§ 8.2 采样过程与采样定理 § 8.3 保持器 § 8.4 Z 变换 § 8.5 脉冲传递函数 § 8.6 采样控制系统的稳定性分析 § 8.7 采样系统的稳态误差

1. 第八章 采样控制系统 • § 8.2 采样过程与采样定理 • § 8.3 保持器 • § 8.4 Z变换 • § 8.5 脉冲传递函数 • § 8.6 采样控制系统的稳定性分析 • § 8.7 采样系统的稳态误差 • § 8.8 采样系统的暂态响应与脉冲传递 函数零、极点分布的关系 • § 8.9 采样系统的校正 第8章 采样控制系统

2. 本章介绍采样控制系统即线性离散控制系统理论与前几章讨论的连续控制系统的控制理论不同。离散系统与连续系统间的根本区别在于：连续系统中的控制信号、反馈信号以及偏差信号都是连续型的时间函数，而在离散系统中则不然，因此，在离散系统中，通过控制器对被控对象进行控制的直接作用信号乃是离散型的偏差信号 。 离散反馈信号 是由连续型的时间函数e(t)通过采样开关的采样而获得的。采样开关经一定时间T重复闭合，每次闭合叫间为ε，且有ε<T。 采样角频率 采样频率 第8章 采样控制系统

3. 数字控制系统 离散的偏差信号 经数字计算机的加工处理变换成数字信号 ， 再经D／A转换为连续信号 馈送到连续部分的执行元件去控制系统的被控制信号c(t)。 第8章 采样控制系统

4. §8.2 采样过程与采样定理 8.2.1 采样过程 实现采样控制首先遇到的问题，就是如何把连续信号变换为脉冲序列的问题。 按一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其转换为相应的脉冲序列的过程称为采样过程。实现采样过程的装置叫采样器或采样开关。 第8章 采样控制系统

5. 8.2.2 采样定理 采样定理(shannon定理)，由于它给出了从采样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。 拉氏变换 则有 在离散函数的频谱中、n=0的部分E(jω)／T称为主频谱。它对应于连续信号的频谱。除了主频谱外， E*(jω)还包含无限多个附加的高频频谱。为了准确复现采样的 连续信号，必须使采样后的离散信号的频谱彼此不重叠，这样就可以用一个比较理想的低通滤波器，滤掉全部附加的高频频谱分量，保留主频谱。 第8章 采样控制系统

6. 由图可见，相邻两频谱互不重迭的条件是 ωs ≥2ωmax 如果满足条件，并把采样后的离散信号e*(t)加到理想滤波器上，则在滤波器的输出端将不失真地复现原连续信号(幅值相差l／T倍)。倘若ωs <2ωmax ,则会出现图中所示的相邻频谱的重叠现象，这时，即使用理想滤波器也不能将主频谱分离出来，因而就难以准确复现原有的连续信号。 综上所述，可以得到一条重要结论，即只有在ωs ≥2 ωmax的条件下，采样后的离散信号e*(t)才有可能无失真地恢复到原来的连续信号。这里2 ωmax为连续信号的有限频率。这就是香农(Shannon)采样定理。由于它给出了无失真地恢复原有连续信号的条件，所以成为设计采样系统的一条重要依据。 第8章 采样控制系统

7. §8.3 保持器 实现采样控制遇到的另一个重要问题，是如何把采样信号恢复为连续信号。根据采样定理，在满足ωs ≥2 ωmax的条件下，离散信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用理想滤波器滤去高频频谱分量，保留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。 但是，上述的理想滤波器实际上是不能实现的。因此，必须寻找在特性上接近理想滤波器，而且在物理上又是可以实现的滤波器。在采样系统中广泛采用的保持器就是这样一种实际的滤波器。 通常把具有恒值、线性和抛物线外推规律的保持器分别称为零阶、一阶和二阶保持器。其中最简单、最常用的是零阶保持器。 第8章 采样控制系统

8. 8.3.1 零阶保持器 零阶保持器是一种按照恒值规律外推的保持器。它把前一采样时刻nT的采样值e(nT)不增不减地保持到下一采样时刻(n+1)T，其输入信号和输出信号的关系 零阶保持器的传递函数 零阶保持器频率特性 第8章 采样控制系统

9. 零阶保持器具有如下特性 低通特性：由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，零阶保持器允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过,从而造成数字控制系统的输出中存在纹波。 相角特性：由相频特性可见，零阶保持器要产生相角迟后，且随的增大而加大，在 ω=ωs/2 时，相角迟后可达－180o，从而使闭环系统的稳定性变差。 时间迟后：零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t) 其平均响应为e[t－(T/2)],表明输出比输入在时间上要迟后T/2，相当于给系统增加一个延迟时间为T/2的延迟环节，对系统稳定不利。 第8章 采样控制系统

10. 一阶保持器是种按线性规律外推的保持器，其外推关系为一阶保持器是种按线性规律外推的保持器，其外推关系为 一阶保持器的单位脉冲函数的拉氏变换式可用下式表示， 8.3.2 一阶保持器 一阶保持器的频率特性 第8章 采样控制系统

11. §8.4 Z变换 8.4.1 Z变换定义 上式中各项均含有e-kTs因子，为便于计算定义一个新变量z=esT， 其中T为采样周期，z是复数平面上定义的一个复变量。通常称为z变换算子。 离散信号的拉氏变换为 所表示的z变换只适用于离散函数，或者说只能表征连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。人们习惯上称 F(z)是f(t)的z变换,指的是经过采样后f*(t)的z变换。连续时间函数x(t)与相应的离散时间函数x*(t)具有相同的z变换，即 Z[f*(t) ]= F(z) 第8章 采样控制系统

12. 8.4.2 Z变换方法 1) 级数求和法 例8-1：试求函数f(t)=1(t)的z变换。 解: f (kt) =1(t) (k=0,1,2,3….) 第8章 采样控制系统

13. 例8-2：试求函数 f(t)=e-at 的z变换。 第8章 采样控制系统

14. 2) 部分分式法 设连续函数f(t)的拉氏变换式为有理函数，可以展开成部分分式的形式，即 式中pi为F（s）的极点，Ai为常系数。 对应的时间函数为 其Z变换为 第8章 采样控制系统

15. 可见，f（t）的Z变换为： 利用部分分式法求z变换时，先求出已知连续时间函数f（t）的拉氏变换F(s)，然后将有理分式函数F(s)展成部分分式之和的形式，最后求出（或查表）给出每一项相应的z变换。 第8章 采样控制系统

16. 例8-3：求 的Z变换 。 第8章 采样控制系统

17. 例8-4：求f (t)=sinωt的Z变换。 解： 的原函数为 ，其Z变换为 第8章 采样控制系统

18. 3) 留数计算法 已知连续信号f (t)的拉氏变换F(s)及它的全部极点,可用下列的留数计算公式求F(z)。 函数 在极点处的留数计算方法如下： 若 Si为单极点，则 第8章 采样控制系统

19. 若 有ri重极点Si，则 例8-5 已知系统传递函数为 ，应用留数计算法求F（z）。 第8章 采样控制系统

20. 解：F(s)的极点为单极点 第8章 采样控制系统

21. 例8-6：求 (t>0) 的Z变换. 解： F(s)有两个s=0的极点，即 第8章 采样控制系统

22. 8.4.3 Z 变换定理 1。线性定理 2）迟后和超前定理 若 则有 及 3）复平移定理 定理的含义是：函数x(t)乘以指数序e±aT的Z变换，等于在x(t)的Z变换表达式X(z)中，以 取代原算子z。 第8章 采样控制系统

23. 举例：试用复平移定理计算函数te-at的Z变换 解：令x(t)=t， 根据复平移定理，有 第8章 采样控制系统

24. 5）初值定理 若Z[x(t)]=X(z)，且当t<0时， x(t)＝0则 6）终值定理 若Z[x(t)]=X(z)，且(z－1)X(z)的全部极点位于Z平面的单位圆内，则 第8章 采样控制系统

25. 举例：设Z变换函数为 试用终值定理确定 解：由终值定理得 7）卷积定理 第8章 采样控制系统

26. 1）长除法 例8-7：已知 ，试用幂级数法求F(z)的z反变换。 8.4.4 Z 反变换 第8章 采样控制系统

27. 2 ) 部分分式展开法 例 8-8设 , 试求f (kT)。 解： 经计算有A=1，B=－1所以有 第8章 采样控制系统

28. 3）留数计算法 根据z变换定义有 根据柯西留数定理有 式中 表示F(z)zk-1在极点zi处的留数。 第8章 采样控制系统

29. 关于函数F(z)zk-1在极点处的留数计算方法如下：关于函数F(z)zk-1在极点处的留数计算方法如下： 若zi为单极点，则 若F(z)zk-1有ri阶重极点，则 第8章 采样控制系统

30. 例 8-9：设z变换函数 ，试用留数法求其z反变换。 解：因为函数 有z1=－1 ，z2=－2两个极点，极点处的留数 第8章 采样控制系统

31. 所以有 相应的函数为： 第8章 采样控制系统

32. 第8章 采样控制系统

33. §8.3脉冲传递函数 在线性离散系统中，初始条件为零的系统(或环节)的输出离散信号的Z变换与输入离散信号的z变换之比，定义为脉冲传递函数， 1）脉冲传递函数的定义 第8章 采样控制系统

34. 3） 采样系统的开环脉冲传递函数 上式表明，被采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数等于这两环节的脉冲传递函数之积，无采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数等于这两个环节传递函数之积的Z变换。 第8章 采样控制系统

35. 带有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数 根据平移定理 开环系统脉冲传递函数 第8章 采样控制系统

36. 例8-5-1：设离散系统为具有零阶保持器的开环系统，例8-5-1：设离散系统为具有零阶保持器的开环系统， 求系统的脉冲传递函数G(z)。 解：因为 第8章 采样控制系统

37. 4） 采样系统的闭环脉冲传递函数 闭环误差脉冲传递函数： 第8章 采样控制系统

38. 例：设闭环离散系统结构如图所示， 例： 设闭环离散系统结构如图,试求其输出采样信号的z变换函数 第8章 采样控制系统

39. 第8章 采样控制系统

40. 第8章 采样控制系统

41. §8.6 采样控制系统的稳定性分析 8.6.1 采样系统的稳定条件 s域到z域的映射复变量s和z的相互关系为z=esT ， s域中的任意点可表示为 ，映射到z域则为 于是，s域到z域的基本映射关系式为 可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原点为圆心的单位圆。 当s位于S平面虚轴的左边时，σ为负数， 小于1。反之，当s位于s平面虚轴的右半平面时，为正数， 大于1。s平面的左、右半平面在z平面上的映像为单位圆的内、外部区域。 第8章 采样控制系统

42. 线性采样系统稳定的充要条件 在z域中，离散系统稳定充要条件是： 当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，相应的线性定常系统是稳定的 用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的稳定性是很不方便的。因此，需要采用一些比较实用的判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判据就是劳斯判据。 第8章 采样控制系统

43. 8.6.2 劳斯稳定判据 根据复变函数双线性变换公式，令 或 式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部相加的形式，即 当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时，应满足： 左半W平面对应Z平面单位圆内的部分，W平面的虚轴对应Z平面的单位圆上，可见图。因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。 离散系统稳定的充要条件：由特征方程1+GH（z）=0的所有根位于z平面上的单位圆内，转换为特征方程1+GH（w）=0的所有根位于左半W平面。 第8章 采样控制系统

44. 例：设闭环离散系统如图所示，其中采样周期T=0.1(s)，试求系统稳定时k的变化范围。例：设闭环离散系统如图所示，其中采样周期T=0.1(s)，试求系统稳定时k的变化范围。 解：求出G(s)的z变换 闭环系统脉冲传递函数 闭环系统特征方程 化简后，得W域特征方程 第8章 采样控制系统

45. 列出劳斯表 从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须使k>0，2.736-0.632k>0，即k<4.33。 第8章 采样控制系统

46. §8.7 采样系统的稳态误差 利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差 离散系统开环脉冲传递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系统的型别,称v=0,1,2,…..的系统为0型、I型、II型离散系统。 第8章 采样控制系统

47. (1)单位阶跃输入时的稳态误差 式中 称为静态位置误差系数。 对0型离散系统 Kp≠∞, e(∞)≠0 Kp=∞，从而e(∞)=0。 I型、II型以上的离散系统 （2）单位斜坡输入时的稳态误差 静态速度误差系数 0型系统的kv=0 I型系统的为有限值 II型以上系统 的kv=0， 第8章 采样控制系统

48. （3）单位加速度输入时的稳态误差 静态加速度误差系数 0型及I型系统的ka=0 II型系统的为常值 第8章 采样控制系统

49. §8.8 采样系统的暂态响应与脉冲传 递函数零、极点分布的关系 采样系统的单位阶跃响应 （Ai为留数） 上式中第一项为系统输出的稳态分量，第二项为输出的暂态分量。 第8章 采样控制系统

50. 1）实轴上的闭环单极点时 设pi为正实数。 pi对应的暂态项为 pi >0时， 动态过程为按指数规律变化脉冲序列。 pi <0时， 动态过程为交替变号的双向脉冲序列。 若闭环实数极点位于右半z平面，则输出动态响应形式为单向正脉冲序列。实极点位于单位园内，脉冲序列收敛，且实极点越接近原点，收敛越快；实极点位于单位园上，脉冲序列等幅变化；实极点位于单位园外，脉冲序列发散。 若闭环实数极点为于左半z平面，则输出动态响应形式为双向交替脉冲序列。实极点位于单位园内，双向脉冲序列收敛；实极点位于单位圆上，双向脉冲序列等幅变化；实极点位于单位圆外，双向脉冲序列发散。 第8章 采样控制系统