Van Planck tot Dirac in vijf lessen

1. Van Planck tot Dirac in vijf lessen Derde les Tot wanhoop gedreven

2. “Tot wanhoop gedreven”“a little about the structure of atoms” Perhaps I have found out a little about the structure of atoms. Don't talk about it to anyone, for otherwise I couldn't write to you about it so soon. ... You understand that I may yet be wrong; for it hasn't been worked out fully yet (but I don't think its wrong). ... Believe me, I am eager to finish it in a hurry, and to do so I have taken a couple of days off from the laboratory (this is also a secret). Brief van Niels Bohr aan zijn broer Harald, 19 juni 1912

3. “Tot wanhoop gedreven”Over Niels Bohr Albert Einstein: “He utters his opinions like one perpetually groping and never like one who believes he is in possession of definite truth.” Winston Churchill: “a blithering [zwammerig/volslagen] idiot” “It seems to me Bohr ought to be confined or at any rate made to see that he is very near the edge of mortal crimes.” Niels Bohr: “Every sentence I utter must be understood not as an affirmation, but as a question.” “How wonderful that we have met with a paradox. Now we have some hope of making progress.” “Every great and deep difficulty bears in itself its own solution. It forces us to change our thinking in order to find it “. “One of the favorite maxims of my father was the distinction between the two sorts of truths, profound truths recognized by the fact that the opposite is also a profound truth, in contrast to trivialities where opposites are obviously absurd.”

4. “Tot wanhoop gedreven”Bohr: levensloop 1885 Geboren in Kopenhagen Niels Henrik David Bohr, zoon van een professor in de fysiologie en een joodse moeder. 1903 Gaat natuurkunde studeren in Kopenhagen. 1911 Studeert in Trinity College, Cambridge, bij Thomson (kathodestralen, atoommodel). 1911 Doctoraat in Kopenhagen. 1912 Gaat weer naar Thomson, verlaat deze voor Rutherford, Manchester (ander atoommodel). 1912 Trouwt met Margrethe Nǿrlund. • Zes kinderen waarvan twee jong sterven. • Zijn oudste zoon slaat over boord en verdrinkt voor zijn ogen. • Aage Niels Bohr wint ook de Nobelprijs. 1913 Introduceert zijn atoommodel op basis van experimenten van Geigner, Marshden en Rutherford. Begin van de “oude” kwantumtheorie van het atoom. Introductie van het correspondentieprincipe. 1916 Hoogleraar in Kopenhagen. 1920 Directeur van het “Instituut voor Theoretische fysica” (nu het Niels Bohr instituut). Maakt school met assistenten als Kramers, Heisenberg en Pauli.

5. 1921 Verklaring van het periodiek systeem met het opbouwprincipe; voorspelt het bestaan van Hafnium dat in 1923 wordt ontdekt in Kopenhagen. 1922 Nobelprijs. 1925-1930 Debat met Einstein (“Der Her Gott würfelt nicht!”- “Houd op met God te vertellen wat hij moet doen!”). ~1927Kopenhagen (Born) interpretatie van de kwantummechanica. Introductie van het complementariteitbeginsel. Na 1935 Werk aan het vloeistofdruppelmodel van de kern. Ontdekt dat 235U de isotoop van Uranium is die verantwoordelijk is voor kernsplijting. 1941 Ontmoeting met Heisenberg. 1943 Ontsnapt naar Zweden (met vele andere joden) en gaat naar Engeland. 1943-1945 Werkt onder de naam Nicolas Baker aan het Manhattenproject in Los Alamos. 1945 Bepleit o.a. bij Churchill openheid van het atoomonderzoek en internationale controle. 1950 Open brief aan de VN. 1957 Atoms for Peace Award (Killian: “In your profession, in your teaching, in your public life, you have shown that the domain of science and the domain of the humanities are in reality a single realm.”). 1962 Sterft in Kopenhagen.

6. “Tot wanhoop gedreven”Spectroscopie Annalen der Physik und der Chemie (Poggendorff), Vol. 110 (1860), pp. 161-189 (dated Heidelberg, 1860) Chemical Analysis by Observation of Spectra GUSTAV KIRCHHOFF AND ROBERT BUNSEN “It is known that several substances have the property of producing certain bright lines when brought into the flame. A method of qualitative analysis can be based on these lines, whereby the field of chemical reactions is greatly widened and hitherto inaccessible problems are solved. We limit ourselves here to developing the method for alkali and earth-alkali metals and demonstrating its value by some examples. The lines show up the more distinctly the higher the temperature and the lower the luminescence of the flame itself. The gas burner described by one of us (Bunsen, these Ann. 100, p. 85) has a flame of very high temperature and little luminescence and is, therefore, particularly suitable for experiments on the bright lines that are characteristic for these substances. “…

7. Er komt een lawine van spectroscopische gegevens op gang. Een meerderheid schrijft de lijnspectra toe aan de natuurlijke trillingen van individuele atomen, vergelijkbaar met de akoestische eigentrillingen van een snaar of pijp. Maxwell: “There is something rattling in the atom.” Het zoeken is naar structuur in de data en een verklaring.

8. Empirische formule voor het golfgetal: waterstofspectrum Voor de Balmer reeks (1885) is n=2 en m=3,4,5,… R heet de Rydberg constante Voor andere elementen ontdekken Rydberg, Schuster,Bergmann, Saunders, … soortgelijke relaties. Een theoretische verklaring ontbreekt. Het wachten is op een bruikbaar atoommodel. Belangrijk stelregel is het Rydberg-Ritz combinatieprincipe: iedere spectrale lijn van een element is het verschil van twee spectrale termen die elk een geheel getal bevatten. De verklaring als eigentrillingen van de elektronen in het atoom stuit op inconsistenties: • Een atoom geeft op een bepaald moment maar een spectrale lijn weer. • Anomale dispersie in kalium damp vereist een excessief aantal elektronen. • Naast de grondtoon moeten ook boventonen aanwezig zijn en dit strijdt met het combinatieprincipe.

9. In 1912 zijn de belangrijkste atoommodellen die van J.J. Thomson en E. Rutherford Planeet model: Kleine zeer massieve positief geladen kern omringd door elektronen. (Klassiek) instabiel! Plumpudding model: Elektronen als harde krenten in een deeg van positieve lading. (Klassiek) stabiel? Strooing van een bundel α deeltjes

10. Procs Manchester Literary and Philosophical Society, IV, 55, pp. 18-20 The Scattering of the α and β Rays and the Structure of the Atom by PROFESSOR E. RUTHERFORD, F.R.S. …”There are, however, a number of experiments on scattering, which indicate that an αor β particle occasionally suffers a deflexion of more than 90° in a single encounter.’… Experimenten van Geiger en Marsden ca 1909 The result, he [Rutherford] said, was something like “shooting a cannon ball at a piece of tissue paper and having the ball bounce back at you”.

11. …”In order to explain these and other results, it is necessary to assume that the electrified particle passes through an intense electric field within the atom. The scattering of the electrified particles is considered for a type of atom which consists of a central electric charge concentrated at a point and surrounded by a uniform spherical distribution of opposite electricity equal in amount. With this atomic arrangement, an α or β particle, when it passes close to the centre of the atom, suffers a large deflexion, although the probability of such large deflexions is small. On this theory, the fraction of the number of electrified particles which are deflected between an angle Θ and Θ+dΘ is given by (pi/4)ntb2cotΘ /2cosec2Θ / 2dΘ where n is the number of atoms per unit volume of the scattering material, t the thickness of material supposed small, and b = 2NeE/mu2 where Ne is the charge at the centre of the atom, E the charge on the electrified particle, m its mass, and u its velocity.”…

12. Inkomende deeltjesflux is N. Aantal deeltjes gestrooid in dΩ is N(dσ/dΩ) • Veronderstel: • het strooiingscentrum: • staat vast (is zeer massief), • is puntvormig, • heeft (klassieke) Coulomb wisselwerking (qQ/4πε0r2) met het inkomend deeltje (massa m, snelheid v0), • dan geldt voor de differentiële werkzame doorsnede: Bijzonder toeval (?): dit resultaat overleeft in de moderne kwantummechanica!

13. Whiddington heeft in 1911 een anode gebombardeerd met elektronenstralen en ontdekte dat er plotselinge veranderingen in de uitgezonden straling waren bij bepaalde kritische snelheden. Dit brengt Bohr op het idee van energieniveaus • Voor 1913 was Bohr zich niet bewust van het bestaan van de Balmer reeks. “I do not at all deal with the question of calculation of frequencies corresponding to the lines of the visible spectrum” [Bohr aan Rutherford, januari 1913]. Dan maakt een zekere Hansen hem daarop attent. • …”And I found then that there was this very simple thing about the hydrogen spectrum … and at that moment I felt now we'll just see how the hydrogen spectrum comes.” • [Interview van Bohr door Kuhn et al, november 1962]

14. Bohr leidt in zijn artikel de (uitgebreide) Balmerformule op drie manieren af: • Bindt een elektron aan een kern en pas op de uitgezonden straling de Planckse kwantisatieregel toe, waarbij de frequentie van de uitgezonden stralingskwanten (dat kunnen er meer dan een zijn) de helft van de omloopfrequentie van het elektron in zijn stationair (stralingsloos) gepostuleerde baan is. • Ga uit van de structuur van de Balmerformule. Met de veronderstelling dat maar een kwant wordt uitgezonden volgt de frequentieregel. • Klassiek geldt dat als een elektron zich beweegt in zijn stationaire baan straling wordt uitgezonden met een grondtoon (de omloopfrequentie) en boventonen (stelling van Fourier). Passen we nu de frequentieregel toe bij overgang van de ene naar de andere stationaire toestand, dan volgt weer hetzelfde resultaat. …“Consequently we may regard our preliminary considerations … only as a simple form of representing the results of the theory.”… Bohr vermijdt het om de kwantisering van het impulsmoment als uitgangspunt te nemen! Hij beschouwt dit als een interpretatie van de theorie.

15. “Tot wanhoop gedreven”Bohr model Philosophical Magazine, Series 6, Volume 26, July 1913, p1-25 On the constitution of Atoms and Molecules N. Bohr • Introduction • Het Rutherford model versus het Thomson model. …”Theprincipal difference between the atom-models proposed by Thomson and Rutherford consist in the circumstance that the forces acting on the electrons in the atom-model of Thomson allow of certain configurations and motions of the electrons for which the system is in stable equilibrium; such configurations, however, apparently do not exist for the second atom-model.”… • Het Thomson model heeft een “natuurlijke” afmeting, het Rutherford model niet. • Er is overeenstemming dat de klassieke elektrodynamica faalt bij de beschrijving van het gedrag van atomaire systemen (soortelijke warmte, foto-elektrisch effect, Röntgen straling).

16. …” Whatever the alteration in the laws of motion of the electrons may be, it seems necessary to introduce in the laws in question a quantity foreign to the classical electrodynamics, i.e., Planck’s constant, or as it is often called the elementary quantum of action.”… • Door de introductie van h kunnen we samen met de massa m en de lading e van het elektron een elementaire lengte invoeren van de juiste grootteorde [4πε0h2/(me2) heeft de dimensie van een lengte met waarde ca 2 10-9 m]. • Part I. – Binding of Electrons by Positive Nuclei. • §1. General Considerations • Ga uit van het Rutherford atoommodel: een zeer kleine positief geladen kern met lading E met een daaromheen cirkelend elektron met lading –e . • Veronderstel dat de elektronmassa m verwaarloosbaar is vergeleken met de kernmassa en dat de elektronsnelheid v klein is vergeleken met de lichtsnelheid. ..”Let us at first assume that there is no energy radiation. In this case the electron will describe stationary elliptical orbits.”…

17. Gemakshalve: eenparige cirkelbeweging met straal a. • Energie ½mv2-eE/a (elektrostatische eenheden!) en omdat (wet van Coulomb) eE/a2=mv2/a is dit dus -eE/2a. De benodigde bindingsenergie W om het elektron uit zijn baan naar het oneindige te brengen is dus W=eE/2a. • Als ω de omloopfrequentie is dan is v=2πω(let op: Bohrs’ ωis tegenwoordigνof f!) en dan volgt: (1) …”Let us now, however, take the effect of energy radiation into account, calculated in the ordinary way from the acceleration of the electron.”… • Het elektron zal onder het uitzenden van steeds meer straling van toenemende frequentie naar de kern spiraliseren [in ca 10-15 s]. • Dit is in strijd met de waarneming. Atomen hebben vaste dimensies en stralen met vaste frequenties. Bovendien behouden zij hun stabiliteit en hun afmeting ook na het uitzenden van een karakteristieke hoeveelheid energie.

18. …”Now the essential point in Planck’s theory of radiation is that the energy radiation from an atomic system does not take place in the continuous way assumed in the ordinary electrodynamics, but that it, on the contrary, takes place in distinctly separated emissions, the amount of energy radiated out from an atomic vibrator of frequency ν in a single emission being equal to τhν, where τ is an entire number, and h is a universal constant.”… • Bohr gebruikt ω voor de omloopfrequentie van het elektron in zijn baan en v voor de frequentie van de atomaire straler; klassiek zouden deze hetzelfde moeten zijn! • Neem nu aan dat het elektron aanvankelijk op grote afstand van de kern stil staat en dat het nadat het met de kern in wisselwerking is getreden eindigt in een stationaire stralingsloze cirkelbaan. • Neem verder aan dat gedurende dit bindingsproces monochromatische straling wordt uitgezonden met frequentie νgelijk aan de halve omloopfrequentie van het elektron in zijn stationaire cirkelbaan. • Planck’s theorie vereist dat de hoeveelheid energie uitgezonden in dit proces gelijk is aan τhν. Ehrenfest aan Lorentz: "Bohr's werk … heeft mij tot wanhoop gedreven. Als dit de manier is om het doel te bereiken dan moet ik ophouden met natuurkunde te bedrijven.”

19. Uit: (2) • volgt dan met hulp van formule (1): (3) …”If in these expressions we give τ different values, we get a series of values for W, ω, and a corresponding to a series of configurations of the system. According to the above considerations, we are led to assume that these configurations will correspond to states of the system in which there is no radiation of energy; states which consequently will be stationary as long as the system is not disturbed from the outside.”… • Neem nu τ=1 (meest stabiele – grond – toestand) en E=e en substitueer de bekende waarden van e, e/m en h dan volgt :2a=1.1x10-8 cm, ω=6.2x1015 Hz en W/e=13 V, in goede overeenstemming met de waargenomen moleculaire diameters, optische frequenties en ionisatie-energieën.

20. Volgt een rechtvaardiging van het gebruik van Planck’s kwant: Einstein, Stark, Nernst, Sommerfeld, Haas en - vooral –Nicholson passeren de revue. • Nicholson heeft (met succes) gerekend aan een gekwantiseerd Rutherford-achtig atoom met elektronringen ter verklaring van spectra van sternevels en de corona van de zon. [Hij gaat daarbij uit van een gekwantiseerd impulsmoment L=nh/2π]. Maar er zijn bezwaren! …”it must be remarked that the theory in the form given [door Nicholson] does not seem to be able to account for the well known laws of Balmer and Rydberg connecting the frequencies of the lines in the line-spectra of the ordinary elements. It will now be attempted to show that the difficulties in question disappear if we consider the problems from the point of view taken in this paper.”… • …”The principal assumptions used are: • That the dynamical equilibrium of the systems in the stationary states can be discussed by help of the ordinary mechanics, while passing of the systems between different stationary states cannot be treated on that basis. • That the latter process is followed by the emission of homogeneous radiation, for which the relation between the frequency and the amount of energy emitted is the one given by Planck’s theory.”…

21. §2. Emission of Line-spectra “Spectrum of Hydrogen - General evidence indicates that an atom of hydrogen consists simply of a single electron rotating round a positive nucleus of charge e. The reformation of a hydrogen atom, when the electron has been removed to great distances away from the nucleus -- e. g. by the effect of electrical discharge in a vacuum tube -- will accordingly correspond to the binding of an electron by a positive nucleus considered on p. 5. If in (3) we put E = e, we get for the total amount of energy radiated out by the formation of one of the stationary states, • En dus: • Stel dit gelijk aan hν, dan volgt de Balmer reeks. En ook een andere: Paschen reeks. Voorspelling: er zijn meer reeksen in het ir en het uv.

22. [Rydberg constante] The agreement in question is quantitative as well as qualitative. Putting e = 4.7 x 10-10, e / m = 5.31 x 1017, h = 6.5 x 10-27 we get The observed value for the factor outside the bracket in the formula (4) is 3.290 x 1015. The agreement between the theoretical and observed values is inside the uncertainty due to experimental errors in the constants entering in the expression for the theoretical value. We shall in § 3 return to consider the possible importance of the agreement in question.”… • De uitkomsten zijn in overeenstemming met de waargenomen wetmatigheden in het lijnspectrum van waterstof door Balmer en Paschen. • De theorie verklaart het bestaan van meer Balmerlijnen, waargenomen in sterspectra en voorspelt het bestaan van reeksen in het ir en het uv. • Toegepast op enkel geïoniseerd helium krijgen we de Pickering reeks waargenomen in de ster ζ Puppis. Dit zijn dus geen waterstoflijnen. • Er is overeenstemming met de Rydberg-Ritz combinatieregel. De theorie verklaart het optreden van de universele constante K in deze regel.

23. §3. General Considerations Continued …“For one, we have assumed that the different stationary states correspond to an emission of a different number of energy-quanta. Considering systems in which the frequency is a function of the energy, this assumption, however, may be regarded as improbable; for as soon as one quantum is sent out the frequency is altered. We shall now see that we can leave this assumption used and still retain the equation (2) on p. 5, and thereby the formal analogy with Planck's theory.” • In plaats van de naïeve benadering W=τhω/2 nemen we nu W=f(τ)hω. • Als we dezelfde procedure volgen, dan moet om de Balmerreeks te krijgen f(τ)h=c τ.De waarde van c vinden we door de overgang van de toestand τ=N en τ=N-1 te bekijken. • Bij hoge N mogen we verwachten dat de verhouding van de omloopfrequenties voor en na emissie ongeveer 1 is en dat de frequenties van de uitgezonden straling vrijwel gelijk zijn aan de omloopfrequenties, zoals verwacht volgens de klassieke theorie. Dit kan alleen als c=½. Daarmee zijn we terug bij vergelijking (2). • Dit is een eerste toepassing van het Bohrse correspondentieprincipe

24. .. “While there obviously can be no question of a mechanical foundation of the calculations given in this paper, it is, however possible to give a very simple interpretation of the result of the calculation on p. 5 by the help of symbols taken from the mechanics”… • Voor het impulsmoment M van het elektron in zijn stationaire baan moet gelden M=τM0waarin M0=h/2π=1.04x10-27. • De resultaten kunnen dus ook verkregen worden door aan te nemen dat het impulsmoment gekwantiseerd is. Maar Bohr neemt die stap niet. §4. Absorption of Radiation • De theorie is in overeenstemming met experimenten over de absorptie van straling door gassen. • Over het foto-elektrisch effect: …”Obviously we get in this way the same expression … as that deduced by Einstein…”… • Theorie geeft een verklaring voor experimenten van Wood over de absorptie van licht door Na damp.

25. Röntgenstraling is het gevolg van het ontsnappen van sterk gebonden elektronen, bijvoorbeeld door een botsing met versnelde elektronen (“kathode deeltjes”) [indrukwekkende bevestiging volgt spoedig door experimenten van Moseley] • Berekeningen van Rutherford aan botsingen van βdeeltjes met gebonden elektronen bevestigen het beeld van gekwantiseerde emissie en absorptie van straling [Later toont Bohr aan dat β deeltjes door de kern worden uitgestoten] …”The preliminary and hypothetical character of the above considerations need not be emphasized”… §5. The permanent State of an Atomic System …”In order to get a closer comparison with experiments, it is necessary to consider more complicated systems. Considering systems in which more electrons are bound by a positive nucleus, a configuration of the electrons which presents itself as a permanent state is one in which the electrons are arranged in a ring round the nucleus.”…

26. De toepassing van de theorie op een systeem met een elektronenring waarbij de elektronen equidistant over de ring verdeeld zijn geeft dezelfde resultaten mits we de lading van de kern E vervangen door E-esn (snis de afschermingfactor) en de bindingsenergie W door W/n [Dit zal fout uitpakken: zelfs het spectrum van Helium kan met de theorie niet verklaard worden.] • Probleem is de stabiliteit van de ring (Thomson, Nicholson). • Komt dan tot de volgende hypothese: ..“In any molecular system consisting of positive nuclei and electrons in which the nuclei are at rest relative to each other and the electrons move in circular orbits, the angular momentum of every electron round the centre of its orbit will in the permanent state of the system be equal to h/2π , where h is Planck‘s constant”…

27. “Tot wanhoop gedreven”Bohr: het vervolg • Hij gebruikt zijn (foute!) hypothese over meer-elektron atomen in volgende artikelen voor een proeve van een verklaring van het periodiek systeem. • De goede verklaring vindt hij in 1923 (opbouwprincipe: voorspelt o.a. de eigenschappen van Hafnium), die theoretisch pas goed onderbouwd wordt door de nieuwe kwantummechanica van 1926. • Hij maakt school met de ”oude” kwantummechanica op basis van zijn atoommodel. Kopenhagen wordt een centrum van de natuurkunde. • Na de invoering van de matrixmechanica (Heisenberg, Jordan, Born) en de golfmechanica (Einstein, de Broglie, Schrödinger) werkt hij aan de interpretatie van de nieuwe kwantummechanica: Kopenhagen waarschijnlijkheidsinterpretatie. Hij voert het complementariteitbeginsel in: golf-deeltje dualiteit. • Hij verlegt zijn aandacht naar de kern: vloeistofdruppelmodel.

28. “Tot wanhoop gedreven”Reacties op atoommodel van Bohr Rutherford: “In ieder geval is er iets aan de hand dat zich niet laat verklaren met de oude mechanica” [En werpt zich op nieuwe kernexperimenten, die o.a. leiden tot de eerste transmutatie: 14N(α,p)17O] Thomson:negeert de kwantummechanica; erkent Bohr’s bijdrage pas in 1936 [De druiven zijn zuur] von Laue: “Onzin, Maxwell’s vergelijkingen zijn geldig onder alle omstandigheden, een elektron in een baan moet stralen” [Te oud] Eherenfest: "Bohr's werk … heeft mij tot wanhoop gedreven”. [Maar zal nog een belangrijke bijdrage leveren: het adiabatisch principe] Einstein (na de verklaring van het He+ spectrum) “Maar dan is het een grote ontdekking.” [En gaat verder met de algemene relativiteitstheorie] Sommerfeld: “Hoewel ik een beetje sceptisch ben over atoommodellen, is uw berekening van de Rydberg constante een belangrijk resultaat” [Gaat aan de slag en breidt de theorie uit met de actie-integraal] Bohr “Nee, dit moet je niet geloven. Het is een ruwe aanpak. Het is teveel een benadering en filosofisch klopt het niet.” [En hij filosofeert verder, o.a. geleid door het correspondentieprincipe. Kopenhagen wordt een mekka voor fysici]

29. Sommerfeld • Stelt dat de “fase (of actie) integraal” ∫pdq voor (meervoudig) periodieke systemen gekwantiseerd is in eenheden h. Gevolg: elliptische banen zijn toegestaan en er is meer dan een kwantumgetal nodig. • Bewijst dat relativistische effecten de “fijnstructuur” van de spectraallijnen verklaren, in overeenstemming met de waarnemingen. Dit resultaat overleeft de oude kwantummechanica • Zeeman toont in 1896 splitsing van spectraallijnen aan in een magnetisch veld. • Lorentz verklaart de splitsing met zijn elektronentheorie en bepaalt e/m .De verklaring van Lorentz (“normale” zeemaneffect) blijkt onvolledig (“anomale” zeemaneffect). De oude kwantumtheorie heeft hiervoor geen afdoende verklaring.

30. Stark (1913) toont de splitsing van spectraallijnen in een elektrisch veld aan. • Epstein en Schwarzschild verklaren in 1916 onafhankelijk het lineaire stark effect van waterstof met de oude kwantummechanica– dit resultaat blijft geldig in de nieuwe kwantummechanica • Moseley doet metingen aan röntgenspectra die door Bohr kunnen worden verklaard. • Franck en Hertz tonen aan door inelastische elektronenbotsingen met kwikdampmoleculen dat de Bohrse kwantumsprongen geen hersenspinsels zijn. • De oude kwantumtheorie slaagt er niet in de lijnspectra van de overige elementen, Helium in het bijzonder, te verklaren. Ondanks zijn successen (waterstofspectrum, Rydberg constante, fijnstructuur, Stark effect, …) is de oude kwantumtheorie gebaseerd op het Rutherford-Bohr atoommodel gedoemd plaats te maken voor een nieuwe theorie: matrixmechanica (Heisenberg, Jordan, Born) en golfmechanica (Einstein, de Broglie, Schrödinger). Dirac verenigt beiden in zijn operator- en transformatietheorie.