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谱估计

谱估计. 组成员：任乐，周学志，陈雷，许正昌， 侯飞飞，叶跃庆，李俊生. 内容摘要. 基础知识 经典谱分析 周期图 相关图 现代谱分析 ARMA 谱分析 最大熵谱分析. 目的. 谱分析 用有限的 N 个样本数据来估计平稳 随机过程的功率谱密度. 功率谱密度. 确定信号的功率谱密度. 平稳离散随机信号 x(n) 的自相关函数与功率谱密度之间为一对傅立叶变换. 如果随机信号是各态历经的，相关函数可以用一个取样时间序列用时间平均来取代统计平均。. 实际中信号自相关函数的估计.

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谱估计

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Presentation Transcript

  1. 谱估计 组成员：任乐，周学志，陈雷，许正昌， 侯飞飞，叶跃庆，李俊生

  2. 内容摘要 • 基础知识 • 经典谱分析 周期图 相关图 • 现代谱分析 ARMA谱分析 最大熵谱分析

  3. 目的 • 谱分析 用有限的N个样本数据来估计平稳 随机过程的功率谱密度

  4. 功率谱密度 • 确定信号的功率谱密度

  5. 平稳离散随机信号x(n)的自相关函数与功率谱密度之间为一对傅立叶变换平稳离散随机信号x(n)的自相关函数与功率谱密度之间为一对傅立叶变换

  6. 如果随机信号是各态历经的，相关函数可以用一个取样时间序列用时间平均来取代统计平均。如果随机信号是各态历经的，相关函数可以用一个取样时间序列用时间平均来取代统计平均。

  7. 实际中信号自相关函数的估计 x为实信号，且总是取有限值0～N－1，x(0),x(1)…x(N-1)

  8. 渐进无偏估计 实际是有偏的，当N趋向于无穷大时，谱估计趋向于真实的谱密度。 不是一致估计 均方估计误差当样值数N趋于无穷时趋于0。

  9. 相关图法进行谱估计 求出信号的自相关函数，再求出信号的功率谱密度 Blackman 和 Tukey

  10. 周期图法进行谱估计 对信号进行加窗处理，得x(n),再进行离散傅立叶变换，X(w),再求模的平方得功率谱密度。

  11. 周期图和相关图的关系 这个和号实际上是下x(n)与x(-n)的卷积 x(n)的傅立叶变换为 x(-n)的傅立叶变换为

  12. 经典谱估计的缺点 • 频率分辨率低 • 频谱能量的泄漏 • 相关图法主观认为未观测数据都等于0，造成频谱能量的泄漏 • 周期图法假设数据是以N为周期的周期性延拓，把不真实的信息加于随机过程之上，限制了频率分辨率和谱估计的质量指标，对短时间序列误差太大。

  13. 一些改进方法 将长度为N的序列分k段进行谱估计，再进行总平均，得平均周期图。 如果各段数据相互独立，则所得估计的方差为原来不分段时得1/k，达到一致估计。缺点是点数减少，分辨率下降，这样会造成有偏的。

  14. 现代谱分析 • 1967 Burg 最大熵 • 1968 Parzen 自回归AR 用参数模型来模拟信号 实际遇到的随机过程x(n)可以用ARMA模型来逼近

  15. ARMA过程 a: AR参数，b：MA参数，e(t) 是一个高斯白噪声 平稳过程可以通过白噪声作为一组线性差分方程的激励项来产生。

  16. Wold分解定理 • 任何一个有限方差的平稳ARMA过程可以分为完全随机的部分和确定的部分，对应的功率谱为连续的和离散的冲激信号。 • 任何ARMA过程可以用无限阶的MA和AR模型来表示

  17. AR模型 a: AR参数

  18. AR模型的功率谱密度

  19. AR模型谱估计 N个样值 x(0),x(1)…x(N) 自相关函数 R(0),R(1)..R(N) YW方程 功率谱密度 AR模型参数和 激励源方差 a(1),a(2)…a(p)

  20. Yule-Walker方程 已知：自相关函数 已知： 自相关函数 Yule-Walker方程 要求： AR模型的阶数p，以及p个AR 参数a(i),激励源方差 要求： AR模型的阶数p，以及p个AR 参数a(i),激励源方差

  21. Yule-Walker方程的推导 • 对 进行求逆z变换 • 把模型的差分方程代入x(n)的自相关函数

  22. Yule-Walker方程 已知（或估计出）p+1个自相关函数值 R(0),R(1),…R(p) 要求 p+1个模型参数

  23. Yule-Walker方程的求解 • 采用高斯消元法，解方程组，运算的量级为p的三次方。 • 用Levinson-Durbin算法，运算量的量级为p的二次方。

  24. Levinson-Durbin算法 以AR(0),AR(1)模型参数为初始条件，求出AR(2)的模型参数，再以这个为基础，求出AR(3)的模型参数，…最后求出AR(p)的模型参数

  25. Levinson-Durbin算法

  26. 最小二乘估计算法 • 单独的前向或后向线性预测算法 • 前向与后向线性预测结合起来的算法

  27. 预测误差滤波器 Xn Xn n e x 预测滤波器 n+1 Z-1 n +

  28. 确定AR模型的阶 • 阶太低，功率谱平滑的太厉害，分辨不出真实谱中的两个峰 • 阶太高，出现许多虚假谱峰

  29. 估计一个AR(p）过程，选取AR(k），要求 k>=p , k不能太大，如果精确的话，k>p,

  30. 确定AR模型的阶的方法 • 不断增加阶数，观察预测误差功率，下降到一定的程度 • 不断增加阶数，观察各阶模型预测误差序列的周期图，最接近平坦时 • 发现后面的很多AR模型的参数接近于0

  31. FPE(最终预测误差） N为观测数据长度， 为拟合残差方差 使FPE最小

  32. AIC准则 AIC(i)= 最小

  33. BIC准则 BIC准则

  34. AR模型谱估计 N个样值 x(0),x(1)…x(N) 自相关函数 R(0),R(1)..R(N) YW方程 功率谱密度 AR模型参数和 激励源方差 a(1),a(2)…a(p)

  35. AR模型参数提取方法 • YW法（自相关法） • 协方差法 • Burg法

  36. 准则 使预测误差功率最小 R为x(n)的p＋1阶自相关矩阵

  37. 预测误差滤波器 Xn Xn n e x 预测滤波器 n+1 Z-1 n +

  38. YW法（自相关法） 对数据进行加窗处理，假设已知数据外 的数据都等于0 0 0 0 0 x1 x2 ………..xn 0 0 0 0 -(N-1) 0 1 ………..N-1

  39. YW法（自相关函数）

  40. YW法（特点） • 估计所得自相关矩阵正定 • 所得预测误差滤波器具有最小相位 • 由于加窗，参数估计精度下降，尤其对于短数据

  41. 协方差法 求和范围不同，自相关函数的值为 p~ N-1,没有对真实数据外的数据主观臆测 x1 x2 x3 x4 x5 ……….. xn 0 1 2 3 4 N-1

  42. 协方差法（特点） • 参数估计精度高 • 对短序列估计误差大

  43. Burg法 • 希望利用已知数据外的未知数据但又不随便主观臆测。 • 设法保证使预测误差滤波器具有最小相位 • 先估计出反射系数，再利用反射系数估计出AR模型参数（Levinson-Durbin)

  44. Burg法准则 使前向预测误差功率和后向预测误差功率 估计的平均值最小（估计反射系数时）

  45. Burg法 • 先确定低阶的AR模型参数，再迭代得到高阶AR模型参数 • 预测误差滤波器具有最小相位 • 会出现谱线分裂的情况 • 谱峰的位置受相位的影响较大

  46. AR模型的稳定性 • H(z)全部的极点在单位圆内 • 自相关矩阵正定 • 激励信号方差随阶次增加递减

  47. AR谱估计分辨率高的原因 可以对自相关函数进行外推，对m>p范围的R(m)值并没有认为等于0.

  48. 最大熵谱估计 已知{ R(0),R(1),…R(p)}, 求得R(p+1),R(p+2),… 保证外推后自相关矩阵正定，自相关序列所对应的时间序列应具有最大熵，在具有已知的p＋1各自相关取样值的所有时间序列中，该时间序列是最随机，最不可预测的，谱是最平坦的，最白的。

  49. 不确定度 熵 若随机向量具有概率密度函数

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