• 320 likes • 702 Views
第六章 线性空间与线性变换. 第一节 线性空间的定义与性质 第二节 维数、基与坐标 第三节 基变换与坐标变换 第四节 线性变换 第五节 线性变换的矩阵表示式. 第一节 线性空间的定义与性质. 6.1.1 线性空间的定义 6.1.2 线性空间的性质. 返回. 6.1.1 线性空间的定义.
E N D
第六章 线性空间与线性变换 • 第一节 线性空间的定义与性质 • 第二节 维数、基与坐标 • 第三节 基变换与坐标变换 • 第四节 线性变换 • 第五节 线性变换的矩阵表示式
第一节 线性空间的定义与性质 • 6.1.1 线性空间的定义 • 6.1.2 线性空间的性质 返回
6.1.1 线性空间的定义 • 定义1设V是一个非空集合,R为实数域,如果对于任意两个元素α,β∈V ,总有唯一的一个元素γ∈V与之对应,称为α与β的和,记作γ=α+β;又对于任一数λ∈R与任一元素α∈V,总有唯一的一个元素δ∈V与之对应,称为λ与α的积,记作δ=λα;并且这两种运算满足以下八条运算规律(设α,β,γ∈V;λ,μ∈R): (1)α+β=β+α;
(2)(α+β)+γ=α+(β+γ); (3)在V中存在零元素;对任何α∈V,都有 α+0=0+α; (4)对任何α∈V,都有α的负元素β∈V,使 α+β=0; (5)1α=α; (6)λ(μα)= (λμ)α; (7)(λ+μ)α= λα+μα; (8)λ(α+β)=λα+λβ. 那么,V就称为(R上的)向量空间(或线性空间),V中的元素称为(实)向量. 返回
6.1.2 线性空间的性质 • 性质1 零元素是唯一的. • 性质2 任意元素的负元素是唯一的. • 性质3 0α=0;(-1)α=-α;λ0=0. • 性质4如果λα=0,则λ=0或α=0.
定义2 设V是一个线性空间,L是V的一个非空子集,如果L对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间,则称L为V的子空间. • 定理1 线性空间V的非空子集L构成子空间的充要条件是: L对于V中的线性运算封闭. • 例1 次数不超过n的多项式的全体,记作P[x]n,即 P[x]n= 对于通常的多项式加法、数与多项式的乘法构成向量空间.这是因为:通常的多项式加法、数与多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律,故只要验证P[x]n对运算封闭:
(1)加法: (2)数乘: 所以P[x]n是一个向量空间. • 例2P[x]n是线性空间P[x](P[x]是所有一元多项式的集合)的子空间. 返回
第二节 维数、基与坐标 • 6.2.1 线性空间的基、维数与坐标 • 6.2.2 应用 返回
6.2.1 线性空间的基、维数与坐标 • 定义3 在线性空间V中,如果存在n个元素 ,满足: (1) 线性无关; (2)V中任一元素 总可由 线性表示. 那么, 就称为线性空间V的一个基,n称为线性空间V的维数.只含一个零元素的线性空间没有基,规定它的维数为0.
定义4 设 是线性空间Vn的一个基.对于任一元素 ∈Vn,总有且仅有一组有序数 使 则 这组有序数组就称为元素 在 这个基下的坐标,并记作 返回
6.2.2 应用 • 例1 求 在一个基 , , 下的坐标. • 解:设 ,即 得非齐次线性方程组
由克莱姆法则解得: 即 是 在基向量 下的坐标.
同构: 一般地,设V与U是两个线性空间,如果在它们的元素之间有一一对应关系,且这个对应关系保持线性组合的对应(即当α,β∈V且x,y∈R时,若α x 且β y ,有α+β x+y和λα λx),那么就说线性空间V与U同构. 返回
第三节 基变换与坐标变换 • 6.3.1 基变换与坐标变换的概念 • 6.3.2 应用 返回
6.3.1 基变换与坐标变换的概念 • 定义4 设 及 是线性空间Vn中的两个基, (1) 把 这n个有序元素记作 ,利用向量和矩阵的形式,上式可表示为
(2) 或 则(1)或(2)称为基变换公式,矩阵P称为由基 到基 的过渡矩阵.由于 线性无关,故过渡矩阵P可逆.
定理2 设Vn中的元素 ,在基 下的坐标为 ,在基 下的坐标为 .若两个基满足关系式 则有坐标变换公式 或 返回
6.3.2 应用 • 例2 设有两组基 , , 和 , , 求由基 到基 的过渡矩阵. • 解:设由基 到基 的过渡矩阵为A,基变换为
于是 所以 返回
第四节 线性变换 • 6.4.1 线性变换的概念 • 6.4.2 线性变换的性质 返回
6.4.1 线性变换的概念 • 定义5 设有两个非空集合A与B,如果对于A中任一元素α,按照一定的规则,总有B中一个确定的元素β和它对应,那么,这个对应规则称为从集合A到集合B的映射.记作T:β=T(α)或β=Tα(α∈A);β称为α在映射T下的像, α称为β在映射T下的源;A称为映射T的源集,像的全体所构成的集合称为像集,记作T(A),即 T(A)={β=T(α)|α∈A} 显然 T(A) B.
定义6 设Vn,Um分别是实数域上的n维和m维线性空间,T是一个从Vn到Um的映射,如果映射T满足: (1)任给 ,(从而 ),有 (2)任给 ,(从而 ),有 那么,T就称为从Vn到Um的线性映射,或称为线性变换. 特别,如果Vn=Um,则T是一个从线性空间Vn到自身的线性映射,称为线性空间Vn中的线性映射.
例1 设T是 的一个变换,对任意 定义 这是 的一个线性变换,其几何意义是将向量 投影到xoy平面上.此线性变换也称为投影变换. 返回
6.4.2 线性变换的性质 • 性质1T0=0,T(-α)=-Tα; • 性质2 若 ,则 ; • 性质3 若 线性相关,则 亦线性相关; • 性质4 线性变换T的像集T(Vn)是一个线性空间(Vn的子空间),称为线性变换T的像空间; • 性质5 使Tα=0的α的全体 ST={α|α∈Vn,Tα=0} 也是Vn的子空间.ST称为线性变换T的核. 返回
第五节 线性变换的矩阵表示式 • 6.5.1 线性变换的矩阵表示式 • 6.5.2 线性变换与矩阵的关系 返回
6.5.1 线性变换的矩阵表示式 • 定义7 设T是线性空间Vn中的线性变换,在Vn中取定一个基 ,如果这个基在变换T下的像(用这个基线性表示)为 记 ,上式可表示为
其中 那么,A就称为线性变换T在基 下的矩阵. 返回
6.5.2 线性变换与矩阵的关系 • 线性变换与矩阵之间的一一对应的关系: 在Vn中取定一个基以后,由线性变换T可唯一的确定一个矩阵A,由一个矩阵A也可以唯一的确定一个线性变换T,这样,在线性变换与矩阵之间就有一个一一对应的关系. • 例1 在上节例1中,T表示向量投影到xoy平面的线性变换,即T(xi+yj+zk)=xi+yj, (1)取基为I,j,k,求T的矩阵; (2)取基为α=i,β=j,γ=i+j+k,求T的矩阵.
解:(1) 即 (2) 即
定理3 设线性空间Vn中取定两个基 由基 到基 的过渡矩阵为P,Vn中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B,那么 . • 例2 设 中的线性变换T在基 下的矩阵为 求T在基 下的矩阵.
解:用相似关系求线性变换的矩阵.因为 所以过渡矩阵为 求得
于是T在基 下的矩阵为 返回