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15.4.2 因式分解与公式法 ( 平方差公式 ). 每一堂课都是一次知识的累积； 每一次举手都是一次勇气的锻炼； 让我们用勇气做翅膀，在知识的天空自由翱翔。. 横县云表镇一中 黄心设 电话 :13788310790 邮箱 :. 整式乘法与因式分解是互逆的过程. 平方差公式： (a+b)(a-b) = a ² - b ². 整式乘法. 两个数的 平方差 ，等于这两个数的 和 与这两个数的 差 的 积. a ² - b ² = (a+b)(a-b). 因式分解. 1. 把下列各式写成完全平方的形式：
E N D
15.4.2 因式分解与公式法(平方差公式) 每一堂课都是一次知识的累积； 每一次举手都是一次勇气的锻炼； 让我们用勇气做翅膀，在知识的天空自由翱翔。 横县云表镇一中 黄心设 电话:13788310790 邮箱:
整式乘法与因式分解是互逆的过程 平方差公式： (a+b)(a-b) = a² - b² 整式乘法 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 a² - b² = (a+b)(a-b) 因式分解
1.把下列各式写成完全平方的形式： 如：36x2y4=( 6xy2) 2 • 121a 2= ______, (2) 49a4 = __________; • (3)0.04a6b2=_______, (4) 0.16(a–b) 2=_______ ; • (5) =_______, (6) =_________. 第十五章 因式分解 八年级 数学 (11a) 2 (7a2) 2 (0.2a3 b ) 2 [0.4(a-b)] 2
把下列各式分解因式: 答：一个多项式如果是由两项组成，两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两项的符号为异号. 平方差公式 :a2-b2 =(a+b)(a-b) 八年级 数学 1.具备什么特征的多项式是平方差式? a2 − b2 = (a + b) (a-b) =x² - 12 =（x+1) (x-1) (1) x² - 1 =m²- 32 (2) m² - 9 =（m+3)(m-3) (3) x² - 4y² =x² - (2y)2 =（x+2y) (x-2y) 2.运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区分a、b? 答:平方前符号为正，平方下的式子（数）为ａ 平方前符号为负，平方下的式子（数）为ｂ
1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式？ (1) x2 + y2 (2) x2 - y2 (3) -x2+y2 (4) -x2 - y2 不能，这是平方和 能, x2-y2=(x+y)(x-y) 能，-x2+y2=(y+x)(y-x) 不能，这是平方和的相反数 2.下列多项式可以用平方差公式去分解因式吗？为什么？ (1) 4x2+y2 (2) 4x2－(－y)2 (3) －4x2－y2 (4) －4x2+y2 (5) a2－4 (6) a2＋3
例3 分解因式: (1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2. 把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体,设x+p=m,x+p=n,则原式化为m2-n2. 分析:在(1)中,4x2 = (2x)2,9=32,4x2-9 = (2x )2 –3 2,即可用平方差公式分解因式. • 4x2 – 9 • = (2x)2 – 3 2 • = (2x+3)(2x-3). • (x+p)2 – (x+q) 2 • = [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)] • =(2x+p+q)(p-q).
分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 例4分解因式: (1)x4-y4; (2) a3b – ab. 分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.(2)a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再进一步分解. 解:(1) x4-y4 = (x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y) (2) a3b-ab =ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1).
1.把下列各多项式分解因式: 1). 1-25b2 2). x5-x3 3). 81x4-y4 4). (a-b)x2+(b-a)y2 5). ab(a+b)2-ab 6). 9(a+b)2-16(a-b)2 7). 4a2-(b+c)2
2.把下列各式分解因式 ⑴ x2－y2 ⑵ 1－m2 ⑶ －a2＋b2 ⑷ x2－y2 ⑸ －9＋16x2 ⑹ x2－9y2 ⑺ 4x2－9y2 ⑻ 0.09a2－4b2 ⑼ 0.36x2－y2 ⑽ x4－y2 ⑾ x2y2－z2(12) x2－(x－y)2 (13) 9(x－y)2－y2 (14) (x＋2y)2－(2x－y)2 (15) 16(a＋b)2－9(a－b)2 (16) (a2＋b2)2－a2b2
3.因式分解： １、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2 4、(a-b)n+2 - (a-b)n 解：782-222 =(78+22)(78-22)=100×56 =5600 4.利用因式分解计算 • 25×1012-992×25 • =25×(1012-992) • =25×(101+99)×(101-99) • =25×200×2 • =10000 提取公因式 • 782-222 • 25×1012-992×25 用平方差公式分解因式
综合运用 1 1 1 1 1 22 32 42 92 102 1、运用简便方法计算： 1） 20032 – 9 2）（1 - ）（1 - ）（1- ）×···×（1- ）（1- ） 2、设n为整数，用因式分解说明(2n+1)2 - 25能被4整除。 3、若a、b、c是三角形的三边长且满足 (a+b)2-(a-c)2=0，则此三角形是（ ） A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、不能确定
1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1) • 巩固练习： • 1.选择题： • 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ） • 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y² • -4a² +1分解因式的结果应是 （ ） • -(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1) • -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1) • 2. 把下列各式分解因式： • 1）18-2b² 2) x4 –1 D D
你能解下列方程吗? 练习: 分解因式： (1) － 2y2 (2)x2n+1-100x 1 1 1 1 x2 x2 8 8 8 8 －2y2= (x2－16y2)= (x+4y)(x－4y) 解： x2n+1－100x= x(x2n－100)= x(xn+10)(xn－10)
分解因式: (1) x5－x3 (2) 2x4-32y4 x3 解：(1) x5－x3 = (x2 –1) = x3 (x+1)(x－1) 结论： 再考虑平方差公式. 1、先提出公因式， 2、分解因式分解到不能分解为止. • 2x4-32y4=2(x4-16y4) • =2(x2+4y2)(x2-4y2) • = 2(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)
分解因式： 解：原式
3.观察下列各式：1–9 = - 8, 4-16= -12, 9-25=-16, 16-36= -20······ （1）把以上各式所含的规律用含n(n为正整数）的等式表示出来。 （2）按照（1）中的规律，请写出第 10个等式。 4．证明：两个连续偶数的平方差能被4整除吗？请与你的同伴交流。 5.248－1可以被60和70之间的两个数整除，请求出这两个数。
小结：1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式小结：1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式 可运用平方差公式分解因式。 2.公式a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数， 也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再 进一步分解因式。 4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简， 直到不能再分解为止。
