5 Gamma Dağılımı

1. 5 Gamma Dağılımı • Gamma dağılımının yoğunluk fonksiyonu şöyledir. • Dağılımın parametreleri  ve  olup gamma fonksiyonudur. Dağılım adını bu fonksiyondan almaktadır. • Farklı her  ve  değerleri için farklı dağılım şekilleri elde edilmektedir. Mesela  =1 ve  =1,  =2,  =3,  =4 değerleri aşağıdaki şekilde görülen dağılımlar elde edilir. • Gamma fonksiyonu şöyle ifade edilir. • Gamma fonksiyonuna ardı ardına kısmi integrasyon uygulanarak;

2. Gamma Dağılımı • Farklı her  ve  değerleri için farklı dağılım şekilleri elde edilmektedir. Mesela  =1 olurken =1,  =2,  =3,  =4 değerlerini aldığında aşağıdaki şekilde görülen dağılımlar elde edilir.

3. Gamma Dağılımı • Gamma dağılımında  ve  nın bazı değerleri için özel dağılımlar elde edilir. • =1 için üstel dağılım, • Ki-kare dağılımı elde edilir. • Gamma dağılımının ortalaması: • Dağılımın standart sapamsı : • Bu iki değerden hareketle  ve  şöyle bulunur.

4. Gamma Dağılımı • Örnek: Bir işletmede günlük elektrik enerjisi tüketiminin (bin kilovat/ saat cinsinden ) bir gamma dağılımına göre değiştiği kabul edilmektedir. İşletmenin çevirim santralinin günlük kapasitesi 10 bin kilovat/saat olduğuna göre, her hangi bir günde işletmenin elektrik ihtiyacının çevirim santrali kapasitesini aşması olasılığını bulunuz? • Çözüm:

5. Gamma Dağılımı

6. 6. Weibull Dağılımı • Özellikle güvenilirlik analizinde kullanılan önemli bir olasılık dağılımıdır. Dağılımım olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonları aşağıda verilmiştir. • Olasılık yoğunluk fonksiyonu; • Olasılık dağılım fonksiyonu; • Fonksiyonda : şekil, : yer parametresidir. • =1 olursa Weibull dağılımı üstel dağılıma dönüşür. •  büyüdükçe dağılım normal dağılıma yaklaşır.

7. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği incelendiğinde alfa parametresi büyük değerler aldığında Weibull dağılımı Normal dağılıma doğru yaklaşmaktadır.

8. Weibull Dağılımı • Örnek:Bir cihazın güvenilirliğinin =3, =100 saat olan Weibull dağılımına uyduğu bilinmektedir. • a) Bu cihazın en fazla 70 saat kesintisiz (arızasız) çalışma olasılığını bulunuz. • b) 90 saat için güvenilirliğini ( hiç arıza yapmama olasılığını) bulunuz. • Çözüm:Olasılık dağılım fonksiyonu ile çözüm • a) • b)

9. Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı • Eğer n deney sayısı yeterce büyük ise, dağılımın çarpıklığı çok belirgin olmayacaktır. Böyle durumlarda kesikli olan Binom değişkeni uygun bir işlemle sürekli bir değişkene dönüştürülür. Böylece n ve p parametreleri ile tanımlanmış olan Binom dağılımı yerine normal dağılım kullanılabilir. • Deney sayısı n değerinin yeterince büyük olması ifadesi oldukça muğlak bir ifadedir. Deney sayısının yeterince büyük olup olmadığını tespit için çeşitli yöntemler kullanılmaktadır. • Bu yaklaşımlardan biri hem np ve hem de n(1-p) nin 5 ten büyük olması yaklaşımıdır. • Diğer bir yaklaşım ise yaklaşık olarak Binom rasgele değişkeninin 0 ve n arasındaki tüm tam sayı değerleri alma olasılıklarının normal dağılımda P(µ - 3 < X < µ + 3) olarak düşünülebilir. Binom dağılımında µ=np ve =√npq olduğu düşünülürse:

10. Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı • Yukarıdaki eşitsizliklerin çözümünden: • elde edilir. Buna göre p nin bazı değerleri için n şöyle olur. • Ayrıca Binom değişkeni kesikli olduğu halde normal değişken süreklidir. Bu durumda Binom değişkenini sürekli şekle dönüştürmek gerekir. Kesikli olan Binom değişkeni {0, n} arasındaki tam sayı değerleri alır. Bu tam sayıların arasındaki birer birimlik boşlukların değişkenin değerine yansıtılması gerekir. Bunun için değişkenin değeri (1/2) birim geriden başlayıp (1/2) birim ileriden bitirilir. Böylece kesiklilik hali sürekli hale dönüştürülmüş olur.

11. Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı • Örnek olarak aşağıdaki tabloda bazı Binom değişkenlerinin sürekli şekilleri verilmiştir. • Örnek:Bir lisedeki öğrencilerin ÖSS sınavını kazanma olasılıkları 0,3 tür. Bu lisede sınava 100 öğrenci katıldığı bilindiğine göre; • a) Sınavı 30 öğrencinin kazanma olasılığı ne olur? • b) Bu öğrencilerin en az 27 sinin kazanma olasılığı ne olur? • c) Öğrencilerin en az 33 en fazla 37 inin kazanma olasılığı ne olur?

12. Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı • Çözüm: • Dağılımın ortalaması: µ = np = 0,3*100 = 30 • Dağılımın varyansı : 2 = npq = 0,3*0,7*100 = 21  =4,58 a) P(X=30) a) Normal yaklaşımla P(29,5<X<30,5) olur. • b) P(X≥27) için normal yaklaşımla P(X>26,5) aranır.

14. Problem Bir elektronik mamul 22 entegre devreden oluşmaktadır. Entegre devrelerin arızalı olma olasılıkları %1 ve birbirinden bağımsızdır. Elektronik parçanın çalışır olması için bütün devrelerinin sağlam olması gerekmektedir. • a) Rastgele seçilen 60 entegre devreden en az 2 tanesinin arızalı olma olasılığı nedir? • b) Seçilen devrelerden en az 1 tanesinin arızalı olma olasılığı %80 olması için kaç entegre devre seçilmelidir? • c) Bu devrelerle imal edilen elektronik mamulün sağlam olma olasılığı nedir? • d) Rasgele seçilen 10 mamulden en çok 2 sinin arızalı olma olasılığı nedir. • e) Seçilen 7. mamulün ilk arızalı parça olma olasılığı nedir? • f) Seçilen 10. mamulün 3. arızalı mamul olma olasılığı nedir? • g) Rasgele seçilen 140 mamulden en az 30 tanesinin kusurlu olma olasılığını bulunuz.

17. Problem • Bir hastaneye gelen hastaların dahiliye polikliniğine gitme olasılığı %15 dir. Bu hastaneye gelen 40 hastadan • a) Dahiliye polikliniğine giden hastaların ortalama ve varyansı ne olur? • b) Hastaneye gelen 40 hastanın 5 tanesinin dahiliye polikliniğine gitme olasılığı ne olur? • c) Bu hastaların en az 3 tanesinin dahiliye polikliniğine gitme olasılığı ne olur? • d) Hastaneye gelen 5. hastanın dahiliye polikliniğine gelen ilk hasta olma olasılığı ne olur? • e) Hastaneye gele 40. hastanın dahiliye polikliniğine gelen 4. hasta olma olasılığı ne olur? • f) Hastaneye gelen hastaların %15 i dahiliye, %20 si KBB’ye, % 10 u Çocuk ve geri kalanı diğer polikliniklere gittiğine göre, Hastaneye gelen 40 hasta içerisinden seçilen 10 hastadan 2 sinin dahiliye, 3 ünün KBB ye, 1 inin çocuk, geri kalanlarının diğer polikliniklere gitme olasılığı ne olur?