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第二章 离散型随机变量

第二章 离散型随机变量. 一维离散型随机变量及分布列 二维随机变量、联合分布列和边际分布列 随机变量函数的分布列 随机变量的数学期望 随机变量的方差 条件分布及条件数学期望. §2.1一维离散随机变量. 一、定义： 设 S={e} 是试验的样本空间，如果量 X 是定义在 S 上的一个单值实值函数即对于每一个 e  S ， 有一实数 X=X(e) 与之对应，则称 X 为 随机变量 。 随机变量 常用 X、Y、Z 或 、、等表示。. 例1. ：引入适当的随机变量描述下列事件： ①将3个球随机地放入三个格子中，

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第二章 离散型随机变量

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  1. 第二章 离散型随机变量 • 一维离散型随机变量及分布列 • 二维随机变量、联合分布列和边际分布列 • 随机变量函数的分布列 • 随机变量的数学期望 • 随机变量的方差 • 条件分布及条件数学期望

  2. §2.1一维离散随机变量 一、定义：设S={e}是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个e S ，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。 随机变量常用X、Y、Z 或 、、等表示。

  3. 例1 ：引入适当的随机变量描述下列事件： ①将3个球随机地放入三个格子中， 事件A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球}。 ②进行5次试验，事件D={试验成功一次}，F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}

  4. 随机变量的分类 随机变量

  5. 二、一维离散型随机变量 1、定义2.1若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称X为离散型随机变量，而称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )， 或 Xx1 x2…xK … Pk p1 p2 … pk …

  6. 2. 分布律的性质 (1) pk  0, k＝1, 2, … ; (2) 例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X的分布列。

  7. 例2: • 某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。

  8. 3、几个常用的离散型分布 （1） (0-1)分布(p63) 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布) X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 或

  9. （2）二项分布(p63) 若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布，记作X～B（n,p)。其分布律为：

  10. 例3 .从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.

  11. 例4. 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。 普哇松定理(p65)：设随机变量Xn～B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 且n很大，p很小，记=np，则

  12. 上题用普哇松定理 取 =np＝(400)(0.02)＝8, 故 近似地有 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－(1＋8)e－8＝0.996981. （3）普哇松 (Poisson)分布P()(p64) X～P{X＝k}＝ , k＝0, 1, 2, … (0)

  13. 普哇松定理表明，普哇松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的普哇松分布普哇松定理表明，普哇松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的普哇松分布

  14. 例5 .设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。

  15. §2.2 二维离散型随机变量一、多维随机变量 定义2.2：将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维向量 (X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。

  16. 二、二维离散型随机变量及其联合分布律 1、若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列个值(xi, yj),(i, j＝1, 2, … )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。 2、若二维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij,则称 P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … ) 为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律。可记为 (X, Y)～ P{X＝xi,Y＝ yj}＝ pij (i,j=1,2, … )，

  17. 二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下: X Yy1 y2… yj… p11 p12 ...P1j ... p21 p22 ...P2j ... pi1 pi2 ...Pij ... x1 x2 xi ... ... ... ... ... ... ... ... 3、联合分布律的性质 (1) pij0 , i, j＝1, 2, …； (2)

  18. 例1 ：袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次， 令 求(X,Y)的分布律。 Y 1 0 X 1 0

  19. 4、边际分布律 若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y)～P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，i,j＝1, 2, … ，则称 P{X＝xi}＝pi.＝ ，i＝1, 2, … 为(X, Y)关于X的边际分布律； P{Y＝ yj}＝p·j＝ ，j＝1, 2, …。 为(X, Y)关于Y的边际分布律。 边际分布律自然也满足分布律的性质。

  20. 例2 .已知(X,Y)的分布律为 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 求X、Y的边际分布律。

  21. 问题：联合分布列与边际分布列有什么关系？ 例3：袋中有5张外型相同的卡片，其中3张写上数字0，另两张写着数字1现从袋中任取两张，分别以X、Y表第一张与第二张上的数字，对有放回与不放回两种方式，分别求（X，Y）的联合分布列。

  22. 三、随机变量的相互独立性 定义2.3：设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为P{X=xi,Y=yj}=Pij,i,j=1,2,…。若对任意i,j，有Pij=PiPj 。则X与Y相互独立。

  23. 例4：判断例3中的X与Y是否相互独立。 例5：已知随机变量(X,Y)的分布律为 Y 1 2 X 0 1 0.150.15 a b 且知X与Y独立，求a、b的值。

  24. §2.3 离散型随机变量函数的分布 一、一维离散型随机变量函数的分布律 1、设X一个随机变量，分布律为 X～P{X＝xk}＝pk, k＝1, 2, … 若y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X)也是一个随机变量。求Y的分布律. 求：Y=X2的分布律 例:已知 -1 0 1 1 0 X Y Pk Pk

  25. 一般地 X Pk Y=g(X) 或 Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk ， k＝1, 2, … （其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）

  26. 例2．1：设X服从参数为 的普哇松分布的随机变量，又 试求的Y=f(X)分布列。

  27. 二、二维离散型随机变量函数的分布律 设二维离散型随机变量（X，Y）， (X, Y)～P(X＝xi, Y＝yj)＝pij ，i, j＝1, 2, … 则 Z＝g(X, Y)～P{Z＝zk}＝ ＝pk , k＝1, 2, … 或

  28. 例：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为 X01 Pi q p (1) 求W＝X＋Y的分布律; (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。

  29. 例2．12：设X、Y是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为 的普蛙松分布，求Z=X+Y的分布列。 说明：（1）普蛙松分布具有可加性； （2）习题2.27可证明二项分布也具有 可加性。

  30. §2.4数学期望的定义与性质 数学期望——描述随机变量取值的平均特征

  31. 定义 一.数学期望的定义 1. 若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…n, 则称 为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。 定义 2. 若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…,且 ，则称 为r.v.X的数学期望

  32. 例2: 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。

  33. 二.几个重要r.v.的期望 1.0-1分布的数学期望 EX=p 2. 二项分布B(n, p)

  34. 3.普哇松分布

  35. 三.随机变量函数的期望 例1：设随机变量X的分布律为 -1 0 1 X Pk 求随机变量Y=X2的数学期望。

  36. 定理 2.2： 若 X～P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 且 则Y=g(X)的期望E(g(X))为 定理2.3:若(X, Y)～P{X=xi ,Y=yj,}= pij,i,j=1,2, … , 且 则Z= g(X，Y)的期望

  37. 例4： 设随机变量(X,Y)的分布列如下，求E(XY)。 Y 1 2 X 0 1 0.15 0.15 0.45 0.25

  38. 四.数学期望的性质 1. E(c)=c,c为常数; 2. E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),a,b 为常数; 3. 若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).

  39. 例3 ：若X~B(n,p),求E(X)。 解:设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则

  40. §2.5方差的定义及性质 一. 方差的定义 方差是衡量随机变量取值波动 程度 的一个数字特征。 如何定义？

  41. 1.定义 ：若E(X),E(X2)存在，则称 E[X-E(X)]2 为r.v. X的方差，记为D(X),或Var(X). 称 为r.v.X的标准差 易见： 推论：D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

  42. 二、 方差的性质 (1) D(c)=0 反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 P{X=C}=1, 且C=E(X); (2) D(aX)=a2D(X), a为常数； (3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);

  43. 三、几个重要r.v.的方差 1. 二项分布B(n, p)：

  44. 2. 普哇松分布p()：

  45. 例2：设随机变量X1、X2、X3、X4相互独立，且有EXi=i，DXi=5-i，i=1,2,3,4设Y=2X1-X2+3X3-0.5X4，求：E(Y)，D(Y)例2：设随机变量X1、X2、X3、X4相互独立，且有EXi=i，DXi=5-i，i=1,2,3,4设Y=2X1-X2+3X3-0.5X4，求：E(Y)，D(Y)

  46. §2.6条件分布与条件数学期望一. 条件分布列 设随机变量X与Y的联合分布列为 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )， X和Y的边际分布列分别为

  47. 若对固定的j, p.j>0, 则称 为Y＝ yj的条件下，X的条件分布列; 同理，对固定的i, pi.>0, 称 为X＝ xi的条件下，Y的条件分布列。

  48. 二、条件数学期望 定义2.7：若随机变量X在Y=yj条件下的条件分 布列为 则称 为X在Y=yj条件下的数学期望，简称条件期望， 记为

  49. 例2.19：某射手进行射击，每次射击击中目标的概率为p(0<p<1)，射击进行到击中目标两次停止。令X表示第一次击中目标时的射击次数，Y表示第二次击中目标时的射击次数，试求联合分布列pij，条件分布列pi/j及pj/i条件期望E{X/Y=n}.

  50. 三、条件数学期望的性质 1、 存在，且 存在，则 2、若a,b是两个常数，又 以上两条性质是在固定“Y=yi”的条件下考察条件期望的性质。 3、随机变量X对Y求条件期望后再求期望，等于对这个随机变量直接求期 望。

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