Геометрические задачи в ГИА

1. Геометрические задачи в ГИА Презентацию подготовила: Н.С. Лапина

2. Докажите, что диаметр окружности, проведенный через середину хорды (не являющейся диаметром), перпендикулярен этой хорде • Доказательство: • OE – Медиана треугольника COD. • Так как OC = OD, треугольник COD равнобедренный. Следовательно, OE является высотой треугольника COD. Поэтому AB ⊥ CD А O Е С D В

3. Основания трапеции равны 6 и 10, а боковые стороны равны 2 и 4. Биссектрисы углов при одной боковой стороне пересекаются в точке A, а при другой — в точке B. Найдите AB • Решение: Пусть LC — биссектриса угла KLM трапеции KLMN с основаниями KN и LM, KN =10, LM = 6, KL = 4, MN = 2 M L А В K С D N Тогда треугольник KLC равнобедренный с основанием LC. В нем KA — высота, биссектриса и медиана

4. Аналогично, пусть MD — биссектриса угла LMN. Тогда NB — высота, биссектриса и медиана треугольника MND Получаем: KC = LK = 4; MN = ND = 2, поэтому CD = KN − (KC + ND) =10 − 6 = 4. M L А В K С D N В трапеции CLMD отрезок AB — средняя линия. CD = 4 , LM = 6, поэтому AB = 5 Ответ: 5

5. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС равен 12, катет ВС равен 5. Найдите радиус окружности, которая проходит через концыгипотенузы треугольника и касается прямой ВС • По условию окружность проходит через точку В и это единственная общая точка окружности и прямой ВС . Следовательно, радиус ОВ окружности перпендикулярен прямой ВС . Поэтому прямые АС и ОВ параллельны • Центр О окружности равноудален от точек А и В , следовательно, он лежит на серединном перпендикуляре к АВ . Обозначим середину АВ буквой М А O М С В

6. ∠MBO =∠BAC– это накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей АВ . • Следовательно, прямоугольные треугольники АСВ и ВМО подобны. • Тогда • Ответ: А O М С В

7. Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что данный треугольник прямоугольный • Пусть в треугольнике АВС проведена медиана ВМ , которая равна половине стороны АС . Значит, треугольники АВМ и СВМ равнобедренные • Пусть ∠ВАМ=∠АВМ=α, ∠ВСМ=∠СВМ=β. Тогда 2α+2β=180˚, откуда ∠АВС=∠АВМ+ ∠СВМ =α+β=90˚ • Ответ: 90˚ А М В С

8. Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки АВ и СЕ равны • Пусть общая вершина квадратов – точка О. АО ⏊ОС и ВО ⏊ОЕ. • Следовательно, ∠АОВ=∠СОЕ. Тогда треугольники АОВ и СОЕ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, АВ=СЕ как соответствующие стороны равных треугольников

9. Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30˚ и 90˚ • Пусть в треугольнике ABC отрезок BM служит медианой, при этом ∠ ABM= 90°, ∠CBM=30°. Возьмем на продолжении отрезка BM точку D так, что BM = MD. • Ответ: 1/2 • . В А М C Тогда треугольники ABM и CDM равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, ∠BDC=90°. Поэтому треугольник BDC - прямоугольный с углом CBD , равным 30°. Следовательно, D

10. Вравнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, описанной около некоторой окружности, проведена высота BH. Източки H опущен перпендикуляр HE на прямую AB. В какомотношении точка E делит отрезок AB, если известно, что BC:AD=3:5? Пусть BC=3x, AD=5x . Суммы противоположных сторон у описанного около окружности четырехугольника равны, поэтому AB+CD=8x и, значит, AB=4x Применим соотношение в прямоугольном треугольнике: AH2=AEAB

11. Тогда Следовательно, тогда ВЕ:АЕ=15:1 Ответ: 15:1