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第七章 线性空间与线性变换 §1 线性空间定义与性质

第七章 线性空间与线性变换 §1 线性空间定义与性质. 定义 设 V 为 非空集合， P 为一数域（对四则运算封闭的数集合）。 V 中有两种 运算 ① “加法”：任意 α ， β ∈ V, 唯一确定 γ = α + β ∈ V ； ② “数乘”：任意 α ∈ V 及 任意 k ∈ P, 唯一确定 δ = k α ∈ V. 且满足以下 8 条运算律： α + β = β + α ； ( α + β )+ γ = α +( β + γ ); V 中存在零元素 0 ，使 α +0= 0 + α = α ；

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第七章 线性空间与线性变换 §1 线性空间定义与性质

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  1. 第七章 线性空间与线性变换 §1 线性空间定义与性质 • 定义设V为非空集合， • P为一数域（对四则运算封闭的数集合）。 • V中有两种运算 • ①“加法”：任意α，β∈V,唯一确定 γ= α+β ∈V； • ②“数乘”：任意α∈V及任意k∈P,唯一确定δ= kα∈V. • 且满足以下8条运算律： • α+β= β+α； • (α+β)+ γ= α+(β +γ); • V中存在零元素0，使α+0= 0+α=α； • 任意α∈V，存在其负元素-α∈V，使α+(- α)= 0； • 1 α= α; • 任意k,l∈P,(kl) α=k(lα)=l(kα); • k(α+β)= kα+kβ； • (k+l)α=kα+lα. • 则称V为数域P上的线性空间.

  2. 第七章 线性空间 与线性变换§1 线性空间定义与性质(续1) 例1 Rn对向量的加法和数乘构成R上的线性空间。 向量空间必为线性空间。 线性空间为向量空间的抽象， 线性空间中的元素也称为“向量”。 例2 P[x]n={f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1|ai ∈P} (次数小于n的多项式全体) 对多项式的加法和数乘构成P上的线性空间。 n次多项式全体不是线性空间 例3 Pm×n={A=[aij]m×n|aij∈P} 对矩阵的加法和数乘构成P上的线性空间

  3. 第七章 线性空间 与线性变换§1 线性空间定义与性质(续2) 例4 设R+={全体正实数}。对任意a,b∈ R+，定义 1.加法：a b=ab; 2.数乘:k⊙a=ak. 问： R+是否是R上的线性空间？

  4. 第七章 线性空间 与线性变换§1 线性空间定义与性质(续3) 线性空间线性空间的性质： 1、零元素唯一； 2、任意元素的负元素唯一； 3、0α=0； 4、若kα=0,则 k=0或α=0.

  5. 第七章 线性空间 与线性变换§1 线性空间定义与性质(续4) 定义：设W为线性空间V的非空子集，若W对V的加法、 数乘也构成线性空间，则称W为V的（线性）子空间。 定理1 线性空间V的非空子集W为V的子空间的充要条件为W对V的加法、数乘封闭. 如{0}、V均为V的子空间，叫作V的平凡子空间.又如 为Pn×n的子空间.

  6. 第七章 线性空间 与线性变换§2 基、维数、坐标 向量空间的理论可平行移到线性空间中来. 如线性组合、线性表示、线性相关、最大无关组、秩等.又 1.α1, α 2,…,αm线性相关的充要条件为： 存在不全为零的数k1,k2,…,km,使 k1α1+k2α 2+…+kmαm=0； 线性无关的充要条件为：k1α1+k2α 2+…+kmαm=0 时 ki必全为零； 2.向量组A可由向量组B线性表示，则 rA≤rB； 3.设α1, α 2,…,αm线性无关， 而α1, α 2,…,αm，b线性相 关，则b可由α1, α2,..., αm唯一地线性表示.

  7. 第七章 线性空间 与线性变换§2 基、维数、坐标（续1） 定义设V为数域P上的线性空间， V中向量 α1, α2,..., αr 满足： 1) α1, α2 , ... ,αr线性无关； 2) V中任意向量α均可由α1, α2,..., αr线性表示： α=k1 α1 +k2 α2+...+kr αr 则称α1, α2,..., αr为V的一组基， 称V为r维线性空间 （dimV=r）. 称k1,k2,...,kr为α在基α1, α2,..., αr下的坐标.

  8. 第七章 线性空间 与线性变换§ 2 基、维数、坐标（续2） 例1 求P[x]n（次数小于n的多项式全体）的一组基与维数. 解：1,x,x2,…,xn-1线性无关， (当 k0+k1x +k2x2+ …+kn-1 xn-1 = 0时，ki必全为0） 又对任意f(x)=a0+a1x +a2x2+ …+an-1 xn-1∈ P[x]n, 显然f(x)可由1,x,x2,…,xn-1线性表示， ∴1,x,x2,…,xn-1为P[x]n的一组基，dim P[x]n=n.

  9. 第七章 线性空间 与线性变换§ 2 基、维数、坐标（续3） 例2 求Pm×n={A=[aij]m×n|aij∈P}的一组基与维数. 解：设Eij∈ Pm×n，且其第i行第j列元素aij=1，其余元素均为0，则Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)线性无关， 又对任意A=[aij]m×n∈ Pm×n, A可由Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)线性表示: ∴ Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)为Pm×n的一组基， dim Pm×n=m×n

  10. 第七章 线性空间 与线性变换§ 2 基、维数、坐标（续4） 设α1, α2 , ... ,αr为线性空间V的一组基, 则 V=L(α1, α2,..., αr) ={ k1α1+k2α2+ ... +krαr |ki∈P}

  11. 第七章 线性空间 与线性变换§ 2 基、维数、坐标（续5） 例3 P[x]3中，求f(x)=2x2-x+1在 基Ⅰ:1,x,x2 与基Ⅱ: 1,x+1,(x+1)2下的坐标. 解： f(x)在基Ⅰ下的坐标为1，-1，2； 设f(x)=a+b(x+1)+c(x+1)2, 则 f(x)=a+b+c+(b+2c)x+cx2 ∴f(x)在基Ⅱ下的坐标为:4,-5,2.

  12. 第七章 线性空间 与线性变换§3 基变换与坐标变换 定义：设Ⅰ：ξ1，ξ2，…，ξn及Ⅱ：η1,η2,…,ηn为线性空间Vn的两组基，且有基变换公式： 记作： 称A=[aij]n×n为从基Ⅰ到基Ⅱ的过渡阵.

  13. 第七章 线性空间 与线性变换§3 基变换与坐标变换（续1） 定理2设A为从基Ⅰ：ξ1，ξ2，…，ξn到基Ⅱ：η1,η2,…,ηn的过渡阵，则（1） A可逆,且从基Ⅱ到基Ⅰ的过渡阵为A-1；（2）若向量α在两组基下的坐标分别为 则 及 X=AY (Y=A-1X)

  14. 第七章 线性空间 与线性变换§4 子空间的维数与基 维数公式 定理3设Ⅰ： ξ1，ξ2，…，ξt 与 Ⅱ： η1,η2,…,ηs 是线性空间V中的两个向量组，则 （1） L(ξ1，ξ2，…，ξt)=L(η1,η2,…,ηs) 的充要条件为： 组Ⅰ与组Ⅱ等价； （2）dim L(ξ1，ξ2，…，ξt)=rⅠ.

  15. 第七章 线性空间 与线性变换§4 子空间的维数与基 维数公式（续1） 定义设W1，W2是线性空间V的两个子空间，则V的子集 W1∩W2={α| α∈W1且α∈W2}， W1+W2={α1+ α2| α1∈W1，α2∈W2 } 分别称为这两个子空间的交与和. 定理4 线性空间V的两个子空间W1，W2的交与和仍是V的子空间.

  16. 第七章 线性空间 与线性变换§4 子空间的维数与基 维数公式（续2） 定理5 (维数公式)设W1，W2是线性空间V的两个子空间，则 dimW1+dimW2 = dim(W1+ W2)+dim(W1∩W2)

  17. 第七章 线性空间 与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示 定义：设V是数域P上的线性空间,T是从V到V的一个变换，且满足： 1）对任意α，β∈V, 有 T(α+ β)=T(α)+T(β); 2）对任意α∈V及任意k ∈P,有 T(k α)=kT(α). 则称T为V上的线性变换. 设γ= T(α)，称 γ为α的像， α为γ的原像.

  18. 第七章 线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续1) 线性变换的简单性质： 1. T(θ)= θ, T(-α)= - T(α); 2. T(k1α1+k2α2 +…+ksαs) =k1T(α1)+k2T(α2) +…+ksT(αs) 3. 若α1,α2 ,…, αs线性相关，则 T(α1),T(α2) ,…,T(αs)线性相关. 反之未必.

  19. 第七章 线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续2) 几种特殊的线性变换： 1.单位变换（恒等变换）I: 任意α∈V,I(α)= α. 2.零变换O: 任意α∈V,O(α)= θ. 3.数乘变换K: 任意α∈V,K(α)= kα.

  20. 第七章 线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续3) 例1 P[x]n中，∨f(x),定义Ð(f(x))=f/(x) 则Ð为P[x]n上的线性变换. Rn中的线性变换Y=AX与n阶方阵一一对应.

  21. 第七章线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续4) 定义：设Ⅰ ：ξ1，ξ2，…，ξn为线性空间V的一组基，T为V上的线性变换，且 记作： 称A=[aij]n×n为T在基Ⅰ下的矩阵.

  22. 第七章线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续5) 任意β∈ V，设β=k1ξ1+k2ξ2+…+knξn 则 T(β)=k1T(ξ1)+k2T(ξ2)+…+knT(ξn) 所以T由T(ξ1)，T(ξ2)，…，T(ξn)确定，即由A确定. 取定V的一组基，则T与A一一对应.

  23. 第七章 线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续6) 几种特殊的线性变换的矩阵： 1.单位变换I (在任何基下)的矩阵为: E(单位矩阵). 2.零变换O (在任何基下)的矩阵为: O(零矩阵): 3.数乘变换K (在任何基下)的矩阵为: kE.

  24. 第七章 线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续7) 例1 P[x]n中，∨f(x),定义Ð(f(x))=f/(x) 取基1,x,x2,…,xn-1,求Ð在此基下的矩阵A. 解: Ð(1)=0, Ð(x)=1, Ð(x2)=2x, …… Ð(xn-1)=(n-1)xn-2,

  25. 第七章 线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续8) 例2 R3中，取两组基， Ⅰ:ε1=(1,0,0)T, ε2=(0,1,0)T ,ε3=(0,0, 1)T Ⅱ： α1=(2,2,1)T, α2=(1,1,-1)T , α3=(-1,0,1)T σ是R3上的线性变换： 分别求σ在基Ⅰ, Ⅱ下的矩阵A和B.

  26. 第七章 线性空间 与线性变换§ 5 线性变换及其矩阵表示(续9) 定理6设T为线性空间V上的线性变换， 从基Ⅰ：ξ1，ξ2，…，ξn 到基Ⅱ：η1,η2,…,ηn的过渡阵为P ， T在两组基下的矩阵分别为A和B，则 B=P-1AP 证：T(ξ1，ξ2，…，ξn)=(ξ1，ξ2，…，ξn)A T(η1,η2,…,ηn)= (η1,η2,…,ηn)B 左边=T((ξ1，ξ2，…，ξn)P) =(T(ξ1，ξ2，…，ξn))P =(ξ1，ξ2，…，ξn)AP 右边=(ξ1，ξ2，…，ξn)PB ∴AP=PB,即 B=P-1AP

  27. 第七章 线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续10) 例2 中,Ⅰ:ε1=(1,0,0)T, ε2=(0,1,0)T ,ε3=(0,0, 1)T Ⅱ:α1=(2,2,1)T, α2=(1,1,-1)T , α3=(-1,0,1)T 求σ在基Ⅰ, Ⅱ 下的矩阵A和B. 解:设 (α1α2α3)=(ε1ε2ε3)P,得Ⅰ到Ⅱ的过渡阵 又

  28. 第七章 线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续11) 例3 P[x]3中,g1=1-x-x2, g2=3x-2x2 ,g3=1-2x2为基(Ⅱ)， 求Ð(f(x))=f/(x)在此基的矩阵. 解:Ð在基Ⅰ:1,x,x2下的矩阵 Ⅰ到Ⅱ的过渡阵P= 即(g1,g2,g3)=(1,x,x2)P ∴Ð在基Ⅱ下的矩阵

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