机器人运动学

1. 机器人运动学 2005年3月24日

2. 运动学正问题 • 杆件参数的意义 • 坐标系的建立原则 • 杆件坐标系间的变换过程-相邻关节坐标系的齐次变换 • 机器人的运动学方程

3. 杆件参数的意义- 和 串联关节，每个杆件最多与2个杆件相连，如Ai与Ai-1和 Ai+1相连。由运动学的观点来看，杆件的作用仅在于它能保持其两端关节间的形态不变。这种形态由两个参数决定，一是杆件的长度li（ ），一个是杆件的扭转角 • li 关节Ai轴和Ai+1轴线公法线的长度 • 关节i轴线与i+1轴线在垂直于li平面内的夹角 Ai+1 Ai

4. 杆件参数的意义- 和 确定杆件相对位置关系，由另外2个参数决定，一个是杆件的距离： ，一个是杆件的回转角： Ai+1 • 是从第i-1坐标系的原点到Zi－１轴和Ｘi轴的交点沿Ｚi-1轴测量的距离 • 绕 Zi-1轴由Ｘi-1轴转向Ｘi轴的关节角 Ai Ai-1

5. Ai+1 坐标系的建立原则 Ai • 为右手坐标系 • 原点Oi：设在Li与Ai+1轴线的交点上 • Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意 • Xi轴：与公法线Li重合，指向沿Li由Ai轴线指向Ai+1轴线 • Yi轴：按右手定则 Ai-1 Li —沿 xi轴， zi-1 轴与 xi轴交点到 0i 的距离 αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至∑0i –1 坐标系原点的距离 θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi

6. 杆件坐标系间的变换过程-相邻关节坐标系的齐次变换杆件坐标系间的变换过程-相邻关节坐标系的齐次变换 • 将xi-1轴绕zi-1轴转i角度，将其与xi轴平行； • 沿zi-1轴平移距离di，使zi-1轴与zi轴重合； • 沿xi轴平移距离Li，使两坐标系原点及x轴重合； • 绕xi轴转i角度，两坐标系完全重合．

7. D-H变换矩阵 机器人的运动学方程

8. 运动学逆问题 • 多解性，剔除多余解原则 • 根据关节运动空间合适的解 • 选择一个与前一采样时间最接近的解 • 根据避障要求得选择合适的解 • 逐级剔除多余解 • 可解性 • 所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中总共有6个（或小于6个）自由度时，是可解的，一般是数值解，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原理求解，它的计算量要比解析解大 • 如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于0或90°的情况下，具有6个自由度的机器人可得到解析解

9. x y z 例题： 在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。 • 试求立方体中心在机座坐标系∑0中的位置 • 该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y轴同向，那么，求手爪相对于∑0的姿态是什么？

10. 解1： 因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的 -Y，X，Z轴平行。

11. 解2：

13. xi yi 特殊情况坐标系的建立原则 两个关节轴相交 Oi— Ai与Ai+1关节轴线的交点 Zi— Ai+1轴线 Xi— Zi和Zi-1构成的面的法线 Yi— 右手定则

14. 两个关节轴线平行 • 先建立 ∑0i-1 • 然后建立∑0i+1 • 最后建立 ∑0i

15. 举例：Stanford机器人

16. y6 z6 O6 x6 y3 z3 d6 O3 d3 z4 x3 O4 x2 y5 z2 y2 z5 y4 x4 O2 O5 z1 O1 x5 d2 x1 y1 d1 z0 x0 y0 O0 A5 A6 A4 • 为右手坐标系 • 原点Oi： Ai与Ai+1关节轴线的交点 • Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意 • Xi轴： Zi和Zi-1构成的面的法线 • Yi轴：按右手定则 A2 A3 A1 Li —沿 xi轴， zi-1 轴与 xi轴交点到 0i 的距离 αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至∑0i –1 坐标系原 点的距离 θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi

17. 解：

20. 运动学逆问题解法 Paul 等人提出的方法: • 用未知的逆变换逐次左乘，由乘得的矩阵方程的元素决定未知数，即用逆变换把一个未知数由矩阵方程的右边移到左边 • 求解这个未知数 • 把下一个未知数移到左边 • 重复上述过程，直到解出所有解

21. Paul 等人提出的方法

22. 机器人末端操作器位姿的其它描述方法 • 用矩阵表示刚性体的转动简化了许多运算，但它需要9个元素来完全描述旋转刚体的姿态，因此矩阵并不直接得出一组完备的广义坐标。 • 一组广义坐标应能描述转动刚体相对于参考坐标的方向，被称为欧拉角的三个角度，φ、θ、ψ就是这种广义坐标。 • 有几种不同的欧拉角表示方法，它们均可描述刚体相对于固定参考系的姿态。三种最常见的欧拉角类型列在表中

23. z (w) w" v׳׳׳ w′ W׳׳׳ v" ① φ ψ v′ ③ θ ψ φ o y (v) ψ ② θ φ u" u׳׳׳ x(u) u′ 3种最常见的欧拉角类型 类型1：表示法通常用于陀螺运动

24. 类型2：所得的转动矩阵为右乘

25. 类型3： 一般称此转动的欧拉角为横滚、俯仰和偏航角，这种形 式主要用于航空工程中分析飞行器的运动，其旋转矩阵为（这种方法也叫做横滚、俯仰和偏航角表示方法）

26. 斯坦福机器人运动学逆问题解

27. 式中： 由两端矩阵对应元素相等可得：

28. 作三角变换： 式中： 得到： 即有： （ ）

29. 由1, 4和2, 4元素对应相等，得：

30. 式中第四列：

31. 式中第三列：

34. 微动矩阵和微动齐次变换 • 对象: 微动矩阵主要是描述机器人在微动范围内各关节的位移运动关系 • 定义: 各关节当角度移小于5°时，平移在0.1mm左右时，微动矩阵大致可用

35. 设：有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中的齐次变换为oTN，做微动，①绕任意轴w轴转 ；②绕各坐标轴平移dx,dy,dz求： 在 中的位置和姿态. • 定义 为微动齐次变换矩阵 在忽略高次项的情况下：微动齐次变换与次序无关

36. 微动平移和微动旋转的齐次变换： 平移： 旋转R ，绕任意轴 旋转 角:

37. 在微动范围内绕经意轴转动 角,可以看作绕x,y,z轴的微转动的合成。因此： 因此：

38. 因此微动率△= 微动的齐次变换：dT= △•T

39. 转动： 己知变换矩阵 平移： 求d T 解：

40. 反过来：如果我们要求Σ 在Σ 中的齐次交换矩阵为 实际测得的为 转动： 平移： 那么末端执行器坐标系要如何运动才能到达期望值？

41. 等效微动位移的求解 • 前面研究的是动坐标系ΣOn在ΣOo中的b变换为T，相对于基准坐标系作微平移和微转动，来求微动齐次交换。 • 现在我们研究动坐标系Σ On相对于自身坐标系做了微位移或微转动，达到绕基准坐标同样的效果则如何求解。

42. 左乘,绕基准 dT=△•T （绕基准坐标系） 强调等效 =T•△T（绕动坐标系） 右乘, 绕动坐标轴

43. 有： 设：

44. 绕自身轴的微动率△Τ和绕固定坐标系坐标轴的微动率△之间的什么关系，举例说明：绕自身轴的微动率△Τ和绕固定坐标系坐标轴的微动率△之间的什么关系，举例说明： p n s a 例：一动坐标系相对于固定坐标系的齐 次交换为 己知相对固定坐标系的微动平移和转动 求：① △与△Τ ② 求dT ③ 求与之等效的绕动坐标系的微平移和微转动

45. 解：① △=

47. 解② ： 等效 解③： 绕自身平移和转动 其结果等于绕固定坐标系转动和旋转

48. 微动齐次变换的意义 说明：如果我们发现末端操作器相对于基准坐标系有了微位移（平移或转动）, 我们可以认为末端操作器相对于自己的坐标系发生了微位移。只是微动率△和△Τ不同而己。其结果是等效的。 这些在进行误差补偿和微动时有用, 如产生误差 如何补偿？可以反向运动末端关节来补偿

49. 误差及误差补偿 误差来源： • 制造和检测误差 • 运算过程中圆整、插补、拟合造成的误差—原理性误差 • 构件承受的负载、加速度、重力的变形误差 • 传动误差 • 环境影响误差 误差补偿： • 单关节补偿 • 多关节补偿

50. 单关节补偿：