数值积分与数值微分

1. 数值积分与数值微分 数值积分 数值微分 大作业

2. 数值微分 • 两点公式 • 三点公式

3. 两点公式 • 给定两个节点：x1=a, x2=a+h: • 当h=1: 差分

4. 给定三个节点：x1=a-h, x2=a, x3=a+h: 三点公式 • 当h=1:

5. 数值积分 • 插值求积公式 • 辛卜生法 • 高斯求积法 • 一元函数的数值积分 • 多重数值积分

6. 插值:定义在区间[a,b]上的函数f(x)，可以通过区间上n+1点(xk,f(xk))的n次插值多项式Pn(x)来近似代替： 插值求积公式 • 则f(x)的积分为：

7. 则f(x)的积分为：

8. 辛卜生法 将积分区间二等分，得到三个等距点：a,(a+b)/2,b，以此三点作为插值结点，得：

9. 代数精度 • 如果某个数值求积公式对于所有次数不超过m的多项式均能准确成立，但对于m+1次多项式不一定成立，则称该数值求积公式的代数精度为m，或称该数值求积公式具有m次代数精度。

10. 高斯求积法 • 定理 • 插值求积公式 其结点xk为高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式： 与任何次数不超过n的多项式Pn(x)在区间[a,b]上均正交，即：

11. 几种常用的高斯求积法 • 勒让德-高斯求积公式 • 切比雪夫-高斯求积公式 • 拉盖尔-高斯求积公式 • 埃尔米特-高斯求积公式

12. Matlab中的积分 • 一元函数的积分 • 二元函数的积分

13. 一元函数的积分 • quad • 符号解析法 • 10参数高斯法 • Simulink法

14. quad • fun = inline('exp(-x.*x)','x'); • Isim = quad(fun,0,1) • IL=quadl(fun,0,1)

15. quad • % funInteg.m • function y = funInteg(x) • y = exp(-x.*x); • ---------------------------------------- • % tstquad2.m • Isim = quad(@funInteg,0,1) • IL=quadl(@funInteg,0,1)

16. 符号解析法 • sym x; • IS = int('exp(-x*x)','x',0,1) • vpa(IS)

17. 10参数高斯法 • function g = gauss10(fun,a,b) • x = [0.1488743390;0.4333953941;0.6974095683;... • 0.8650633667;0.9739065285]; • w = [0.2955242247;0.2692667193;0.2190863625;... • 0.1494513492;0.0666713443]; • t = .5*(b+a)+.5*(b-a)*[-flipud(x);x]; • W = [flipud(w);w]; • g = sum(W.*feval(fun,t))*(b-a)/2;

18. 10参数高斯法 • fun = inline('exp(-x.*x)','x'); • lg = gauss10(fun,0,1)

19. 二元函数的积分 • dblquad • triplequad

20. 符号法 • syms x y • ssx01=vpa(int(int(x^y,x,0,1),y,1,2)) • ssx12=vpa(int(int(x^y,y,0,1),x,1,2))

21. 数值法 • zz=inline('x.^y','x','y'); • nsx01=dblquad(zz,0,1,1,2) • nsx12=dblquad(zz,1,2,0,1)

22. 变上限多重积分 • 见mbook第四章

23. 大作业 • 编制一个GUI界面实现以下功能： • 输入序列，输出对其的微分（一元函数）； • 输入函数，输出对其的积分（一元函数和二元函数）。 • GUI界面应包括按钮，输入编辑框和输出编辑框。 • 程序说明书（程序的功能说明，使用说明、程序结构图，callback函数说明及对本课程教学的改进意见。）