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平面向量的数量积

平面向量的数量积. 一般地，实数 λ 与向量 的 积 是一个 向量 ， 这种运算叫做 向量的数乘运算 ，记作 λ ， 它的 长度 和 方向 规定如下： (1) | λ |=| λ | | | (2) 当 λ>0 时 , λ 的方向与 方向相同； 当 λ<0 时 , λ 的方向与 方向相反； 特别地，当 λ=0 或 = 时 , λ =. 定义：. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。 对于任意的向量 以及任意实数 恒有. 运算律：.

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平面向量的数量积

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Presentation Transcript

  1. 平面向量的数量积

  2. 一般地，实数λ与向量的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘运算，记作λ， 它的长度和方向规定如下： (1) |λ |=|λ| || (2) 当λ>0时,λ的方向与方向相同； 当λ<0时,λ的方向与方向相反； 特别地，当λ=0或= 时, λ= . 定义：

  3. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。 对于任意的向量 以及任意实数 恒有 运算律： 设, 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μ)=(λμ) ②(λ+μ) =λ +μ ③λ( + )=λ +λ

  4. 当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向； A B B 当θ＝90°时，称a与b垂直， 记为a⊥b. A O B b a O A 已知两个非零向量a和b，作OA= a，OB= b，则∠AOB=θ（0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。 向量的夹角 B θ A O

  5. 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图） F θ S 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。

  6. 已知两个非零向量与，它们的 夹角为θ，我们把数量|| ||cosθ叫做 与 的数量积（或内积），记作· · =|| || cosθ 注意：向量的数量积是一个数量。 r r r r r r r r r r r r 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 叫做向量 　在 　方向上 （或向量 在 方向上）的投影。 a a a a a a b b b b b b 定 义

  7. · =|| || cosθ r r r r r r r r r r 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ · · · a a a a a 当90°＜θ ≤180°时为负。 当θ =90°时为零。 当0°≤θ ＜90°时为正； b b b b b 思考：

  8. 是非零向量， 方向相同的 设 B b 单位向量， 的夹角，则 θ A O a B1 重要性质: 特别地

  9. 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。 解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10 例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。 解：|a| =√2, |b|=2, θ=45 ° ∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2

  10. 的长度 等于 与 B b 的乘积。 θ A O a B1 |b|cosθ a·b的几何意义：

  11. 7．对任意向量 a 有 练习： 1．若a =0，则对任一向量b，有a·b=0． √ 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0． × 3．若a ≠0，a· b =0，则b=0 × × 4．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a·b= b·c，则a=c × 6．若a·b = a·c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立． × √

  12. 其中， 是任意三个向量， 二、平面向量的数量积的运算律： 数量积的运算律： 注： (2 a+b).b

  13. 证明运算律(3) 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, b a a+b 则 (a + b) ·c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a·c + b·c . c N M O

  14. 例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.

  15. 例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－b·b ＝a2－b2.

  16. 的夹角为 例4、 变式１：求 变式２：当且仅当k为何值时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　垂直

  17. C 即 ，∠ACB=90° B A O 思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量 ，即 。 解：设 则 ， 由此可得：

  18. 已知两个非零向量与，它们的 夹角为θ，我们把数量|| ||cosθ叫做 与 的数量积（或内积），记作· · =|| || cosθ r r r r r r r r r r r r a a a a a a b b b b b b 小结

  19. 作业： Ｐ40复习题7.3

  20. 数学使人聪颖 数学使人严谨 数学使人深刻 数学使人缜密 数学使人坚毅 数学使人智慧

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