一、本章要点

1. 一、本章要点 1．极限 2 ．极限的运算法则，两个重要极限 3 ．无穷小与无穷小的比较 4 ．连续函数

2. 1．极限 数列的极限 　　 ， ，当 时，有

3. ⑴ ，　 ，当 时，有 ⑵ ，　 ，当 时，有 函数的极限

4. ，　，当 　 时，有 ，　，当 　 时，有 单侧极限 定理

5. ，　　　，当 时，有 ，　　　，当 时，有 定理

6. 2．极限运算法则， 两个重要极限 设 ， ，则 ⑴ ⑵ ⑶ 若 ，

7. ⑷ 设 ， ，且 当　　　时，　　　　，则

8. 　 准则I (夹逼定理) 如果数列 ， ， 满足下列条件： ⑴ ， ⑵ ， 那么数列　　的极限存在，且 极限存在准则

9. 　 准则I'(夹逼定理) 如果函数 ， ， 满足下列条件： ⑴ 当　　　　　　(或　　　　)时，　　 　　　 ， ⑵ ， 那么　　　　　存在，且

10. 准则II 单调有界必有极限．

11. 两个重要极限

12. 3．无穷小与无穷小的比较 无穷小 若 ，则称 为无穷小． 设 为无穷小， ⑴ ， 为 的高阶无穷小，记作 ⑵ ，则称是 的同阶无穷小．

13. ⑶ 　　 ，则称是 的k阶无穷小． ⑷ ，则称与 是等价无穷小, 记作

14. 当 时，常用的等价无穷小：

15. 4．连续函数 ⑴函数 在 处连续 ，　　　 ，当 时，有

16. 左连续　　　　　　　　 ， 右连续　　　　　　　　 ． 定理 函数 在 点连续 在 点既是左连 续的又是右连续的． ⑵单侧连续

17. 若函数 在 点不连续，则 称为函数的间断点． 设 为 的间断点： ① 存在， 为可去间断点； 第一类间断点 ②　　　　　　　　　　　； • ， 至少有一不存在． ⑶ 间断点及间断点的分类 第二类间断点．

18. 闭区间上连续函数的性质 设 在闭区间 上连续，则 • ① 在闭区间 上有界且可取到最大值和最 • 小值． • ② 在闭区间 上可取到介于最大值和最小 • 值中的一切值． ③ 若　 ，则　　　　　 ，使　　　　 ． 定理 初等函数在定义域内为连续函数．

19. 二、例题选讲 例1 证明　　　　　　　　． 证 ，因 故，取 ，当 时，有

20. 即 　　　 　　　　　　　　　　．

21. 例2 证明 ． 证 ，因 ， 取 ，当 ，即 时，有

22. 令 ，当 时，有 即

23. 例3 设数列 满足 ， 其中 ，证明： 证 由条件，得 ，令 ，则有　　　　　　　　　　　　， 又　　　 　　　　　　　　　， 由夹逼定理，得

24. ⑴ ； ⑵　　　　　　　　 ； ⑶ ； ⑷　　　　　　　　； ⑸ 例4 求下列极限：

25. ⑴ 解

26. ⑵

27. ⑶

28. ⑷

29. 因 ⑸　　　　　　　　， 所以

30. 例5 ，求常数　　． 解 令　　　　　　　　 ，　　　　　　　　　　 ， 故 ， 原式为

31. 例6 ，求　　． 解

32. 例7 求极限　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 解 令 ， 则 　　　　　　　 　， 　 　　　　　　 　　 ， 得 　 ．

33. 例8 设 ，求 　 　　　　　　　　 ． 解 设 ， 则　　　 　　　　　　　　　　　　　　， 又 ，故

34. 例9 设数列 满足 证明： 存在，并求此极限． 即：数列是 单调上升的．又 ，故数列的极限 存在，设其为　，则　　　． 证 由条件

35. 即 解得　　　　　 　　， 　 (舍去)． 原式两边取极限，得

36. 例10 设 ，　 　， ⑴证明数列 自第二项起单调下降且有下界； ⑵求 因 证 先证 ，

37. 即 若设 　　　　，则

38. 故数列 单调下降且有下界，故 存在，设 其为 ，则在 解得 　　　 ，即 两边取极限，得

39. 例11 ． 解 因

40. 故

41. 例12 求极限　　　　　　． 解

42. 例13 求极限 解 令　　　　，则　　　 时， 　　， 故

43. 例14 求极限 解 因

44. 所以

45. 例15 求极限 ，其中 解

46. 注意到： 故原极限为

47. 例16 求 解 令 则 且　　　　时，　　　．

48. 所以

49. 例17 确定 使 解

50. 由此得