专题提升 ( 十二 ) 与圆的切线有关的证明与计算

1. 一　与圆的切线的性质有关的计算或证明 如图1，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，判断△ABC的形状并证明你的结论．(人教版九上P88第12题) 专题提升(十二) 与圆的切线有关的证明与计算 图1

2. 【解析】 利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状．

3. 【思想方法】 圆周角定理是重要定理之一，它沟通了弧、圆周角与圆心角之间的关系，是中考中重要的考点．

4. [2013·天津]已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.[2013·天津]已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D. (1)如图2①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小； (2)如图2②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小． 图2

5. 解：(1)如答图(1)，连接OC. ∵直线l与⊙O相切于点C， ∴OC⊥l，∴∠OCD＝90°. 由AD⊥l，得∠ADC＝90°， ∴∠OCD＋∠ADC＝180°， ∴AD∥OC，∴∠ACO＝∠DAC. 在⊙O中，由OA＝OC， 得∠BAC＝∠ACO， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°. 变形答图(1)

6. (2)如图(2)，连接BF. ∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE＝18°， ∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°. 在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形， ∴∠AEF＋∠B＝180°， ∴∠B＝180°－∠AEF＝180°－108°＝72°. 由AB是⊙O的直径，得∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°－∠B＝90°－72°＝18°. 变形答图(2)

7. 如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F. 图3

8. 解：(1)连接AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC. 又∵AB＝AC，∴BE＝CE.

10. 二　与圆的切线的判定有关的计算或证明 如图4，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证直线AB是⊙O的切线．(人教版九上P95例1) • 证明：连接OC. • ∵OA＝OB，CA＝CB， • ∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线． • ∴OC⊥AB. • ∴AB是⊙O的切线． 图4 • 【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．

11. 1．[2013·防城港]如图5，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC.1．[2013·防城港]如图5，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC. (1)求证：AC是⊙O的切线； 图5

12. 解：(1)连接OA，OD，则OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA. ∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE， ∴∠ODA＋∠OFD＝90°， ∴∠OAD＋∠OFD＝90°. ∵∠OFD＝∠AFC，∴∠OAD＋∠AFC＝90°. ∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC， ∴∠OAD＋∠FAC＝90°，即OA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线．

14. 2．[2013·德州]如图6，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．2．[2013·德州]如图6，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形． (1)求AD的长； 图6 • (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由． • 解：(1)连接BD，则∠DBE＝90°. • ∵四边形BCOE是平行四边形， • ∴BC∥OE，BC＝OE＝1. • 在Rt△ABD中，C为AD的中点，

16. 如图7，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过点T作TC⊥AD交AD的延长线于点C.如图7，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过点T作TC⊥AD交AD的延长线于点C. (1)求证：CT为⊙O的切线； 图7

17. 中考预测答图