כבידה

1. כבידה

2. כבידה על ראשית האסטרונומיה והתפתחותה ניתן וחובהלקרוא בספר ובחומר נלווה. נסתפק כאן בהצגת אלה שהביאו למפנה תפיסתי של מי נמצא במרכז העולם ומי מסתובב סביב מי, והניחו את אבני היסוד למודל הנוכחי. התיאוריה שהייתה מקובלת בעולם האנושי מאז ימי יוון העתיקה ועד לימי הביניים הייתה התיאוריה הגיאוצנטרית.לפי תיאוריה זו כדור הארץ נמצא במרכז היקום וכל יתר גרמי השמיים מסתובבים סביבו...

3. כבידה מי לדעתכם היה הראשון שגרס כי השמש היא מרכז המערכת בניגוד לתפיסה המקובלת ולדעת הכנסייה שאימצה את המודל הגיאוצנטרי? גליליאו גליליי?

4. כבידה גליליאו לא היה אפילו השני. ראשון האסטרונומים המודרניים היה ניקולס קופרניקוס הפולני (1473-1543) שהציג מודל הליוצנטרי של מערכת השמש: השמש ניצבת במרכז וכל הכוכבים מקיפים אותה. קופרניקוס ידע היטב שעמדתו מנוגדת לדּוֹגְמָה של הכנסייה ונרתע מלפרסם את רעיונותיו במשך זמן רב. דּוֹגְמָה: אמונה, או דוקטרינה, או עיקרון, המוחזקים על ידי ארגון.

5. כבידה האסטרונום האיטלקי ג'ורדנו ברונו (1600 – 1548) השתכנע בכך ואף טען כך בחוצות. מאחר ויצא כנגד תפיסת הכנסייה שעדיין החזיקה במודל הגיאוצנטרי הוא נידון למוות בשרפה. גם רנה דקארט (1596 – 1650), המתמטיקאי והפילוסוף הצרפתי האמין במודל ההליוצנטרי. אך בניגוד לג'ורדנו ברונו, ואולי בגלל חששו מגורל דומה, הוא לא העז לפרסם זאת ברבים, וכך ניצלו חייו.

6. כבידה צעד גדול קדימה עשתה האסטרונומיה בימי גליליאו גליליי (1564-1642), הראשון שצפה בשמים באמצעות טלסקופ בתחילת המאה ה-17. גליליאו תמך בשיטת קופרניקוס בעת שרבים התנגדו לה עדיין, ועורר עליו את זעם הכנסייה. בשנת 1616 הכריזה הכנסייה כי הרעיון של אי מרכזיות הארץ סותר את כתבי הקודש ומנוגד לשכל הישר. גליליאו נשפט פעמיים על ידי האינקוויזיציה ונענש במאסר עולם – בפועל מאסר בבית. הוא נאלץ לחזור בו מתמיכתו. סביב סוגיה זו נולדה השמועה / המיתוס כי גלילאו קרא מול הכנסייה: "ואף על פי כן - נוע תנוע..."

7. כבידה 350 שנה לאחר מותו של גלילאו, באוקטובר 1992, הוכרו התיאוריות שלו באופן רשמי על ידי הכנסייה הקתולית! אסטרונום דני בשם טיכו ברהה (1546-1601), תכנן ובנה מכשירים אסטרונומיים גדולים ומדויקים וערך תצפיות בדיוק ובהיקף חסרי תקדים במשך יותר מעשרים שנים ותרם רבות לפיתוחו של המודל של קופרניקוס. נזכור שטיכו ברהה ביצע את תצפיותיו עוד בטרם הומצא הטלסקופ!

8. כבידה אסטרונום גרמני בשם יוהן קפלר(1571 – 1630), בן תקופתו של גלילאו ועוזרו הראשי של טיכו ברהה, מצא לאחר שנים של עבודה, קשר מתמטי ברישומיו המדויקים של טיכו ברהה ועל בסיסם ניסח את מה שמוכר לנו עד היום כחוקי קפלר התקפים עד היום. חוקים תצפיתיים

9. כבידה חוקי קפלר: חוקים אמפיריים המבוססים על תצפיות, המתארים את תנועת כוכבי הלכת. קפלר הגיע למסקנה שמסלול המאדים אינו מעגל, או צירוף של מעגלים, אלא אליפסה.רעיון זה גרם לתפנית בחקר האסטרונומיה. הגדרת אליפסה: המקום הגיאומטרי של נקודות במישור, שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות במישור (מוקדי האליפסה) הוא גודל קבוע. r1 r2 r1 + r2 = 2a

10. כבידה אליפסה: אליפסה היא אוסף הנקודות במישור, שסכום מרחקיהן, r1ו- r2, משתי נקודות קבועות F1ו-F2, הוא גודל קבוע. שתי הנקודות נקראות מוקדי האליפסה. הקטע AB נקרא הציר הראשי של האליפסה (אורכו 2a) והקטע CD – הציר המשני. ככל שהמוקדים F1 ו-F2 מתקרבים זה לזה, צורת האליפסה הולכת ומתקרבת לצורתו של מעגל. כאשר F1 מתלכד עם F2 , האליפסה הופכת למעגל. הקטע המחבר את אחד המוקדים של האליפסה עם נקודה על היקפה נקרא רדיוס-וקטור. r1 + r2 = 2a

11. כבידה פחיסות האליפסה המרחק בין המוקדים קובע את פחיסות האליפסה.

12. כבידה חוקי קפלר

13. כבידה החוק הראשון של קפלר (חוק המסלולים) כל כוכב לכת נע במסלול אליפטי והשמש נמצאת באחד ממוקדי האליפסה.

14. כבידה החוק הראשון של קפלר (חוק המסלולים) הערה: כוכב לכת הוא לא כוכב במשמעות המונח המדעי "כוכב". כוכב בהגדרתו הוא גרם שמים המפיץ אור הנפלט ממנו. השמש היא כוכב. כוכבי הלכת הם גרמי שמיים המחזירים את אור השמש.

15. כבידה הנקודה על מסלול כוכב הלכת הקרובה ביותר לשמש מכונה פריהליון והרחוקה ביותר – אפהליון. הקו הדמיוני המחבר את הפריהליון לאפהליון הוא הציר הראשי של האליפסה ואורכו 2a. 2a

16. כבידה החוק השני של קפלר (חוק השטחים) הקו הישר המקשר את השמש לכוכב לכת ("וקטור המצב" או "רדיוס וקטור"), חולף על פני שטחים שווים בפרקי זמן שווים. (זה נובע מחוק שימור תנע זוויתי) שטח גזרה בעיגול:

17. כבידה B תרגיל קטן: A C קבע באיזו מבין שלוש הנקודות תהיה מהירותו של כוכב הלכת – הקטנה ביותר, ובאיזו מבין שלוש הנקודות תהיה מהירותו – הגבוהה ביותר?

18. כבידה B פתרון: A C הנקודה הקרובה ביותר זקוקה לקשת גדולה יותר על מנת לִתחום באותו פרק זמן את אותו השטח. לכן ככל שהנקודה יותר קרובה המהירות הקווית גדולה יותר לכן: כוכב לכת אינו נע במהירות קבועה סביב השמש, אלא נע מהר יותר כשהוא מתקרב לשמש

19. כבידה ככל שכוכב הלכת קרוב יותר לשמש – מהירותו גדולה יותר.

20. כבידה החוק השלישי של קפלר (חוק זמני המחזור) ריבוע זמן המחזור של כוכב לכת בתנועתו סביב השמש פרופורציוני (נמצא ביחס ישר) לחזקה שלישית של מרחקו הממוצע מן השמש: מסלולי כוכבי הלכת הם בקירוב מעגלים. לכל מסלול נייחס רדיוס ממוצע שגודלו מחצית הציר הראשי של האליפסה:

21. כבידה החוק השלישי של קפלר (חוק זמני המחזור) K – השיפוע

22. כבידה עוד תרגיל קטן: הוכח כי דרך נוספת להביע את החוק השלישי של קפלר היא

23. כבידה נרשום את זמני המחזור של שני כוכבי לכת המקיפים אותה שמש: הפתרון

24. כבידה שני כוכבי לכת חגים סביב אותה השמש, רדיוס האחד גדול פי ארבעה מרדיוס מהו יחס זמני המחזור שלהם? ועוד תרגיל קטן...

25. כבידה פתרון:

26. כבידה עבור מסלולים מעגליים בקירוב: רדיוס ממוצע: זה חשוב כי אנחנו נניח מסלולים מעגליים מעתה!

27. כבידה הרחבת החוק השלישי של קפלר כאשר לוויין נע במסלול אליפטי בשדה הרדיאלי של גרם שמיים, ועל הלוויין לא מופעל כוח על ידי גורם שמיים אחר, ריבוע זמן המחזור T של הלוויין יחסי לחזקה שלישית של הרדיוס הממוצע של מסלולו r: כאשר k משותף לכל הלוויינים של גרם השמיים. לכל גרם שמיים מתאים ערך אחר של k.

28. תרגיל 1 זמן המחזור של תנועת הארץ סביב השמש (TE) הוא שנה אחת, ושל נוגה (TV) 0.615 שנה. חשבו את היחס בין רדיוס מסלול הארץ ( ) סביב השמש לרדיוס המסלול של כוכב הלכת נוגה ( ). הניחו כי מסלוליהם סביב השמש הם בקירוב רב מעגליים.

29. תרגיל 2 בטבלה שלפניך רשומים נתונים על ארבעה ירחים של כוכב הלכת צדק. הנח שהירחים נעים במסלולים מעגליים. הראה כי ארבעה ירחים אלה מקיימים את החוק השלישי של קפלר. (שים לב: לא נדרש לשנות יחידות).

30. פתרון תרגיל 1 כוכב 1 : כוכב 2 : כוכב 3 : כוכב 4 :

31. כבידה • חוקי קפלר הם קינמטייםומתארים את תנועת כוכבי הלכת סביב השמש, אך לא את הסיבות לתנועה הזו. • עדיין נשארנו עם התעלומה, מדוע כוכבי הלכת נעים דווקא במסלול אליפטי? • מדוע התנועה של כל כוכב לכת אינה קצובה, אלא משתנה בנקודות המסלול שלו? • מהו ההסבר לכך שבין כל כוכבי הלכת, הרחוקים מאוד זה מזה, מתקיים קשר מתמטי מוגדר ביחס לזמני המחזור שלהם ולמרחקם הממוצע מהשמש?

32. כבידה את התשובות נתן ניוטון, שניסח בספרו (על בסיס חוקי קפלר) את: חוק הכבידה האוניברסלי, אחרי שהבין כי העובדה שכוכב לכת אינו נע בקו ישר, מוכיחה שפועל עליו כוח. מאחר שהתנועה מעגלית (בקירוב) ברור כי הכוח השקול הפועל על כוכב הלכת הוא בכיוון השמש. חוק הכבידה האוניברסלי: מתאר את אופי כוח המשיכה שגופים מפעילים האחד על האחר. זהו חוק טבע.

33. כבידה חוק הכבידה האוניברסלי

34. M ההסבר של ניוטון מפתיע שאותו קשר מתמטי בין המרחק הממוצע מן השמש לבין זמן המחזור מתקיים עבור כל כוכבי הלכת במערכת! ניוטון הוא זה שהביא לנו את חוק ההתמדה, החוק הראשון, ולכן הבין שאם למשל לא היה כל כוח שהוא שפועל בין הירח לכדור הארץ, הירח היה עובר לידנו וממשיך בדרכו בקו ישר ונעלם לו.

35. M ההסבר של ניוטון ניוטון הבין שהעובדה שכוכב לכת אינו נע בקו ישר, מוכיחה שפועל עליו כוח. מניין מגיע כוח זה? (לשם פשטות הדיון נניח שמסלול כוכב לכת הינו מעגלי. למעשה חוקי קפלר מתאימים לכל מסלול אליפטי, פחוס יותר או פחות. מסלול מעגלי הינו מקרה פרטי של אליפסה לכן ההנחה מותרת.) חייב לפעול כוח על כוכב לכת כדי שינוע במעגל, כפי שקורה בכל תנועה מעגלית. מהחוק השני, חוק השטחים, נובע כי אם המסלול מעגלי, הכוכב נע בתנועה מעגלית קצובה. (שטחים שווים ורדיוסים שווים לכן מהירות שווה). t2 t1 t3 Δt = t4 - t3 = t2 - t1 t4

36. חוק הכבידה העולמי הרחבה בתנועה מעגלית, הכוח חייב לפעול בכיוון המרכז, לכן הכוח חייב לפעול בכיוון השמש. מהחוק השני של ניוטון לתנועה מעגלית : אבל: ומהחוק שלישי של קפלר: נקבל: זהו גודל הכוח הפועל על כוכב הלכת, על מנת שינוע במסלולו הסגור. ניוטון הניח, שהשמש הינה מקור כוח מרכזי זה, שגודלו ביחס הפוך לריבוע המרחק בין כוכב הלכת לבין השמש. כוח זה ידוע בשם כוח הכבידה.

37. חוק הכבידה העולמי הרחבה כוח כזה פועל גם במערכות כוכבים או גופים שמימיים אחרים, רק גודל הקבוע k יהיה שונה. כוח הכבידה שהשמש מפעילה על כוכב לכת הינו ביחס ישר למסת כוכב הלכת. מהחוק השלישי של ניוטון מתקבל שכוכב הלכת מושך את השמש באותו כוח שהיא מושכת אותו. כוח זה חייב להיות גם ביחס ישר למסת השמש. לכן בגורם k חייבת להופיע מסת השמש. מקובל לרשום: כאשר M מסת השמש ו- G קבוע הכבידה. לכן: .

38. חוק הכבידה העולמי הרחבה כאמור, כוח הכבידה קיים גם במערכות כוכבים או בין גופים שמימיים אחרים. ניוטון, באינטואיציה מדהימה, טען שכוח זה פועל גם בין כל שתי מסות בטבע! לכן כוח הכבידה הצליח להסביר הרבה מתופעות הטבע כמו: נפילת גופים אל כדור הארץ תנועת ירחים וכוכבי לכת גאות ושפל על כן, מן הראוי לכנותו בשם כוח הכבידה האוניברסלי והקבוע G ייקרא קבוע הכבידה האוניברסלי. ניוטון הצליח לנסח בצורה פשוטה את החוק הזה: בין כל שתי מסות נקודתיות פועל, לאורך הישר המחבר ביניהן, כוח משיכה הדדי, שהינו ביחס ישר למסות החלקיקים וביחס הפוך לריבוע המרחק ביניהם. m M r

39. כבידה חוק הכבידה האוניברסלי: מתאר את אופי כוח המשיכה שגופים מפעילים האחד על האחר: כל שני גופים מושכים זה את זה בכוח הנמצא ביחס ישר למסותיהם, וביחס הפוך לריבוע המרחק ביניהם. G - קבוע הכבידה האוניברסלי / קבוע קבנדיש: (הקבוע נמצא בדפי הנוסחאות) M, m – מסות שני הגופים. r – המרחק בין שני מרכזי הגופים. M m r

40. כבידה G - קבוע הכבידה האוניברסלי / קבוע קבנדיש: כוח המשיכה בין שתי מסות של 1kg הנמצאים במרחק של 1 מטר זה מזה. לקרוא בספר (ע"מ 189) על ניסוי קבנדיש וחשיבותו. 1kg 1kg 1m

41. כבידה • קבועים רלבנטיים לנושא בדפי הנוסחאות: • קבוע הגרביטציה G (עמוד 6) • מסת גרמי השמים (עמוד 8) • רדיוס גרמי השמים (עמוד 8) • זמן מחזור גרמי השמים סביב השמש (עמוד 8) • רדיוס מסלול ממוצע גרמי השמים (עמוד 8) • הנחות בסיסיות לצורך פתרון הבעיות: • נתייחס למסלול תנועת גרמי שמיים וחלליות כמסלול מעגלי. • נתייחס לגופים כאילו הם גופים אחידים וכדוריים וכאילו כל המסה שלהם מרוכזת במרכז הכדור (מסה נקודתית).

42. תרגיל 1 מרכזיהם של שני כוכבים כדוריים נמצאים במרחק 40R זה מזה. מסת אחד הכוכבים היא Mורדיוסו3R, מסת הכוכב השני היא 6MורדיוסוR . מסת הטיל היא m. (ראה תרשים). נתונים: m ,G, R, M באיזה מרחק מהכוכב שמסתו M (על קו ישר שבין מרכזי שני הכוכבים) יהיה כוח הכבידה השקול הפועל על הטיל שווה לאפס?

43. פתרון תרגיל 1 40R-X X

44. תרגיל 2 חללית שמסתה m נעה (בהשפעת כוחות הכבידה בלבד) לאורך האנך המרכזי לקטע המחבר את מרכזי שני כוכבים זהים, שמסתם M ורדיוס כל אחד מהם הוא R.הכוכבים נמצאים במרחק 24R זה מזה וקבועים במקומם. נתונים: m, M, R, G. החללית מתחילה לנוע ממנוחה מהנקודה P הנמצאת במרחק 16R מהנקודה .O א. מה גודלו וכיוונו של הכוח השקול הפועל על החללית ברגע בו היא מתחילה את תנועתהבנקודה P? ב. מה גודלו וכיוונו של הכוח השקול הפועל על החללית ברגע בו היא עוברת דרך הנקודה O?

45. פתרון תרגיל 2 א. ב. אפס   X X

46. כבידה עקרונות יסוד • ניוטון, לקח אותנו למרחבים עצומים. גם הירח נמשך אל הארץ. הכבידה היא עניין ליקום כולו. הכבידה היא עניין הדדי. כל עצם מושך כל עצם אחר. כל גרם של חומר מושך כל גרם אחר של חומר. יש לכך תוצאות מרחיקות לכת. • כל שני גופים בטבע מושכים זה את זה, ועוצמת המשיכה (כאשר הגופים נמצאים במרחק נתון זה מזה) תלויה בכמות החומר של כל אחד מן הגופים, ולא בשום תכונה אחרת שלו.

47. כבידה ייחודיות הכבידה • כבידה היא אינטראקציה שמתרחשת בין עצמים עצומים (כוכבים) לבין עצמים אחרים (כוכבים, ירחים, בני אדם, תפוחים...). כל עצם חשוף לאינטראקציה הזאת. כל גוף ייפול ארצה אם נשחרר אותו מאחיזתנו. אין צורך שיהיו לו תכונות מיוחדות. • באינטראקציה של הכבידה משתתפים כל הגופים, מכל החומרים. מתברר כי השתתפות גופים באינטראקציה הזו אינה מותנית בתכונה מיוחדת להם. האינטראקציה הזו מתרחשת בין שני גופים חומריים באשר הם גופים חומריים. זה מה שניוטון כינה בשם "כבידה עולמית/כללית" (גרביטציה אוניברסאלית).

48. כבידה • האם שני תפוחים מושכים זה את זה? • האם שני אנשים מושכים אה את זה? • האמנם כל שני גופים מושכים זה את זה? כן. אך הכוח הזה חלש. הוא ניכר כאשר לפחות אחד משני הגופים הוא עצום (כוכב, ירח...). ההשערה של ניוטון לא הייתה ניתנת לאישוש בתקופתו אלא רק 111 שנה לאחר פרסום ספרו של ניוטון.

49. כבידה אם נתבונן לדוגמה בכוח המעכב שמפעילה הסביבה על התפוח הנופל, כאשר התפוח נופל במים (ואפילו באוויר), המים (או האוויר) מפעילים כוח שמתנגד לתנועתו. הכוח הזה פועל על שטח הפָּנִים החיצוני של התפוח. אין לו השפעה ישירה על פנים התפוח! כוח הכובד אינו מתנהג כך. הוא פועל ישירות גם על הגְרָם הפנימי ביותר של התפוח, כאילו לא היו מסביב גְרָמִים רבים נוספים של אותו תפוח, שעוטפים אותו היטב וסוגרים עליו מכל עבר. הכבידה "מתגנבת" מבעד לכל העטיפות האלו!

50. כבידה נפילה של גוף מורכב • נתבונן בגוף שמורכב משתי קוביות זהות שמחוברות על ידי חוט קטן, והן נמצאות באותו גובה. אם נשחרר את הגוף המורכב ממנוחה, הוא ייפול מטה. החוט האופקי אינו משפיע על התנועה האנכית. מכאן ששני חלקיו ייפלו כאילו החוט לא היה כלל.