 = G(hkl) •  es entsteht Beugungsreflex I(hkl) (im Beispiel I(12)) bei gegebener fester Wellenlänge des einfallenden Lichtes und gegebener Orientierung des Kristalls (und damit auch des rez. Gitters) wird i.Allg. die Beugungsbedingung nicht erfüllt sein  keine Beugungsreflexe 20.5.2009 32 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

10. (02) (12) (22) (01) (11) (21) (00) (10) (20) k1 k0 Techniken zur Erfüllung der Beugungsbedingung • Laue-Methode verwende kontinuierliches Spektrum • k0 k  k1, d.h. 2/1  2/  2/0 alle rez. Gitterpunkte im schraffierten Bereich erfüllen Laue-Bdeingung 2) Drehkristall-Methode Kristall (und rez. Gitter) rotiert langsam k0 3) Pulver-Verfahren (Debye-Scherrer-Verfahren Pulverprobe k0 Pulverprobe, feinkristallin mit statistisch verteilter Orientierung der Kristallite 20.5.2009 33 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

11.   dhkl Umformung ergibt:  ½ Gangunterschied: dhklsin 3.5) Braggsche Deutung der Beugungsbedingung k0 k schwach reflektierende Netzebenen (hkl) Intensität der gebeugten Strahlung nur in Richtungen, wo konstruktive Interferenz auftritt, d.h. ein Gangunterschied vorliegt von: n: Ordnung der Reflexe d.h., Wellen verhalten sich so, als würden sie an den Netzebenen reflektiert 20.5.2009 34 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

12.  (11) (10) g1 g2 (01) 3.6) Die Brillouinschen Zonen (BZ) 1. BZ hat fundamentale Bedeutung für Beschreibung der elektronischen Eigenschaften elementare Umformung von () alle Vektoren k0, die () erfüllen, liegen auf den Mittelsenkrechten der rez. Gittervektoren ausgehend vom Ursprung (000) (01) Betrachte 2D-Projektion des rez. Raumes eingeschlossenes Volumen: Wigner-Seitz-Zelle im reziproken Raum ≡ 1. Brillouin-Zone (10) (00) (11) Laue-Bedingung ist erfüllt für alle k Vektoren, die auf dem Rand der 1. BZ enden 20.5.2009 35 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

13. 20.5.2009 36 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

14. 20.5.2009 37 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

15. 20.5.2009 38 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang