第一章 §1 数域

1. 第一章 §1 数域 按照我们的教学计划，我们先介绍 数域的基本概念 Go

2. §1 数 域 多项式是代数学中最基本的对象之一，它不但与高等方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会用到。本章介绍多项式的基本知识。 数：自然数→整数→有理数→实数→复数。 数的运算：加、减、乘、除。这些运算性质称为代数性质。有理数、实数、复数对这四种运算都是封闭的。有其它一些数集也具有这样的性质，引入：

3. 定义一设 P是由一些复数组成的集合，其中包括 0 和 1 ，如果 P 中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是 P 中的数，那么 P 就称为一个数域。 有理数、实数、复数为数域，记为Q(rational number)、R（real number)、C(complex number)。 例1 所有具有形式 的数（a,b是任意有理数），构成一个数域。 通常用 来表示这个数域。

4. 证明 显然 包含0和1并且对于加减法是封闭的。现在证明它对乘除法也是封闭的。 设 于是 也不为零，而

5. 由上两式可以得出 乘、除法也是封闭的。 例2所有可以表成形式 的数组成一数域，其中n,m为任意非负整数， 是整数。

6. 例3所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减不是封闭的。 • 的整倍数的全体构成一数集，它对于加、减法是封闭的，但对于除法不封闭。

7. 重要性质：所有的数域都包含有理数作为他的一部分。重要性质：所有的数域都包含有理数作为他的一部分。 事实上，设 P 是一个数域，由定义，1+1=2，2+1=3，…，n+1=n+1,…全属于P ，再由 P 对减法的封闭性，o-n=-n，也属于P ，因而P 包含全体整数。任何一个有理数可以表成两个整数的商，由P 对除法的封闭性即得上述结论。 Back

8. 第二章 行列式 • §1 引言 • §2 排列 • §3 n阶行列式 • §4 n阶行列式的性质 • §5 行列式的计算 • §6 行列式按一行（列）展开 • §7 Cramer法则 • §8 Laplace定理．行列式的乘法规则

9. §1 引言 一元一次方程：ax=b，只要a≠0，就可 以解出 x=b/a。 二元线性方程组： 当二阶行列式 时，该方程组有唯一解，

10. 本章我们讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组。在这一章中，我们将利用n行列式的概念，将上述结论推广到n元线性方程组本章我们讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组。在这一章中，我们将利用n行列式的概念，将上述结论推广到n元线性方程组 的情形。 返回

11. §2 排列 • 定义1 由1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列。 如，2341是一个4级排列，54321是一个5级排列。n级排列的总数是: n(n-1)(n-2)…21=n! • 12…n称为自然排列。 • 定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后

12. 面的数，那么它就称为一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列 的逆序数记为 例如， • 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列为奇排列。 例如2431是偶排列；45321是奇排列；123…n是偶排列。 • 我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列，一般也称为n级排列。

13. 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样一个变换称为对换。把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样一个变换称为对换。 例如 3421经 3，1 对换就变成了1423。显然，如果连续施行两次相同的对换就还原了。 • 定理1 对换改变排列的奇偶性。 证明 先看一个特殊情况，即对换的两个数在排列中是相邻情形。排列 …j k… （1） 经过j, k对换变成 …j k… （2）

14. 这里“…”表示那些不动的数。显然（1）与(2)中，不同的只是j,k的次序；如果（1）中j,k组成逆序，那么（2）的逆序数减少一个；如果（1）中j,k不组成逆序，那么（2）的逆序数增加一个。无论增加1，还是减少1，排列的逆序数的奇偶性总是变了。这里“…”表示那些不动的数。显然（1）与(2)中，不同的只是j,k的次序；如果（1）中j,k组成逆序，那么（2）的逆序数减少一个；如果（1）中j,k不组成逆序，那么（2）的逆序数增加一个。无论增加1，还是减少1，排列的逆序数的奇偶性总是变了。 在看一般情形。设排列 (3) 经j,k对换，（3）变成 （4）

15. 不难看出，这样一个对换可以看为，k经s+1个相邻对换将（3）变为不难看出，这样一个对换可以看为，k经s+1个相邻对换将（3）变为 再将j一位一位地向右移动，经过s个相邻对换变成排列（4）。因此，j,k对换，可以通过2s+1个相邻对换实现。而2s+1是奇数，所以，改变排列的奇偶性。 • 推论 在所有的n元排列中奇偶排列各为n!/2。 • 定理2 任意一个n 级排列与自然排列12…n都可以经过一系列对换互换，并且，所做的对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。

16. 证明 我们对排列级数作数学归纳法。 1级排列只有一个，结论显然成立。 假设结论对n-1级排列已经成立，现在来证 n级排列的情形也成立。 设 是一个n级排列，如果 那么根据归纳法假设，n-1级排列 可以经过一系列对换变成12…n-1，于是这一系 列对换也就把 变成12…n。

17. 这就归结成上面的情形。 相仿地，12…n也可用一系列对换变成 。因为12…n是偶排列，根据定理1，所做对换的个数与排列 有相同的奇偶性。 如果 那么，对 做 对换，它就变成 返回

18. §3 n阶行列式 • 从这一节开始，我们总是取一固定的数域P作为基础，所谈到的数都是指p上的数。所考虑的行列式都是数域p上的行列式 • 二阶行列式与三阶行列式定义：

19. （1） （2）

20. 它们都是一些乘积的代数和，每一项是位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成。在（2）中每一项的一般形式可以写成它们都是一些乘积的代数和，每一项是位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成。在（2）中每一项的一般形式可以写成 其中 是1，2，3的一个排列。可以看出 是偶排列，带+号；奇排列带-号。 （1）式也符合这个原则。

21. 定义4n阶行列式 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 （5） 的代数和，这里 是12…n的一个排列每一项（5）都按下列规则带有符号：当 是偶排列时，（5）带正号，当 是奇排列时，带负号。

22. 定义可写成 （6） 这里 表示对所有n级排列求和。 • 由定义立即看出，n级行列式是由n!项组成的。

23. 例1 计算 例2 计算上三角形行列式 为主对角线(从左上角到右下角的对角线)元素的乘积

24. 对角形行列式

25. 由于乘法满足交换率，所以行列式中的项可以写成由于乘法满足交换率，所以行列式中的项可以写成 （11） 其中 是两个n 级排列。利用排列的性质可以证明（11）的符号等于 （12） 事实上 为了根据定义来决定（11）的符号，把这n个元素从新排一下，使得它们的行指标成自然排列，即排成：

26. （13） 于是它的符号是 （14） 下面证明（12）与（14）是一致的。 由（11）变到（13，经一系列元素对换，每作一次对换行指标与列指标的排列 与 都同时作一次对换，所以和的奇偶性不变，即

27. 行列式又可定义为 (15)

28. (15) • 性质1 行列互换，行列式不变，即 （16）

29. 证明 左边按行展开=右边按列展开。都为 • 在行列式中行与列的地位是对称的，行成立的性质列也成立。下面讨论的性质都是对行来说的。

30. 下三角形行列式 返回

31. §4 n阶行列式的性质 • 按行列式的定义计算行列式，要算n!项，计算需n!(n-1)个乘法，所以按定义计算几乎是不可能的。 • 事实：在行列式定义中，每一个是n个元素的乘积。对于第 i 行的元素 来说，每一项都含有其中一个，且只含有一个元素。因此，n!项可分为n组，第一组都含有 ，第二组都含有 ，等等

32. 即有 • （1） 其中 代表含 的项在提出公因子 之后的代数和。 中不含有 i 行的元素，也就是 全与第 i 行的元素无关 • 性质2 行列式某一行有公因子，可以提出去，即

33. 证明 左边= =右边 • 推论行列式中一行为零，值为零。

34. 性质3

35. 证明 左边= =右边。 • 性质4如果行列式中两行相同，行列式值为零。 • 证明 设

37. 因为 ，可以证明右边出现的项全能两两相消。 同时出现的有

38. 两项值相同，因排列 相差一个对换，所以两项符号相反。全部n级排列可以按上述形式两两配对。所以值为零。 • 性质5 如果行列式中两行成比例，值为零。 • 证明 由性质4

40. 性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不变。性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不变。 • 证明

41. 性质7 对换行列式两行位置，行列式反号。 • 证明

44. 例1 计算n级行列式 • 解

45. 例2 一个n阶行列式，假设它的元素满足 （4） 我们来证明，当n为奇数时，此行列式为零。 • 证明 由（4）式得 即 因此，行列式为： 所以，当n为奇数时，d=-d，即d=0。

46. 返回

47. §5 行列式的计算 • 上三角形行列式等于它们对角线元素的乘积。我们可以用行列式的性质，把一般的行列式变为上三角形行列式。为叙述方便，并考虑到以后的应用，我们引进矩阵的概念。 • 定义5 由s×n个数排成的s行（横的）和n列（纵的）的表

48. （1） 称为一个s×n矩阵。 • 例如 • 数 ，称为矩阵（1）的元素，i 称为元素 的行指标，j称为列指标。一般指某个数域P上的矩阵。 • n× n矩阵也称为n级方阵，一个n级方阵

49. 定义一个n 级行列式 称为矩阵A的行列式。记作|A|。 • 定义6 数域p上矩阵的初等行变换是指下列三种变换： （1）以p中一个非零的数乘矩阵的一行；

50. （2）把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中任意一个数；（2）把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中任意一个数； （3）互换矩阵中两行位置。 • 一般说来，一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵。 • A经过初等行变换变成B时，记为A→B。 • 称形如 的矩阵为阶梯形矩阵