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分析力学. 牛顿力学遇到困难，受到挑战. 拉格朗日有了革命性的设想，用全新方法来处理问题，无论问题多么复杂，均把矢量变为标量，扩大了坐标的概念，引入广义坐标，便于研究受约束质点组的力学问题。. 分析力学. 是 理论力学 的一个分支，它通过用 广义坐标 为描述 质点系 的变数，运用数学分析的方法，研究宏观现象中的力学问题。. 分析力学的发源.
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牛顿力学遇到困难，受到挑战 拉格朗日有了革命性的设想，用全新方法来处理问题，无论问题多么复杂，均把矢量变为标量，扩大了坐标的概念，引入广义坐标，便于研究受约束质点组的力学问题。
分析力学 是理论力学的一个分支，它通过用广义坐标为描述质点系的变数，运用数学分析的方法，研究宏观现象中的力学问题。
分析力学的发源 1788年拉格朗日出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析力学的著作。分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上。两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力方程。1760～1761年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。
1834年，哈密顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程，称为正则方程。哈密顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。
从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论。从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论。
分析力学的主要内容 导出各种力学系统的动力方程，如完整系统的拉格朗日方程、正则方程，非完整系统的哈密顿方程等；探求力学的普适原理，如哈密顿原理、最小作用量原理等；探讨力学系统的特性；研究求解运动微分方程的方法，例如，研究正则变换以求解正则方程；研究相空间代表点的轨迹，以判别系统的稳定性等。
分析力学与牛顿力学的关系 物体运动的基本原理是牛顿力学，分析力学是在牛顿力学的基础上推导出的另外一种研究力学的方法：以系统整体为研究对象，以系统的总能量作为研究对象。
分析力学的优点 1. 巧妙的消去“理想约束”，减少方程组中未知量的个数； 2. 观点高、理论完整，涉及范围广，内容丰富； 3. 学习分析力学不仅是为了提高和深化力学知识，也是为后续课程学习的的需要。哈密顿正则方程 和正则变换在统计物理中有重要应用，泊松括号的概念在量子力学中非常重要。
分析力学的缺点 数学推理多，容易使人忽略力学的物理实质，因此用数学来解决问题是要注意它的物理意义，数学毕竟是一种工具，归根结蒂用物理知识来判断。
本章讲述以下几个问题 §5.1 约束与广义坐标 理解 理解 §5.2 虚功原理 重点 §5.3 拉格朗日方程 了解 §5.4 小振动 重点 §5.5 哈密顿正则方程 了解 §5.6 泊松括号和泊松定理 §5.7 哈密顿原理 重点 了解 §5.8正则变换
5.1 约束与广义坐标 一、 约束的概念和分类 力学体系中存在的限制各质点自由运动的条件称为约束。 1.约束 自由质点 二维运动的质点 一维运动的质点 约束越多，自由度就越少 2.约束方程 限制各质点的条件的数学表达式。
3.分类 （1）稳定约束与不稳定约束 如果限制系统位置的约束不是时间t的函数，则约束方程中不显含时间t，这种约束叫稳定约束，反之，如果约束是时间t的函数，则约束方程就将显含t，这种约束是不稳定约束。 稳定约束 不稳定约束
例如： o 稳定约束
o 稳定约束 判断方法：约束方程中是否显含t
（2）可解约束与不可解约束 质点可以脱离的约束叫可解约束，反之质点不可脱离的约束叫不可解约束。 例如： 可解约束
o 不可解约束 判断方法：约束方程中是否是不等式
（3）几何约束与运动约束 几何约束只限制质点在空间的位置，因而约束方程是坐标的函数 运动约束除了限制质点在空间的位置外，还要限制质点速度的投影，运动约束还叫微分约束
例如： 圆柱在水平地面上作纯滚动 约束方程 几何约束 判断方法：约束方程中是否限制速度
可积 运动约束 （微分约束） 不可积 （4）完整约束与不完整约束 完整约束 不完整约束 不能用等式表示的可解约束也是不完整约束 除这两种情况外，都是完整约束 判断方法：约束方程中是否可积
稳定约束 （完整约束） 几何约束 不可解约束 不稳定约束 可解约束 非完整约束 运动约束 （微分约束） 运动约束 （微分约束） 总结
二.广义坐标 1.力学体系自由度： 描述力学体系空间位置所需要的独立坐标的个数。（几何约束） 若n个质点的体系受k个几何约束 此时，独立坐标数为3n-k个，它的自由度为3n-k=s， 对于几何约束，独立坐标等于体系的自由度 对于微分约束，独立坐标可能小于体系的自由度
若n个质点的体系受k个几何约束 此时，独立坐标数为3n-k个，它的自由度为3n-k=s， 其位置可用s个独立参数表示: 或 2. 广义坐标 这s个独立参数就叫广义坐标
说明： 广义坐标可以是长度、角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等等，因此称为“广义坐标”。 举例： 一质点被约束在圆周 运动，试判断其自由度，并写出广义坐标。
由于运动而实际发生的位移 对应时间间隔 ，同时满足运动方程 §5.2 虚功原理 牛顿力学平衡方程 平衡状态 分析力学虚功原理 一.实位移和虚位移 实位移 特点： 1.需要时间 2.遵从牛顿第二定律
虚位移 t时刻，质点在约束允许的情况下可能发生的无限小位置变更，称作虚位移 特点： 它是所有想象中可能的位移，纯几何概念（非运动学概念），取决于质点在此刻的位置和约束条件。由于没有时间变化
实位移与虚位移的区别与联系 1.实位移是真实运动发生的位移，虚位移是想象的位移； 2.实位移需要时间，虚位移不需要时间； 3.实位移是唯一的，虚位移可若干个；
4.对于稳定约束，实位移为若干虚位移中的一个；对于不稳定约束，实位移与虚位移不一致；4.对于稳定约束，实位移为若干虚位移中的一个；对于不稳定约束，实位移与虚位移不一致；
二.理想约束 实功： 作用在质点上的力(含约束反力）在任意实 位移上做的功 虚功： 作用在质点上的 力(含约束反力）在任意虚位 移上做的功
理想约束： 质点上的所有约束反力的虚功之和为零，该约束称为理想约束。 条件： 如：光滑曲面、光滑曲线、光滑铰链、刚性杆及不可伸长的绳等都是理想约束。 引入虚位移的目的消去这些约束反力
三.虚功原理 力学体系满足怎样的条件才会处于平衡状态 （分析力学重要原理之一，受约束力学体系的力学原理之一） 对不可解约束，假设体系受k个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处于平衡状态，即 对系统求和
对于理想约束 则 虚功原理 具有理想约束力学体系，其平衡的充要条件是所有主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零.
说明： 1. 优点：消去约束反力； 2.缺点：由虚功原理只能求出平衡条件，不能求出约 束反力，欲求约束反力，需用拉格朗日未定乘数法
上式如果成立， 如果是独立变化的， 则 但是体系受k个几何约束 不是独立的 不好用
用广义坐标表示的虚功原理 因为
广义坐标下虚功原理的表达式 是互相独立的 平衡条件
广义力 它是广义坐标 的函数
（3）由虚功原理列出平衡方程，并令 的系数为零，求出平衡条件。 运用虚功原理求平衡条件的方法步骤 （1）确定系统自由度，选择合适的广义坐标； （2）将 表示为广义坐标的函数，并求出
解： 两个自由度
半径为r的光滑半球形碗，固定在平面上。一均匀棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为 例 题 解： 1个自由度
1 2 5.2相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求α角及β角之间的关系。
1 2 自由度数为1
重力是主动力 由虚功原理 ①
因 在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须 ② 又由 得： ③ 由②③可得
总结： 一.实位移和虚位移 1.实位移是真实运动发生的位移，虚位移是想象的位移； 2.实位移需要时间，虚位移不需要时间； 3.实位移是唯一的，虚位移可若干个； 4.对于稳定约束，实位移为若干虚位移中的一个；对于不稳定约束，实位移与虚位移不一致；
二.理想约束 质点上的所有约束反力的虚功之和为零，该约束称为理想约束。 条件： 三.虚功原理
