第五章 根轨迹

1. 第五章 根轨迹 第4小节 绘制根轨迹的基本法则(2)

2. 一、根轨迹的渐近线 • 渐近线的数量：系统有n个开环极点，m个开环零点时，需要n-m条渐近线。 • 渐近线和根轨迹一样，关于实轴对称。 • 渐近线在实轴上有一个共同的交点： 所有开环极点的和 - 所有开环零点的和 n - m

3. 渐近线的发散角度： 小窍门：

4. 【例5.5】已知3阶系统的开环传递函数， 请绘制根轨迹的起点和终点、根轨迹在实轴上的段落、根轨迹的渐近线。 解：1. 根轨迹的起点，对应开环极点，n=3：

5. 2. 根轨迹的终点，对应开环零点，m=0： 不存在 3. 根轨迹在实轴上的段落：

6. 4. 渐近线在实轴上的交点： 系统有3个开环极点，0个开环零点时，需要 3条渐近线 渐近线的发散角度： 5. 做部分根轨迹图：

7. 二、根轨迹的分离点与会合点 • 两条根轨迹在S平面上某点相遇然后又分开的点，称为根轨迹的分离点或会合点； • 1.分离点：根轨迹相遇后离开实轴的点 • 如a点，对应根轨迹增益局部最大值； • 2.会合点：根轨迹相遇后回到实轴的点 • 如b点，对应根轨迹增益的局部最小值

9. 分离点/会合点的计算： 1.利用系统特征方程： 2.对K做一次求导后，求si： 若si位于实轴上的根轨迹段内，则是分离点或会合点。否则，不用考虑，舍去。

10. 3. 对K做二次求导，代入si，判断： 若 ，则si是会合点； 小窍门： si位于两个开环零点之间的根轨迹段内时，是会合点 若 ，则si是分离点。 si位于两个开环极点之间的根轨迹段内时， 是分离点

11. 4. 分离角/会合角的计算： ：分离/会合的根轨迹数量 时，

12. 【例5.6】计算开环传递函数 的根轨迹在实轴上的分离点 解：1.由系统特征方程： 2.求 ，即

13. 得： 不在实轴上的根轨迹段内，舍去。 在实轴上的根轨迹段内，继续判断；位于两开环极点间，是分离点。

14. 3. 求对应的根轨迹增益： 将 代入K式： 4. 分离角： 5. 根轨迹：

15. 三、根轨迹与虚轴的交点 • 根轨迹可能跨过虚轴进入S右半平面；系统从稳定变为不稳定； • 根轨迹在虚轴上的交点，对应闭环系统的临界稳定； • 交点处是一对纯虚根，利用劳斯判据第二种特例的原理计算。

17. 【例5.8】计算开环传递函数 的根轨迹在虚轴上的交点。 解：利用劳斯判据第二种特例的原理计算。 1. 闭环特征方程：

18. 2. 列劳斯表： 当K=48时，存在全零行。 构建辅助多项式： 根轨迹与虚轴的交点：

19. 3. 根轨迹：