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直线与平面垂直. 一．知识概括. １．直线与平面垂直的定义 ： 如果一条直线 l 和一个平面 α 相交，并且和平面 α 内 直线都垂直，我们就说直线 l 和平面 α 互相垂直其中直线 l 叫做平面的垂线，平面 α 叫做直线 l 的垂面交点叫做垂足. 任意一条. 直线 l 与平面 α 垂直记作： l ⊥ α. 2 ，直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的 都垂 直， 那么这条直线垂直于这个平面. 两条相交直线. 练习 1 ：判断题 . ( ). 正确. ( ).
E N D
一．知识概括 １．直线与平面垂直的定义： 如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内 直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面交点叫做垂足 任意一条 直线l与平面α垂直记作：l⊥α 2，直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的都垂 直， 那么这条直线垂直于这个平面 两条相交直线
练习1：判断题 ( ) 正确 ( ) 错误 ( ) 正确 （4）如果一条直线垂直于平面内的无数条直线， 那么这条直线垂直这个平面 ( ) 错误
二.例题分析 例1 已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC， D为AC的中点，DE⊥AP于E． 求证：AP⊥平面BDE；
例2．如图，ＰＡ⊥矩形ＡＢＣＤ所在的平面，例2．如图，ＰＡ⊥矩形ＡＢＣＤ所在的平面， Ｍ、Ｎ分别是ＡＢ、ＰＣ的中点， （1）求证：ＭＮ⊥ＣＤ （2）若 ，求证：ＭＮ⊥面ＰＣＤ
证法一 证明：（１） 取PD的中点E，连接AE、NE ∵E、N 分别为PD、PC的中点 ∴NE ∥CD且 NE = ½ CD 又∵CD∥AB 且 CD=AB ∴NE ∥AB且 NE = ½ AB 又M为AB的中点 ∴AM∥NE且 AM = NE 即四边形AMNE是平行四边形 ∴MN∥AE 又PA⊥面ABCD ∴PA⊥CD 又AD⊥CD AD∩PA=A ∴CD⊥面PAD ∴CD⊥AE 从而CD⊥MN
证法二 取ＣＤ的中点Ｆ，连结ＮＦ、ＭＦ ∵Ｍ、Ｆ 分别为ＡＢ、ＣＤ的中点 ∴ＭＦ ∥ＡＤ ∵CD⊥ＡＤ ∴CＤ⊥ＭＦ （１） 又∵Ｎ、Ｆ 分别为ＰＣ、ＣＤ的中点 ∴ＮＦ ∥ＰＤ 由证法（１）知CD⊥面ＰＡＤ ∴CD⊥ＰＤ ∴CD⊥ＮＦ （２） 又ＭＦ∩ＮＦ=Ｆ （３） 由（１）、（２）、（３）知 CＤ⊥面ＭＮＦ，从而CＤ⊥ＭＮ
（2）若 ，求证：ＭＮ⊥面ＰＣＤ（2）若 ，求证：ＭＮ⊥面ＰＣＤ (证法一) 证明： ∵PA⊥面ABCD ∴PA⊥AD 又∵ ∴△PAD是等腰直角三角形 ∴AE⊥PD 由（1）知CD⊥面PAD ∴ CD⊥AE PD∩CD=D ∴AE⊥面PCD (证法二) 又MN∥AE ∴MN⊥面PCD
练习1：如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ是圆周上的一点，练习1：如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ是圆周上的一点， ＰＡ垂直于⊙O所在的平面，ＡＦ⊥ＰＣ 求证：AF⊥平面ＰＢＣ． Ｐ Ｆ Ｃ Ａ Ｂ
练习2：已知：空间四边形ＡＢＣＤ，ＡＢ＝ＡＣ，练习2：已知：空间四边形ＡＢＣＤ，ＡＢ＝ＡＣ， ＤＢ＝ＤＣ，连接ＡＤ． 求证：ＢＣ⊥ＡＤ
三．小结 线面垂直的常用方法： （１）定义法 （２）线面垂直的判定定理 （３）两条平行线中的一条垂直于一个平面， 另一条也垂直于这个平面 （４）一条直线垂直于两个平行平面中的一个， 也垂直于另一个平面
四．作业 复习资料:第59—60页 双基快速达标1-5
