§2.6 运输问题及其解法

1. §2.6 运输问题及其解法 引例：某公司经销甲产品，它下设三个加工厂，每日的产量分别为：A1-40吨，A2-40吨，A3-90吨。该公司把这些产品分别运往四个销售点，各销售点每日销量为：B1-30吨，B2-40吨，B3-60吨，B4-20吨, B5-20吨。已知从各工厂到各销售点的单位产品的运价为下表所示。问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需求量的前提下，使总运费为最少

2. 解：这是一个产销平衡的运输问题， 设Xij表示从Ai调运产品到Bj的数量（吨），其数学模型是：

3. 一、产销平衡的运输问题及其解法 1.产销平衡的运输问题的数学模型及其特点 ： 特点：（1）其系数矩阵的结构疏松，且每一列向量 Pij=(0,…1,…1,…0)T=ei+em+j 可以证明，r(A)=m+n－1。即有m+n－1个独立方程。 于是，该LP问题有且仅有m+n－1个基变量。

4. （2） （产销平衡条件） （3）因为 , 故必有可行解和最优解。 由于上述特点，若按单纯形法求解必须增加人工变量，致使计算量大大增加，故用特殊解法──表上作业法。 2.表上作业法 表上作业法实质上还是单纯形法，但具体计算和术语上有所不同。其计算步骤和方法，我们通过对引例的求解过程说明之。 （1）用最小元素法确定初始方案（即初始基可行解） 最小费用法是尽可能选取单位费最小的变量作为基变量。然后尽可能多地满足它的需要，再划去满足的行(或列,若行列同时满足,也只划去一行或一列)，接着对未划去的行和列调整供应量和需要量，直到得到初始可行基解。

5. 例18（P37）设某产品从产地A1，A2，A3运往销地B1，B2，B3，B4，B5，运量和单位运价如下表所示，问如何调运才能使总的运费最少？例18（P37）设某产品从产地A1，A2，A3运往销地B1，B2，B3，B4，B5，运量和单位运价如下表所示，问如何调运才能使总的运费最少？ 解：用最小元素法或伏格尔法求得其初始调运方案如下：

6. 20 20 40 0 0 30 60 接下来我们就要判别这个调运方案是否是最优调运方案？ 判别的方法同线性规划一样，首先求出空格的检验数，由于是最小化问题，所以当所有空格的检验数均小于0时得到的解为最优解。 求运输问题的空格的检验数的方法有闭回路法和位势法。

7. （2）用闭回路法或位势法求空格的检验数 1) 用闭回路法求检验数： 首先，每一个空格有且仅有一个闭回路，而圈格无闭回路。 闭回路是以空格为起点，沿同一行或同一列前进，遇上圈格可转90度继续前进，按此方法进行下去，直到回到始点的一个封闭折线。 以始点为第0个点，依次给闭回路上的每一个顶点编号。其中奇序数对应的为奇顶点，偶数对应的为偶顶点。 其次，每一个空格的检验数=奇顶点运费之和 – 偶顶点运费之和。

8. 2)用位势法求出空格的检验数并进行最优解的判别2)用位势法求出空格的检验数并进行最优解的判别 设u1,u2,…um; v1,v2,…,vn是对应运输问题m+n个约束条件的对偶变量，B为含有人工变量的初始可行基，由LP问题的对偶理论知：CBB-1=(u1,u2,…um; v1,v2,…,vn) 而每个决策变量Xij相应的系数向量Pij=ei+em+j，所以CBB-1Pij=ui+vj,于是，检验数σij=CBB-1Pij－Cij =(ui+vj)－Cij 又各基变量的检验数为0，故对每个基变量所在的圈格的检验数有 即有方程组： 共m+n个未知数 s=m+n－1个方程

9. 20 20 40 0 0 30 60 -8 -7 -7 4 0 1 2 -3 显然上述方程有解，且由于含有一个自由变量，因此，令任一未知数为0，就可求出上述方程组的解(ui1,ui2,…uim,vj1,vj2,…vjn)──称为位势解。 如用位势法求引例初始基可行解的检验数：

10. 第一步：将运价表中增加vj和ui列。 第二步：利用圈格分别算出ui和vj，即 令u1=0，然后按ui+vj=Cij (i,jJB)，相继确定ui，vj的值。 第三步：按σij= (ui+vj)－Cij (i,jJN)算出表中各空格（即非基变量）的检验数： 由于运输问题的目标函数是求最小化，故判别最优解的准则是所有的非基变量的检验数：σij=CBB-1Pij－Cij≤0 因为σ25 =+4， σ32 =+1， σ34 =+2均为正数，所以目前尚未得到最优解（其实只要有一个正检验数，所对应的方案就不是最优方案），尚须改进。 方案的调整（即换基迭代）是在闭回路上进行

11. 3）在调运平衡表上用闭回路法进行调整，得到新的基可行解（新的调运方案）3）在调运平衡表上用闭回路法进行调整，得到新的基可行解（新的调运方案） i)确定进基变量：自上而下，自左向右第一个正检验数相应的非基变量（空格）为进基变量。 ii)作闭回路：以进基变量空格为出发点，用水平或垂直线向前划，当碰到某一恰当数格转90后，继续前进，直至回到起始空格止。 iii)确定调整量=min{奇顶点的调运量}（即闭回路上奇顶点运量的最小值为调整量） iv)在闭回路上进行调整：对闭回路上每个奇顶点的调运量－，对闭回路上每个偶顶点（含起始格）的调运量+。调整后，将闭回路中为0的一个数格作为空格（即出基变量）。闭回路外的各调运量不变。这样便得到新的调运方案（新基可行解)

12. 20 20 40 0 0 30 60 20 20 40 0 0 30 60 20

13. 4）表上作业法须注意的问题： i)在最终调运表中，若有某个空格（非基变量）的检验数为0时，则表明该运输问题有多重调运方案； ii)在确定初始方案时，若某一行的产量与某一列的需求量同时满足，这时也只能划去一行或一列（绝对不能同时把行、列划去，否则就不满足圈格=m+n－1个的要求，即基变量的个数永远要保持为m+n－1个）； iii)在用闭回路法调整时，当闭回路上奇顶点有几个相同的最小值时，调整后只能有一个空格，其余均要保留数“0”，以保证圈格=m+n－1个的需要。 iv)用最小元素法所得到的初始方案可以不唯一。

14. 二、产销不平衡的运输问题及其求解方法 销大于产 产大于销 1.数学模型：

15. 2.解法思路： 将不平衡运输问题转化为平衡运输问题。即当 时，考虑在平衡表中增加一虚拟列，表示增加一个销货点 (j=n+1)如仓库，其销货量为 ，且各运价 Cin+1=0；当 时，考虑在平衡表中增加一虚拟 行，表示增加一个新产地，且各运价Cm+1j=0。 然后再用产销平衡的运输问题的解法进行解之。

16. B5 0 0 0 40 例 下表是一个运输问题的单位运价表。 比较总产量和总销量可知，这是一个非平衡运输问题（属于产大于销的情况），为化为平衡运输问题，需虚设一个销点B5，其运价为0，其销量为40。

17. 案例1某企业和用户签订了设备交货合同，已知该企业各季度的生产能力、每台设备的生产成本和每季度末的交货量如下表，若生产出的设备当季度不交货，每台设备每季度需支付保管维护费0.1万元,试问在遵守合同的条件下,企业如何安排生产计划,才能使年消耗费用最低?案例1某企业和用户签订了设备交货合同，已知该企业各季度的生产能力、每台设备的生产成本和每季度末的交货量如下表，若生产出的设备当季度不交货，每台设备每季度需支付保管维护费0.1万元,试问在遵守合同的条件下,企业如何安排生产计划,才能使年消耗费用最低? 转化为平衡运输问题的运输表

18. 案例2（P45） 三个电视机厂供应四个地区某种型号的电视机，其运价表如下，试求总运费最少的调运方案？ 化为产销平衡的运输问题有：

19. 案例3 有三个产地A1,A2,A3生产同一种物品,使用者为B1,B2,和B3,各产地到各使用者的单位运价见下表.这三个使用者的需求量分别为10,4和6个单位.由于销售需要和客观条件的限制,产地A1至少要发出6个单位的产品,它最多只能生产11个单位的产品;A2必须发出7个单位的产品;A3至少发出4个单位的产品.试根据上述条件用表上作业法求该运输问题的最优方案.

20. 转化为平衡运输问题

21. 三、转运问题及其解法 1.所谓转运问题是在以下背景产生的： (1)每个工厂生产的产品不直接运到销地，可以几个产地集中一起运。 (2)运往各销地的物资可先运给其中的几个销地，再转运给其它销地。 (3)除产、销地之外，还可以有几个中间转运站，在产地之间，销地之间或产销地之间转运。 凡类似上述情况下的调运物资并使总运费最小的问题统称为转运问题。 2.求解“转运问题”的思路是把问题中所有的产地、中转站和销地都既看作产地，又都看作销地，把“转运问题”变成扩大后的产销平衡的运输问题处理。

22. 2)对所有中转站Tj的产量和销量定为相等，设定为2)对所有中转站Tj的产量和销量定为相等，设定为 3.求解“转运问题”的方法步骤： (1)建立扩大的产销平衡运输问题单位运价表。其中 1)对两地不能直接运输的单位运价定为M（很大的正数） 3)对产量列的各数据可按下式计算并填入： Ai的产量=ai+,Tj产量=，Bj的产量= 4)对销量行的各数据可按下式计算并填入： Aj的产量=,Tj销量=，Bj的销量=+bj (2)用表上作业法进行求解

23. 案例4（P61）已知甲、乙两处分别有100吨和85吨同种物质外运，A、B、C三处各需物质55，60，70（吨），物质可以直接运到目的地，也可以经某些中转点转运，已知各处之间的距离如下表所示，试确定一个最优的调运方案。 再用表上作业法进行求解。

24. 案例5 一个运输系统有二个产地A1,A2, 二个销地B1,B2,还有一个纯中转站T1。二个产地的产量分别为10和40，二个销地的销量为30和40。二个产地的产量可在中转站、产地、销地之间进行转运，最后到目的地。产地到各产地、各销地和转运站的单位运输费用如下表： 试确定最优运输方案

25. 转化为平衡运输表如下：

26. 案例6 某公司承担4条航线的运输任务，已知(1)各航线的起点城市和终点城市及每天的航班数如表1 (2)各城市间的航行时间如表2

27. (3)所有航线都使用同一种船只,每次装船和卸船时间均为1天。问该公司至少应配务多少条船才能满足所有航线运输的需要？(3)所有航线都使用同一种船只,每次装船和卸船时间均为1天。问该公司至少应配务多少条船才能满足所有航线运输的需要？ 解:所需船只可分为两部分 (1)各航线航行、装船、卸船所占用的船只。对各航线逐一分析，所需船只列入下表，累计共需91条船

28. (2)各港口之间调度所需船只数。由每天到达某一港口的船只数与它所需发出的船只数不相等而产生。各港口城市每天到达船只数、需求船只数及其差额列于下表(2)各港口之间调度所需船只数。由每天到达某一港口的船只数与它所需发出的船只数不相等而产生。各港口城市每天到达船只数、需求船只数及其差额列于下表 将多余船只的港口调往需用船只的港口为空船行驶，应采用合理的调度方案，以使“调运量”最小。为此，建立如下表所示的运输问题，其单位运价取为相应一对港口城市间的航行时间（天数）

29. 用QSB求得其二个最优解分别为： XCE=2，XDA=1，XDB=1，XFE=1和 XCA=1，XCE=1，XDB=1，XDE=1，XFE=1 按这两个方案调运多余船只，其目标函数值等于40，说明港口之间调度所需船只至少为40艘。 综合以上两个方面的要求，在不考虑维修、储备等情况下，该公司至少要配备131条船，才能满足4条航线正常运输的需要。

30. §2.7 线性目标规划及其解法 前面的线性规划问题都是处理单个目标的情况，但是在现实世界中有许多问题具有多个目标，这些目标的重要性各不相同，往往有不同的量纲，有的目标相互依赖，例如决策者既希望实现利润最大，又希望实现产值最大；有的相互抵触，如决策者既希望充分利用资源，又不希望超越资源限量。而决策者希望在某些限制条件下，依次实现这些目标。这就是目标规划所要解决的问题。当所有的目标函数和约束条件都是线性时，我们称其为线性目标规划问题。在这里我们主要讨论线性目标规划问题。 一、目标规划模型的建立

31. 引例： 对于生产计划问题： 甲 乙 资源限额 材料 2 3 24 工时 3 2 26 单位利润 4 3 现在工厂领导要考虑市场等一系列其他因素，提出如下目标： （1）根据市场信息，甲产品的销量有下降的趋势，而乙产品的销量有上升的趋势，故考虑乙产品的产量应大于甲产品的产量。 （2）尽可能充分利用工时，不希望加班。 （3）应尽可能达到并超过计划利润30元。 现在的问题是：在原材料不能超计划使用的前提下，如何安排生产才能使上述目标依次实现？

32. 解：（1）决策变量：仍设每天生产甲、乙两种产品各为x1和x2解：（1）决策变量：仍设每天生产甲、乙两种产品各为x1和x2 偏差变量：对于每一目标，我们引进正、负偏差变量。 如对于目标1，设d1-表示乙产品的产量低于甲产品产量的数，d1+表示乙产品的产量高于甲产品产量的数。称它们分别为产量比较的负偏差变量和正偏差变量。则对于目标1，可将它表示为等式约束的形式 -x1+x2+ d1-- d1+ =0 (目标约束) 同样设d2-和d2+分别表示安排生产时，低于可利用工时和高于可利用工时，即加班工时的偏差变量，则对目标2，有 3x1+2x2+ d2--d2+ =26 对于目标3，设d3-和d3+分别表示安排生产时，低于计划利润30元和高于计划利润30元的偏差变量，有：

33. 因而该问题的数学模型可表述如下： minZ1=d1- ，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3- 2x1+3x2≤24 s．t． -x1+x2+ d1-- d1+ =0 3x1+2x2+ d2--d2+ =26 4x1+3x2+ d3--d3+ =30 4x1+3x2+ d3--d3+ =30 （2）约束条件：有资源约束和目标约束 资源约束：2x1+3x2≤24（硬约束） 目标约束：为上述各目标中得出的约束（软约束） （3）目标函数：三个目标依次为： minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-

34. 案例1 P62（提级加新问题） 某公司的员工工资有四级，根据公司的业务发展情况，准备招收部分新员工，并将部分员工的工资提升一级。该公司的员工工资及提级前后的编制表如下，其中提级后编制是计划编制，允许有变化，其中1级员工中有8%要退休。公司领导的目标如下： （1）提级后在职员工的工资总额不超过550千元； （2）各级员工不要超过定编人数； （3）为调动积极性，各级员工的升级面不少于现有人数的18%； （4）总提级面不大于20%，但尽可能多提； （5）4级不足编制人数可录用新工人。

35. 问：应如何拟定一具满意的方案，才能接近上述目标？ 解：（1）决策变量：设x1,x2,x3,x4分别表示提升到1，2，3级和新录用的员工数。 偏差变量：为各目标的正、负偏差变量。 （2）约束条件： 1）提级后在职员工的工资总额不超过550千元； 8(10-108%+x1)+6(20-x1+x2)+4(40-x2+x3)+3(30-x3+x4)+d1--d1+=550

36. 2）各级员工不要超过定编人数 1级有： 10-10  8%+x1+d2--d2+=10 2级有： 20-x1+ x2+d3--d3+=22 3级有： 40-x2+ x3+d4--d4+=52 4级有： 30-x3+ x4+d5--d5+=30 3）各级员工的升级面不少于现有人数的18% 对2级有： x1+d6--d6+=22  18% 对3级有： x2+d7--d7+=40  18% 对4级有： x3+d8--d8+=30  18% 4）总提级面人数不大于20%，但尽可能多提 x1+ x2+ x3+d9--d9+=100  20%

37. （3）目标函数： minZ1=d1+ minZ2=d2++d3++ d4++ d5+ minZ3=d6-+ d7-+ d8- minZ4=d9++ d9- 案例2有三个产地向四个销地供应物资。产地Ai(i=1,2,3)的供应量ai、销地Bj(j=1,2,3,4)的需要量bj、各产销地之间的单位物资运费Cij如表2所示。表中，ai和bj的单位为吨，Cij的单位为元/吨。编制调运方案时要求按照相应的优先级依次考虑下列七个目标： P1：B4是重点保证单位，其需要量应尽可能全部满足； P2：A3向B1提供的物资不少于100吨； P3：每个销地得到的物资数量不少于其需要量的80%；

38. P4：实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最小总运费的110%；P4：实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最小总运费的110%； P5：因路况原因，尽量避免安排A2的物资运往B4； P6：对B1和B3的供应率要尽可能相同； P7：力求使总运费最省。 试建立该问题的运筹学模型。 解：用表上作业法可求得不考虑P1至P6各目标时的最小运费调运方案，相应的最小运费为2950元

39. （1）决策变量：设Ai运往Bj的物资为xij吨 产量约束 （2）约束条件： B4销量要满足 销量80%的限制 供应率尽可能相同

40. （3）目标函数 目标规划的一般模型见书本P48 二、目标规划的求解 由于目标规划有多个目标，各个目标又有相对不同的重要性，求解时是首先满足重要性权数大的目标，再满足重要性权数次大的目标，所以并不能保证所有的目标都能达到，所求的解也不一定是最优解，而只能求出满意解。

41. 例题 用单纯形法求解如下线性目标规划模型 minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3- 2x1+3x2≤24 加入松驰变量化为标准形2x1+3x2+ x3=24 s．t． -x1+x2+ d1-- d1+ =0 3x1+2x2+ d2--d2+ =26 4x1+3x2+ d3--d3+ =30 求解目标规划有图解法和单纯形法，在这里我们主要介绍单纯形法。 求解目标规划的单纯形法与线性规划的单纯形法原理基本一致，只是此时检验数行不再是一行，而是变化为一个检验数矩阵。 解：（1）取x3，d1-，d2-，d3-为基变量，建立初始单纯形表

42. XB b x1 x2 x3 d1- d2- d3- d1+ d2+ d3+ x3 d1- d2- d3- 24 0 26 30 2 -1 3 4 3 [ 1 ] 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 Z1 Z2 Z3 0 26 30 -1 3 4 1 2 3 -1 -2 -1 迭代的步骤完全与线性规划的单纯形法一样。 （2）满意解的判定：检验数矩阵的每一列从上至下第一个非零元为负数，则解为满意解。 （3）换基迭代步骤完全与单纯形法一致，迭代的最优表如下：

43. XB b x1 x2 x3 d1- d2- d3- d1+ d2+ d3+ d3+ x2 d2- x1 18/5 24/5 2 24/5 0 0 0 1 0 1 0 0 7/5 1/5 -1 1/5 -6/5 2/5 1 -3/5 0 0 1 0 -1 0 0 0 6/5 -2/5 -1 3/5 0 0 -1 0 1 0 0 0 Z1 Z2 Z3 0 2 0 -1 -1 1 -1 -1 -2 因而满意解为：x1=24/5，x2=24/5，d2-=2，d3+=18/5 其中第一、三目标已达到最优，第二个目标未达最优。 目标利润 Z=4x1+3x2=168/5

44. §2.8 评价相对有效性的DEA模型 DEA模型（也称数据包络分析）最早由美国运筹学家 A.Charnes等人于1978年提出，在中国最早由中国人民大学的魏权龄教授于1985向国内介绍。 DEA是对其决策单元（同类型的企业或部门）的投入规模、技术有效性作出评价，即对各同类型的企业投入一定数量的资金、劳动力等资源后，其产出的效益（经济效益和社会效益）作一个相对有效性评价。 例如：区域可持续发展的DEA评价、企业营销效果的DEA评价、企业竞争能力的DEA评价等。 为了说明DEA模型的建模思路，我们看下面的例子：

45. 例1： 某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x1、流动资金x2、职工人数x3）和产出（总产值y1、利税总额y2）的有关数据如下表 由于投入指标和产出指标都不止一个，故通常采用加权的办法来综合投入指标值和产出指标值。

46. 对于第一个企业，产出综合值为60u1+12u2,投入综合值4v1+15v2+8v3，其中u1 u2 v1 v2 v3分别为产出与投入的权重系数。 我们定义第一个企业的生产效率为：总产出与总投入的比 即 类似，可知第二、第三个企业的生产效率分别为：

47. max 我们限定所有的hj值不超过1，即 ，这意味着，若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一生产系统是相对有效的，若hk<1，那么该企业相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。 因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下： 即 这是一个分式规划，需要将它化为线性规划才能求解。

48. max 设 则此分式规划可化为如下的线性规划 其对偶问题为

49. 设vi为第i个指标xi的权重，ur为第r个产出yr指标的权重，设vi为第i个指标xi的权重，ur为第r个产出yr指标的权重， 则第j个企业投入的综合值为 ，产出的综合值为 其生产效率定义为: 于是问题实际上是确定一组最佳的权变量v1,v2,v3和u1,u2，使第j个企业的效率值hj最大。这个最大的效率评价值是该企业相对于其他企业来说不可能更高的相对效率评价值。 我们限定所有的hj值(j=1,2,3)不超过1，即maxhj≤1。这意味着，若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一系统是相对而言有效的；若hk<1，那么该企业相对于其他企业来说，生产率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。

50. 根据上述分析，可以建立确定任何一个企业（如第3 个企业即丙企业）的相对生产率最优化模型如下： 1、评价决策单元技术和规模综合效率的C2R模型 设有n个同类型的企业（也称决策单元），对于每个企业都有m种类型的“输入”（表示该单元对“资源”的消耗）以及p种类型的“输出”（表示该单元在消耗了“资源”之后的产出）。 这n个企业及其输入-输出关系如下：