圆的一般方程

圆的一般方程 沛县张寨中学张丙林

一、复习回顾: 圆的标准方程的形式是怎样的？其中圆心的坐标和半径各是什么？

[想一想] ：若把圆的标准方程 展开后，会得出怎样的形式？二、新知探究:

[定义] :圆的一般方程 思考什么时候可以表示圆?

1)当D2+E24F>0时，表示以 为圆心、以为半径的圆 2)当D2+E24F=0时，仅表示一个点怎样化一般方程为标准方程？把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方法，得 3)当D2+E24F<0时，不表示任何曲线．圆的一般方程：当D2+E2-4F>0时，方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．

[观察]：圆的标准方程与圆的一般 方程在形式上的异同点. 圆的标准方程圆的一般方程 [说明]： (1)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径； (2)圆的一般方程突出了方程形式上的特点.

比较；圆的一般方程与二元二次方程的特点: 二元二次方程的一般形式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F＞0) 可得出什么结论？结论：(1) x2, y2系数相同，且不等于零； (2) 没有xy这样的二次项； (3) D2+E24F>0。

圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E24F>0) 与圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样,方程x2 +y2+Dx+Ey+F=0 也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件,才能确定一个圆. 例1.求下列圆的半径和圆心坐标： (1)x2+y2-8x+6y=0， (2)x2+y2+2by=0． (1)圆心为(4，-3)，半径为5； (2)圆心为(0，-b)，半径为|b|(半径不为b).

[练习一]：下列方程各表示什么图形? 原点(0,0) （3）圆心为（a，0），半径为的圆. 或点(0,0).

练习二： -6 -3 4 2或-2

[练习三]：求下列各圆的半径和圆心坐标. (1)圆心为（3，0），半径为3 解： (2)圆心为（0，-b），半径为|b|

例2. 求过三点O(0,0)，M1(1,1), M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标解：设所求的圆的方程为 x2＋y2十Dx＋Ey＋F＝0．因为O、M1、M2在圆上, 解得F＝0，D＝8，E＝6 ∴圆的方程为x2+y28x+6y＝0，圆心 (4，－3) ，

小结：1．用待定系数法求圆的方程的步骤： (1) 设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； (3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．

例3. △ABC的三个顶点坐标为A (4, 3)、B (5, 2)、C (1, 0)，求其外接圆的方程. 比一比:若设出标准方程,再代入三点坐标,好不好?

例3. 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线. 解：设点M(x,y)是曲线上的任意一点，所以由两点间的距离公式，得 x2+y2+2x3＝0 这就是所求的曲线方程．配方，得(x+1)2+y2＝4．所以曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆

1.对于圆的方程(xa)2+(yb)2=r2和x2+y2+Dx+Ey+F=0，针对圆的不同位置，请把相应的标准方程和一般方程填入下表：1.对于圆的方程(xa)2+(yb)2=r2和x2+y2+Dx+Ey+F=0，针对圆的不同位置，请把相应的标准方程和一般方程填入下表： x2+y2=r2 x2+y2+F=0 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2+Dx+Ey=0 (x-a)2+y2=r2 x2+y2+Dx+F=0 x2+(y-b)2=r2 x2+y2+Ey+F=0 x2+y2+Dx=0 (x-a)2+y2=a2 x2+(y-b)2=b2 x2+y2+Ey=0

2 若点(1， )在圆x2＋y2－2ax－2 ay＝0(a≠0)的外部，求实数a的取值范围． 3.画出方程x－1＝表示的曲线画出方程y＝3＋表示的曲线.

小结：本节课用到的数学方法和数学思想: ①数学方法: (i)配方法 (求圆心和半径) (ii)待定系数法 (求D,E,F) ②数学思想: (ⅰ) 分类讨论的思想 (原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (ⅲ)数形结合的思想.

圆的一般方程

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