Sisältö

1. Sisältö • Asiantuntija-arvioista • NUREG-1150-menetelmä • Todennäköisyystulkinnat ja -jakaumat • Arvioiden antaminen • Heuristiikat ja harhat • Harjoituksia

2. Asiantuntija-arvioiden tarve • Asiantuntija-arviot hyödyllisiä epävarmuuksien arvioinnissa kun • riittävää dataa tai hyviä malleja ei ole käytettävissä tai • niiden käyttö liian kallista tai aikaa vievää

3. Arvioista • Ihmiset tekevät arvioita päivittäin • ”Uskon että tänään sataa.” • ”En usko, että demokraatit voittavat USA:n seuraavat presidentinvaalit.” • Muodollisen arviointiprosessin hyödyt • Eksplisiittinen • Systemaattinen • Epävarmuudet kuvataan todennäköisyyksillä • Arvioiden harhat pyritään poistamaan => Tarkemmat ja luotettavammat arviot

4. Osapuolet • Tilaaja, päätöksentekijä • Käyttää tuloksia omiin tarpeisiinsa • Normatiiviset asiantuntijat • Todennäköisyyslaskennan, tilastotieteen, kognitiivisen psykologian ja päätösanalyysin tuntijoita • Johtavat asiantuntija-arvioprosessia • Substanssiasiantuntijat • Tuntevat tarkasteltavan aihepiirin • Analysoivat ongelman, arvioivat tarkasteltavien muuttujien arvot ja niiden epävarmuudet

5. NUREG-1150-menetelmä 1. Aiheiden identifiointi ja valinta • Aiheet joiden arvioista on hyötyä • Riittävää dataa tai malleja ei käytettävissä 2. Asiantuntijoiden identifiointi ja valinta • Substanssiasiantuntijat • edustavat alan huippuosaamista • riippumattomia • laaja-alaisuus; mahdolliset eriävät mielipiteet edustettuna • Normatiiviset asiantuntijat

6. NUREG-1150-menetelmä 3. Aiheista keskustelu ja muuttujien tarkempi määrittely 4. Asiantuntijoiden koulutus • Käsitellään todennäköisyyskäsitteitä, arvioiden antamista, harhoja ym. 5. Arvioiden antamiseen valmistautuminen • Esim. kirjallisuuskatsauksia, analyyseja, simulointeja

7. NUREG-1150-menetelmä 6. Arvioiden antaminen • Asiantuntijoiden haastattelu, ajatustapojen dokumentointi ja validointi 7. Yhdistäminen ja erimielisyyksien ratkaisu • Asiantuntijoiden arviot yhdistetään • Erimielisyyksien tarkempi tarkastelu • asioiden huomioimatta jättäminen • virhearvioinnit • oikeasti eriävät näkemykset 8. Dokumentointi ja kommunikaatio

8. Todennäköisyystulkinnat ja -jakaumat

9. Satunnaisilmiöt ja toistokokeet • Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka tuloksen määrää sattuma. • esim. nopanheitto, rahan heitto, kortin vetäminen pakasta • Koe on tapahtumasarja, joka tuottaa käsiteltävää aineistoa. • Kun koetta toistetaan samoissa olosuhteissa, puhutaan toistokokeesta. • Jos tulosmahdollisuuksia vain kaksi, toistokoe on Bernoullin koe

10. Tapahtuman todennäköisyys • Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. • Varman tapahtuman todennäköisyys on yksi. • Tapahtuman A todennäköisyys saa siis arvoja väliltä 0  P(A)  1. • A:n vastatapahtuman todennäköisyys P(”A ei tapahdu”) = 1 - P(”A tapahtuu”).

11. Yhdistettyjen tapahtumien todennäköisyydet:Yhteenlaskusääntö • Todennäköisyys, että A tai B tapahtuu on: • P(A tai B) = P(A) + P(B) - P(A ja B) • Esimerkki:Tehtaan valmistamissa tuotteissa havaittiin valmistusvikoja 2 %:ssa ja värivikoja 4 %:ssa tuotteista. 1%:ssa tuotteista esiintyi sekä valmistus- että värivikoja. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitussa tuotteessa on jompikumpi tai molemmat vioista? • P(A tai B) = 0,02 + 0,04 – 0,01 = 0,05

12. Yhdistettyjen tapahtumien todennäköisyydet:Yhteenlaskusääntö • Jos tapahtumat A ja B ovat toisensa poissulkevia P(A ja B) = 0. Tällöin • P(A tai B) = P(A) + P(B) • Esimerkki: Mikä on todennäköisyys, että heitettäessä yhtä tikkaa saadaan tulokseksi 9 tai 10? • P(9 tai 10) = P(9) + P(10)

13. Yhdistettyjen tapahtumien todennäköisyydet:Ehdollinen todennäköisyys • Tapahtuman A todennäköisyys, kun tapahtuman B tiedetään esiintyneen sitä ennen on A:n ehdollinen todennäköisyys:

14. Yhdistettyjen tapahtumien todennäköisyydet:Ehdollinen todennäköisyys • Esimerkki: Korttipakasta nostetaan kortti, joka osoittautuu kuvakortiksi. Millä todennäköisyydellä nostettu kortti on kuningas?

15. Yhdistettyjen tapahtumien todennäköisyydet:Kertolaskusääntö • Ratkaisemalla P(A ja B) ehdollisen todennäköisyyden kaavasta saadaan • Jos P(A|B) = P(A), ei ehto B vaikuta mitenkään tapahtuman A todennäköisyyteen. Tällöin

16. Todennäköisyyden tulkinnatKlassinen tulkinta • Todennäköisyys on suotuisten tapausten lukumäärän suhde kaikkien mahdolliset tapausten lukumäärään. • Soveltuu ilmiöihin, joissa kaikkien alkeistapausten todennäköisyys on sama • Ongelmia syntyy, kun symmetrisiä vaihtoehtoja ei ole, esim. toispuoleisesti painotettu raha • Tulkinnan mukaan ei voida analysoida esim. seuraavantyyppisiä lauseita: • ”Suhteellisuusteoria on todennäköisesti tosi.” • ”Todennäköisyys, että umpimähkään valittu suomalainen on vasenkätinen, on 0,12.”

17. Todennäköisyyden tulkinnatKlassinen tulkinta • Esimerkki, jossa klassista todennäköisyystulkintaa voidaan soveltaa: Maljassa on 3 valkoista, 5 keltaista ja 4 sinistä palloa, jotka eroavat toisistaan vain värinsä puolesta.Jokaisen pallon esiintymistodennäköisyys on siis 1/12. Millä todennäköisyydellä maljasta satunnaisesti nostettu pallo on • valkoinen? • Suotuisia alkeistapahtumia on 3. Tällöin P(valkoinen) = 3/12 = 1/4. • valkoinen tai sininen? • Suotuisia alkeistapahtumia on 3 + 4 = 7 ja P(valkoinen tai sininen) = 7/12. • ei ole keltainen? • P(ei keltainen) = 1 – P(keltainen) = 1 – 5/12 = 7/12.

18. Todennäköisyyden tulkinnatFrekvenssitulkinta • Aristoteles: ”Todennäköistä on se, mikä tavallisesti tapahtuu.” • Tarkastellaan tapahtuman A suhteellista frekvenssiä pitkissä koesarjoissa. P(A) on luku, jota A:n tuottaneiden kokeiden lukumäärän suhde suoritettujen kokeiden lukumäärään lähestyy toistojen määrän kasvaessa. • Kutsutaan myös todennäköisyyden tilastolliseksi, empiiriseksi tai objektiiviseksi tulkinnaksi.

19. Todennäköisyyden tulkinnatFrekvenssitulkinta • Sulkee pois monia todennäköisyyden käsitteen luonnollisia käyttötapoja • Esim. seuraavat lauseet ovat tulkinnan mukaan mielettömiä: • ”Todennäköisesti en ehdi päivälliselle.” • ”On erittäin epätodennäköistä, että Marsissa on elämää.” • ”Todennäköisyys saada ykkönen seuraavassa heitossa tällä nopalla on 1/6.”

20. Todennäköisyyden tulkinnatPropensiteettitulkinta • Todennäköisyys on jonkin koejärjestelyn taipumus tuottaa koesarjoja, joissa tapahtuman suhteellinen frekvenssi on tietyn suuruinen. • Ongelmana yksittäisten tapahtumien todennäköisyyksien käsittely.

21. Todennäköisyyden tulkinnatLooginen tulkinta • Todennäköisyys ilmaisee loogisen suhteen kahden lauseen, hypoteesin ja evidenssin välillä. • Todennäköisyys on uskomuksen aste hypoteesin totuuteen evidenssin nojalla

22. Todennäköisyyden tulkinnat Subjektiivinen tulkinta (1/3) • Kaikkia epävarmuuksia ei ole mielekästä kuvata klassisen tai frekvenssitodennäköisyystulkinnan avulla, esim: • Millä todennäköisyydellä Saimaan norppa on kuollut sukupuuttoon vuoteen 2020 mennessä? • Millä todennäköisyydellä tapahtuu suuri ydinvoimalaonnettomuus Suomessa seuraavan kymmenen vuoden sisällä? • Toistokoe? • Suotuisten tapahtumien osuus?

23. Todennäköisyyden tulkinnat Subjektiivinen tulkinta (2/3) • Tapahtuma on jo sattunut, mutta tuloksesta ei olla varmoja, esim.: • Kolikkoa on heitetty, mutta tulosta ei ole vielä katsottu. Millä todennäköisyydellä tuli kruunu? • Millä todennäköisyydellä TPS voitti Jokerit jääkiekkojoukkueiden ensimmäisessä SM-liigaottelussa vuonna 1998? • Millä todennäköisyydellä Pariisin asukasluku oli suurempi kuin Lontoon 1.1.1930? • Tapahtumat eivät enää satunnaisia • Jos oikeita vastauksia ei tiedetä, arviot ovat epävarmoja

24. Todennäköisyyden tulkinnat Subjektiivinen tulkinta (3/3) • Ilmaisee havaitsijan epävarmuutta tai käsitystä tietyn tapahtuman tuloksesta • Havaitsijasta riippuvainen • Saatavilla olevasta tiedosta riippuvainen • subj. tn muuttuu, kun saadaan uutta tietoa

25. TavallisimmattodennäköisyysjakaumatNormaalijakauma • Esimerkki: Suomalaisten poikalasten syntymäpituus noudattaa normaalijakaumaa keskiarvona 52,0 cm ja keskihajontana 3,5 cm.

26. TavallisimmattodennäköisyysjakaumatNormaalijakauma • Kertymäfunktion kuvaajasta nähdään, että syntymäpituuden mediaani on sama kuin keskiarvo, eli 52 cm. Fraktiilit kertovat, että 10 % poikalapsista on syntyessään alle 47,5 cm pitkiä ja 10 % yli 56,5 cm pitkiä.

27. TavallisimmattodennäköisyysjakaumatTasajakauma • Esimerkki: Tarkastellaan 15 m pitkää kaapelia, jossa todetaan yksi vika.

28. TavallisimmattodennäköisyysjakaumatTasajakauma • Kertymäfunktion kuvaajaan piirretyistä fraktiileista nähdään, että vika löytyy 25 %:n todennäköisyydellä ensimmäisen 3,8 m:n matkalta ja 50 %:n todennäköisyydellä ennen 7,5 metrin kohtaa. Todennäköisyydellä 25 % kaapelia joudutaan tutkimaan yli 11,2 metrin matkalta ennen kuin vika löytyy.

29. TavallisimmattodennäköisyysjakaumatEksponentiaalijakauma • Esimerkki: Satunnaisessa liikennevirrassa ajoneuvojen aikavälit noudattavat eksponentiaalijakaumaa.Liikennemäärä on 800 ajon/h.

30. TavallisimmattodennäköisyysjakaumatEksponentiaalijakauma • Kertymäfunktion kuvaajaan piirretystä mediaanista nähdään, että lähes puolella ajoneuvoista aikaväli edelliseen ajoneuvoon on alle 3 sekuntia. 20 % ajoneuvoista ajaa alle sekunnin ja 80 % alle 7,2 sekunnin päässä edellä ajavasta ajoneuvosta.

31. Arvioiden antaminen 1. Muuttujan X minimi- ja maksimipisteet 2. Mediaani f50 : • Asiantuntijan mielestä X < f50 on yhtä todennäköinen kuin X > f50 3. Fraktiileja • f5, f25, f75, f95 ... • esim. f5: P(X<f5) = 0,05; X < f5 yhtä varma kuin, että 20 arvan joukosta nostetaan määrätty arpalippu

32. Muuttujien dekomponointi • Usein alkuperäinen ongelma voidaan jakaa osiin ja arvioida niitä • näitä yleensä helpompi arvioida • arviot yhdistetään todennäköisyyslaskun sääntöjä käyttäen => Saadaan parempi arvio alkuperäisestä ongelmasta

33. p X nousee 1-p X laskee Esimerkki dekomponoinnista • Alkuperäinen kysymys: Millä todennäköisyydellä osakkeen X arvo nousee huomenna? • Tehtävänä arvioida p:n suuruus

34. Esimerkki dekomponoinnista (2) • Jaetaan alkuperäinen kysymys kahteen tapaukseen: • Hex-indeksi nousee • Hex-indeksi laskee • Arvioidaan pH, pu, pd pu X nousee pH Hex nousee 1-pu X laskee pd X nousee 1-pH Hex laskee 1-pd X laskee

35. Esimerkki dekomponoinnista (3) • Alkuperäisen kysymyksen todennäköisyys p saadaan seuraavalla laskutoimituksella:

36. Heuristiikat ja harhat

37. Heuristiikka = Nyrkkisääntö, jonka avulla ihminen arvioi monimutkaisten epävarmojen tapahtumien todennäköisyyttä • Heuristiikat monesti hyödyllisiä, mutta voivat myös johtaa systemaattiseen virhearviointiin eli harhoihin, joita seuraavassa esitellään

38. Linda on 31-vuotias, naimaton, sanavalmis ja älykäs nainen. Opiskeluaikoinaan hän oli kiinnostunut syrjinnästä ja sosiaalisesta tasa-arvosta sekä osallistui myös ydinvoiman vastaisiin mielenosoituksiin. Kumpi seuraavista vaihtoehdoista on mielestäsi todennäköisempi: a) Linda on pankkivirkailija. b) Linda on pankkivirkailija ja toimii aktiivisesti feministisessä kansalaisjärjestössä.

39. Psykologiryhmä on haastatellut 30 insinööriä ja 70 asianajajaa ja tehnyt kaikista heistä lyhyen kuvauksen. Millä todennäköisyydellä henkilö on insinööri josa) Hänet valitaan satunnaisesti koko 100 haastatellun joukosta.b) Hänen kuvauksensa on seuraava: "Hän on 30-vuotias lapseton mies. Hän on omalla alallaan kyvykäs ja erittäin motivoitunut. Hänen kollegansa arvostavat häntä."c) Hänen kuvauksensa on seuraava: "Hän on 45-vuotias mies, jolla on neljä lasta. Hän on yleisesti ottaen konservatiivinen, huolellinen ja kunnianhimoinen. Hän ei ole kiinnostunut politiikasta tai sosiaalisista asioista ja viettää vapaa-aikaansa monien harrastustensa parissa, joita ovat mm. purjehtiminen ja matemaattisten "pähkinöiden” ratkaiseminen.

40. Kahdeksasluokkalaisten keskimääräinen älykkyysosamäärä tietyssä kaupungissa on 100. Oppilaiden joukosta on valittu 50 lapsen otos, jonka älykkyyttä tutkitaan. Ensimmäisen testattavan oppilaan älykkyysosamäärä on 150. Minkä oletat olevan koko otoksen keskimääräinen älykkyysosamäärä?

41. Edustavuusheuristiikka (1/3) • Ajatellaan, että jos x edustaa hyvin joukkoa A, niin todennäköisyys, että x kuuluu A:han on suuri. • Usein unohdetaan eri joukkojen suhteelliset frekvenssit eli yleisyydet. • Esim. ammattijalkapalloilijoita vähemmän kuin hoitajia

42. Edustavuusheuristiikka (2/3) • Kahden tapahtuman leikkaus ei voi olla todennäköisempi kuin toinen tapahtumista yksinään Leikkaus B A

43. Edustavuusheuristiikka (3/3) • Otoskoko täytyy huomioida • Pienemmässä otoksessa sattuu helpommin keskimääräisestä poikkeavia tapahtumia • Satunnaiset ilmiöt eivät ole itseään korjaavia • Esim. kumpi todennäköisempi: HTTHTH vai HHHTTT

44. Valitse kustakin parista se, jonka arvelet olevan yleisempi kuolinsyy USA:ssa:Diabetes / MurhaPyörremyrsky / SalamaniskuAuto-onnettomuudet / Mahasyöpä

45. Vertaa kahta eri rakennetta A ja B, jotka on esitetty ohessa. Polku on sellainen viiva, joka yhdistää merkin X ylärivillä merkkiin X alarivillä kulkien kullakin rivillä täsmälleen yhden X-merkin kautta. Toisin sanoen rakenteessa A polkuun kuuluu kolme X:ää ja B:ssä yhdeksän X:ää (yksi joka riviltä). Kuvaan on piirretty yhdet mahdolliset polut. Kummassa rakenteessa on enemmän mahdollisia polkuja?

46. Saavutettavuusheuristiikka • Helposti muistettavat ja miellettävät asiat vaikuttavat todennäköisemmiltä • Harhaa synnyttää mm. sensaatioarvo, asioiden kuvitteleminen sekä se, miten elävästi jokin asia on esitetty • Esim. ilmailusta jäävät mieleen onnettomuudet, eivät onnistuneet lennot

47. Paperi taitetaan kahtia. Sitten se taitetaan uudestaan kahtia ja taas uudestaan. Kuinka paksu se on 100 taitoksen jälkeen? • Anna pikainen arvio seuraavalle tulolle (laskematta sitä oikeasti).8  7  6  5  4  3  2  1 = __________

48. Kaksi uurnaa on täytetty miljoonilla pokerin pelimerkeillä. Toisessa uurnassa on 70 % punaisia ja 30 % sinisiä pelimerkkejä. Toisessa puolestaan on 70 % sinisiä ja 30 % punaisia pelimerkkejä. Toisesta uurnasta nostetaan kaksitoista pelimerkkiä, joista kahdeksan on punaista ja neljä on sinistä. Mikä on todennäköisyys, että pelimerkit nostettiin uurnasta, jossa oli 70 % punaisia merkkejä?

49. Ankkuroituminen • Ihminen arvioi todennäköisyyksiä tai esiintymistiheyksiä jonkin alkuarvon perusteella • Yleensä alkuarvoa ei muuteta tarpeeksi ja arvio jää liian pieneksi • Esim. Arvioi vuotuinen kuolleisuus, kun liikenneonnettomuuksissa kuolee vuosittain 400 ihmistä.

50. Absintti on a) likööri b) jalokivi Kuinka varma olet vastauksestasi0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0