第二章、线性系统的数学模型

1. 一、为什么要建立控制系统的数学模型？ 1、是定量分析、计算机仿真、系统设计的需要 2、是寻找一个较好的控制规律的需要 二、什么是控制系统的数学模型？ 描述控制系统中各变量之间相互关系的数学表达式 三、如何建立数学模型？ 1、提出合理的假设，忽略次要因数，抓住本质。 2、建立恰当的数学描述 3、非线性环节的处理 第二章、线性系统的数学模型 控制系统数学模型概述

2. 四、实际工程应用中建立模型的一般步骤 1、把各部件尽可能地作线性化处理； 2、建立线性化的系统模型（近似模型）； 3、求系统的近似特性； 4、建立更复杂的模型，得到更精确的特性。 五、古典控制理论中控制系统模型描述方法 1、微分方程 2、传递函数 六、建立控制系统数学模型的一般方法 1、机理分析法 2、实验辩识法

3. 第一节 线性系统的输入—输出时间函数描述 一、建立线性系统的输入—输出时间描述函数 1、建立的目的：确定被控制量与给定输入或扰动之间的关系，为分析和设计创造条件 • 2、建立输入—输出时间函数描述的方法 • 分析系统的工作原理，作合理的假设； • 确定系统的输入量和输出量； • 根据物理或化学定律例写描述系统运动的方程； • （常用定律：基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律） • 消去中间变量求出描述系统输入输出关系的微分方程。

4. 例1、 弹簧阻尼系统，图中质量为m的物体受到外力F的作用，产生位移y，求该系统的输入—输出描述 解：（1）分析物体m的受力情况，假设k为常数、f为常数; （2）输入量为F，输出量为y; （3）根据牛顿定律列写方程

5. 例2、 如图为两个形式相同的RC电路串联组成的滤波电路，建立输入电压为u,求电容C2两端电压uc为输出的微分方程。 （4）消去中间变量求出描述系统输入—输出关系的微分方程。

6. 解：（1）分析电路的工作原理，假设电阻是理想电阻器，电容也是理想的电容器；解：（1）分析电路的工作原理，假设电阻是理想电阻器，电容也是理想的电容器； （2）输入量为u，输出量为uc; （3）根据基尔霍夫定理列写方程

7. （4）消去中间变量求出描述系统输入—输出关系的微分方程。（4）消去中间变量求出描述系统输入—输出关系的微分方程。 二、描述线性定常系统输入—输出关系的微分方程一般形式：

8. 1、基本原理： 设系统是线性定常系统，且t=0时系统的响应及其各阶导数均为零，则其响应与输入之间其次性和线性关系，即满足 三、实验法建立模型基本原理 2、脉冲函数

9. 单位脉冲函数

10. 延迟单位脉冲函数

11. 如果以单位脉冲函数作为输入函数，则系统输出为如果以单位脉冲函数作为输入函数，则系统输出为 称为单位脉冲响应。 如果以脉冲强度为A的延迟脉冲函数作为输入函数，将其施加于初始条件为零的线性定常系统，它将满足 3、实验方法

15. 第二节 线性系统的输入—输出传递函数描述

16. R(S)—输入函数的拉氏变换 C(S)—输出函数的拉氏变换 S —拉氏算子 • 说明: 1、拉氏算子为复变量，单位为S-1 2、利用拉氏变换之后，卷积分公式变成代数方程，G（S）称为系统的传递函数，它是系统单位脉冲响应的象函数，在电路分析中也称为网络函数； 3、卷积分公式只适用于初始条件为零的线性定常系统，传递函数可定义为初始条件为零的线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比；

17. 4、传递函数中的S算子可与角频率ω联系起来，传递函数也称为频域描述。4、传递函数中的S算子可与角频率ω联系起来，传递函数也称为频域描述。 • 5、得到系统传递函数的方法 • 实验法、分析法 用分析法求系统传递函数 假设通过对系统机理模型分析得到n阶系统的微分方程为

18. 极点： 零点： 假设初始条件为零！！对等式两边取拉氏变换可得： 代数方程式的根由方程式的结构与其各项系数确定，系统极点和零点由系统结构与参数确定。

19. 第三节 非线性数学模型的线性化 1、什么叫非线性数学模型的线性化？ 在一定条件下将非线性系统近似的视为线性系统 2、典型非线性—发电机激磁特性

20. 3、小范围线性化的概念和原理 假设对于一般的非线性系统，其输入量为r,输出量为c=f(r),并设在给定的工作点c0=f(r0)处各阶导数均存在，则可以展开成泰勒级数：

22. 在处理线性化问题时，要注意以下几点： （1）工作点不同，线性化方程的参数不同； （2）当输入量变化范围较大时，用上述方法建立模型时会会引入较大误差； （3）本质非线性，不能采用上述线性化方法，小范围线性化只适用于非线性不很严重的非线性系统； （4）线性化后得到的微分方程，是增量方程，但为了简化方程，一般略去增量符号

23. 作 业 2、P43 2—1 RC网络 3、P43 2—3 电动机

24. 第四节 典型环节的数学模型 什么是典型环节? 不同的物理系统是由许多元件、按不同结构和不同运动原理构成的。但抛开具体的结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型的共性可以划分成为数不多的几种典型的数学模型，称为典型环节。 常见典型环节: 比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和迟后环节。

25. 特点：输入量输出量之间的关系为固定比例关系特点：输入量输出量之间的关系为固定比例关系 传递函数： 常见物理系统： 杠杆（无弹性形变的）、放大器（非线性和时间延迟可忽略）、测速电机电压与转速关系、传动链之速度比等等。 一、比例环节

26. 特点：输入量输出量之间的关系满足下列微分方程特点：输入量输出量之间的关系满足下列微分方程 传递函数： —时间常数 —比例系数 单位阶跃响应： 二、惯性环节

27. 常见物理系统：直流电机的励磁回路 —激磁回路电阻 —激磁回路电感 —励磁电流 —输入电压 在单位阶跃输入信号的作用下，惯性环节的输出是非周期的指数函数。当t=3τ—4τ时输出量才接近稳态值。

28. 特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程 传递函数： 单位阶跃响应： 三、积分环节

29. —齿轮减速比 常见物理系统：电机拖动系统 设以电动机的转速为n转/分为输入量，以减速齿轮带动负载运动的轴角位移θ（单位为rad)为输出量，则

30. 特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程 传递函数： 单位阶跃响应： 四、微分环节

31. 常见物理系统：RC电路 微分环节和惯性环节的串联组合

32. 实际上是一个比例环节和微分环节的并联组合

33. 特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程 传递函数： —时间常数 —阻尼系数（阻尼比） 单位阶跃响应：令K=1 五、振荡环节

34. 令：

35. 振荡环节的单位响应是有阻尼的正弦曲线。振荡程度与阻尼比有关，阻尼比越小，则振荡越强；阻尼比为零时，出现等幅振荡；阻尼比越大，则震荡衰减越快。振荡环节的单位响应是有阻尼的正弦曲线。振荡程度与阻尼比有关，阻尼比越小，则振荡越强；阻尼比为零时，出现等幅振荡；阻尼比越大，则震荡衰减越快。

36. 机械旋转系统 • RLC电路 • 常见物理系统：弹簧阻尼系统

37. 特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程 传递函数： 常见物理系统： 1、传输延迟 测量点与混合点之间信号延迟 2、轧钢板的厚度控制系统 六、纯滞后环节 单位阶跃响应：延迟单位脉冲函数

38. 注意： 1、典型环节与元件并非一一对应的。 2、控制系统模型与典型环节对比，即可知其有什么样的典型环节组成，由于典型环节的特性是熟知的，可为系统分析提供方便。 3、典型环节只适用于线性定常系统。 相似系统 1、什么是相似系统？ 2、相似变量 3、了解相似变量和相似系统的意义

39. 作 业 1、P45 2—5 非线性系统线性化

40. 第五节 建立数学模型的试验方法简介

41. 第六节 框图及其化简方法 • 结构方框图

42. 1信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的 传递方向，直线旁标记信号的时间函 数或象函数。 2信号引出点（线）/测量点 表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号， 其性质、大小完全一样。 一、方框图的组成要素

43. 3函数方框(环节) 函数方块具有运算功能 4求和点（比较点、综合点） 1.用符号“”及相应的信号箭头表示 2.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号 注意量纲和符号!!

44. 相邻求和点可以互换、合并、分解。  代数运算的交换律、结合律和分配律。 求和点可以有多个输入，但输出是唯一的!!

45. 二、方框图的画法 形象直观地描述系统 中各元件间的相互关 系及其功能以及信号 在系统中的传递、变 换过程。 依据信号的流向 ，将各 元件的方块连接起来组 成整 个系统的方块图。 系统数学模型的图解形式!! 脱离了物理系统的模型!!

46. 任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。 求和点 引出线 函数方框 函数方框 信号线

47. 三、方框图的运算规则 1、串联运算规则 几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传 递函数的乘积。

48. 例：隔离放大器串联的RC电路

49. 并联运算规则 同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递 函数之和。

50. 反馈运算规则