经典命题演算的能行方法研究

1. 经典命题演算的能行方法研究 哲学系 逻辑学 秦一男

2. 报告摘要 在经典命题逻辑的常见公理系统中，仅以公理和推 理规则为工具，进行定理的形式证明，往往不易找到证 明的出发点，对于初学者而言尤为困难。本报告试图建 立一套能行程序，使经典命题演算实现能行化。通过对 命题演算能行方法的研究，不仅可以深刻揭示经典命题 演算特有的内在规律，还可以改进数理逻辑课程的教学， 拓宽逻辑学研习者的思路，使其更全面地掌握逻辑演算 的技术要领。

3. 报告摘要 本报告综合运用了多种方法，试图从探讨实现经典 命题演算能行化的思维原理问题入手，通过确立思维原 理、探索初步方案、给出能行程序、论证程序能行性的 过程建立一套能行程序，使经典命题演算实现能行化。 关键词 ：经典命题演算；思维原理；分析法；能行程序。

4. 第1章能行方法的思维原理 第1章能行方法的思维原理 要实现能行化，就必须首先选择一条恰到好处的指 导性思维原理。而要选择一条恰到好处的指导性思维原 理，又必须首先给出正确的选择标准。 1.1 思维原理的选择标准 1.1.1 通缉令原理 现在假定公安部门要通缉一名逃犯XX，开列通缉令如下： (1)第一张通缉令：逃犯姓名XX，年龄不详，相貌不详； (2)第二张通缉令：逃犯姓名XX，年龄YY，相貌不详； (3)第三张通缉令：逃犯姓名XX，年龄YY，相貌ZZ。

5. 第1章能行方法的思维原理 第一张通缉令公布出去以后的结果可想而知，如石 沉大海，杳无音信；第二张通缉令公布出去以后效果略 好于第一张通缉令，反馈回来一些线索，但依然没能抓 获AA；第三张通缉令公布出去以后，警方根据群众举报 很快就将AA缉拿归案。这就是我所概括的通缉令原理。 通缉令原理意在说明如下基本事实： 1)，所探求事物的特征描述得越模糊，解决问题的希望 就越渺茫； 2)，对所探求事物的特征描述得越清晰，解决问题的希 望就越大。

6. 第1章能行方法的思维原理 1.1.2 通缉令原理是思维原理的选择标准 设任意定理的证明步骤为公式序列C1，C2，……， CN-1 ，CN。在经典命题逻辑定理的证明过程中，倘若仅 从公理和推理规则出发，那就必定先要找到出发点公式 C1，然后第二步公式C2，……，然后CN-1，即按部就班 地找到每一步所需之公式，这是最传统的思路。但困难 就此产生：对于C1，我们不掌握它的任何具体特征，不 了解任何关于它的详细信息，应用通缉令原理可知，找 C1的结果就好比执行前面的第一张通缉令，结果必然是 一无所获，因此根本就不应该去找C1。这也就是说

7. 第1章能行方法的思维原理 按部就班地找到每一步所需之公式C1，C2，……，CN-1， CN这条思路根本行不通，应更换其他思路为宜。再次应 用通缉令原理，审视公式序列C1，C2，……，CN-1，CN， 能够清晰地描述其特征的只有待证目标公式CN，CN在这 里既是待证目标又是已知信息。传统思路遭遇困境的一 个重要原因就在于将CN片面地当作未知信息对待而忽视 了其释放已知信息的功能。CN有双重作用，它既是待证 的未知目标，又是唯一的已知条件。这样，我们就锁定 CN作为“通缉对象”。要实现所谓能行化，就必须保证 所给程序是完全机械的，就必须排除直觉等人为因素，

8. 第1章能行方法的思维原理 就必须摒除一切偶然性、盲目性和不确定性，令操作满 足必然性、明确性和稳定性。只有锁定CN作为“通缉对 象”，才能保证满足这些要求。这一选择带有“释坚攻 脆”的效果。 1.2 思维原理的确立 锁定CN作为“通缉对象”之后，我们迫切需要找到 一条具体思维方法作为建立思维原理的载体。在数学证 明中，综合法和分析法是大家熟悉的基本方法，下面就 来分别考察这两种方法。

9. 第1章能行方法的思维原理 1.2.1 综合法 综合法：C1 C2…… CN-1 CN。这是一种从已知工具 和条件出发经过若干步推理，推出待证目标的“由因导 果”型的思维方法1，是一种顺向性思维；如果应用通 缉令原理去衡量，它锁定的“通缉对象”是C1而不是CN； 在这种思维方法的运作过程中，前后步骤之间的针对性 和方向性差，思路发展带有很大偶然性和盲目性。显然， 它不符合要求。 1.2.2 分析法 分析法：CNCN-1…… C2 C1。这是一种从待证目标

10. 第1章能行方法的思维原理 出发逐步寻找到所需要的已知工具和条件的“执果索因” 型的思维方法2，是一种逆向性思维；如果用通缉令原 理去衡量，它锁定的“通缉对象”正是CN；这种思维方 法的运作过程中，前后步骤之间的针对性和方向性强， 推理进程的必然性强，能起到“按图索骥”之功效。显 然，分析法符合要求，那么就确定以分析法作为建立能 行程序的指导性思维原理。如上所示，分析法拥有着 “倒推逆找”的典型特征。关于这一点，我再稍加补充。 打个比方，好比现在有一个盲人希望自己在打靶的时候 能“枪枪十环”，从正常的角度看这简直是

11. 第1章能行方法的思维原理 “天方夜谭”。然而，这个盲人倒真有办法，他每次都 先朝一面空白的墙壁上开一枪，之后再请别人以这个弹 孔为圆心，帮他一圈一圈地把枪靶子画出来，如此这般 还真成了枪枪“正中靶心”。这只打一个比方。但“先 打枪，后画圈”的思维方法，正是分析法思想的生动体 现，是对分析法的“执果索因”功效和“倒推逆找”特 征作出的最形象有力的注脚。

12. 第1章能行方法的思维原理 • 本章小结 本章首先探讨了思维原理的选择标准问题，进而确立分析法作为建立能行程序的指导性思维原理。下面的两章，将围绕着分析法这条思维原理，逐步 给出经典命题演算的能行程序。

13. 第2章初步方案 依据分析法，采用“执果索因”的方式，对待证目标 定理进行考察，就得到了一套初步方案。 2.1 演绎装置 公理模式：Ax1：A(BA) Ax2：(A(BC))((AB)(AC)) Ax3：(¬A¬B)(BA) 推导规则：MP：从A和AB可以推出B 2.2 初步方案 设待证目标定理为R1R0，若按照“执果索因”的 方式来分析，则R1R0必定是以下四种情况之一：

14. 第2章初步方案 (1)一条公理； (2)由两条公理经MP规则而得； (3)由两条已获得证明的定理经MP规则而得； (4)由一条公理和一条已获得证明的定理经MP规则而得。 对于(1)而言，形式证明的过程就是待证目标定理本身； 对于(2)(3)(4)而言，不妨将待证定理R1R0看作是由公 式X1和X1(R1R0)经MP规则而得。于是考察对象就由 R1R0转化为X1和X1(R1R0) 两条公式。 对于X1和X1(R1R0)，又可以再次进行如上的“执 果索因”式分析，如此循环下去，直至考察对象全都转化

15. 第2章初步方案 为公理或已获得证明的定理。 2.3 实例操作 2.3.1 实例1 [P1]┝AA2 思路如下： (1)，待证目标AA在上述公理模式下不是公理，那么就 不将其看作是由两条公式X1和X1(AA)经MP规则而得； (2)，得到X1和X1(AA)的最简方案是将二者都处理为 公理1的代入特例，但这行不通；

16. 第2章初步方案 (3)，比(2)稍微复杂一点的方案是X1(AA)为公理2的 代入特例且X1为公理1的代入特例，这也行不通; (4)，比(3)稍微复杂一点的方案是将X1(AA)看作是由 公理1的代入特例X2和公理1的代入特例X2(X1(AA)) 经过一次MP规则而得，且X1也为公理1的代入特例，经 简单实验可知，这也行不通； (5)，比(4)稍微复杂一点的方案是将X1(AA)看作是由 公理2的代入特例X2和公理1的代入特例X2(X1(AA)) 经过一次MP规则而得，且X1为公理1的代入特例，这是 完全可以的，最简单的情况是令X1=A(AA)，且令

17. 第2章初步方案 X2=A((AA)A) 。 将上述步骤整理，得到该定理的形式证明： 1，(A((AA)A))((A(AA))(AA)) (Ax2) 2，A((AA)A) (Ax1) 3，(A(AA))(AA) (1, 2 MP) 4，A(AA) (Ax1) 5，AA (3, 4 MP) 证毕 2.3.2 实例2 [P2]┝(BC)((AB)(AC)) 思路解析：

18. 第2章初步方案 (1)，待证目标不是公理，那么就不妨将其看作是由两条 公式X1和X1((BC)((AB)(AC)))经运用MP规则 而得； (2)，若仅限于将X1和X1((BC)((AB)(AC)))本 身看作是公理1的代入特例或公理2的代入特例都无法获 得待证目标； (3)，比(2)更复杂一点，X1((BC)((AB)(AC))) 看作是由公理1的代入特例X2和公理2的代入特例 X2(X1((BC)((AB)(AC))))经过一次MP规则

19. 第2章初步方案 而得，且X1为公理1的代入特例，经简单实验知，这行不通； (4)，比(3)稍微复杂一点，X1((BC)((AB)(AC))) 看作是由公理1的代入特例X2和公理2的代入特例 X2(X1((BC)((AB)(AC))))经过一次MP规则 而得，且X1为公理2的代入特例，经简单实验知，这行不通； (5)，比(4)稍微复杂一点，X1((BC)((AB)(AC))) 看作是由公理1的代入特例X2和公理2的代入特例 X2(X1((BC)((AB)(AC))))经过一次MP规则 而得，且X1为公理2的代入特例，经简单实验知这还是行 不通的；

20. 第2章初步方案 (6)，比(5)稍微复杂一点，X1((BC)((AB)(AC))) 看作是由公理1的代入特例X2和公理2的代入特例 X2(X1((BC)((AB)(AC))))经过一次MP规则 而得，且将X1看作是由公理1的代入特例X3和公理1的代 入特例X3X1经过一次MP规则而得，经简单实验知这还 是行不通的； (7),比(6)稍微复杂一点，X1((BC)((AB)(AC))) 看作是由公理1的代入特例X2和公理2的代入特例 X2(X1((BC)((AB)(AC))))经过一次MP规则 而得，且将X1看作是由公理1的代入特例X3和公理2的

21. 第2章初步方案 代入特例X3X1经过一次MP规则而得，这是完全可以的， 只要令X1=(BC)(A(BC))， X2=(BC)((A(BC))((AB)(AC)))， X3=A(BC))((AB)(AC))即可。 将上述步骤整理，得到该定理的形式证明： 1，(A(BC))((AB)(AC)) (Ax2) 2，((A(BC))((AB)(AC)))((BC)((A(B C))((AB)(AC)))) (Ax1) 3，(BC)((A(BC))((AB)(AC))) (1, 2 MP) 4，((BC)((A(BC))((AB)(AC))))(((B

22. 第2章初步方案 C)(A(BC)))((BC)((AB)(AC)))) (Ax2) 5，((BC)(A(BC)))((BC)((AB)(AC))) (3, 4 MP) 6，(BC)(A(BC)) (Ax1) 7，(BC)((AB)(AC)) (5, 6 MP) 证毕 -本章小结 本章采用分析法，通过“执果索因”的方式，获得了一套形式证明的初步方案。但这套方案仅是直观性和描述性的粗糙方法，严格性和精确性的演算流程设计，将在下一章给出。

23. 第3章能行程序的给出 3.1 演绎装置 公理模式：Ax1：A(BA) Ax2：(A(BC))((AB)(AC)) Ax3：(¬A ¬ B)(BA) 推导规则：MP：从A和AB可以推出B 3.2 初始定义 定义1：将已知元A，B，C，R，K，T，H，M称为常元； 将引进的未知元X，Y，Z，U，V称为变元；将既能表达 已知元又能表达未知元的，称为通元；常元、变元和通 元都是元语言变项。

24. 第3章能行程序的给出 定义2：对一个含有变元的公式按照某个公理模式进行设 计的过程称为构造。 定义3：将一个含有变元的目标公式的变元部分进行消除 变元、赋予常元的过程称为落实。 定义4：待进行构造或落实处理的公式称为原始公式。 定义5：构造或落实所依据的公式称为方案。 定义6：设原始公式为α0(α1…(α m-2(α m-1α m)…)， 设某个作为方案的公式为 A0(A1…(An-2(An-1An)…)，若它们能同时满足下 列三项条件：

25. 第3章能行程序的给出 n=m：当Ai = Aj(i, j∈ N且i, j≤ m且i ≠ j)时，有αi= αj (αi, αj中不含变元)或αi, αj中至少有一个是变元； (2) n>m： αm是变元； (3) n<m：Ai ≠ An (i N且i<n)，并且当Ai = Aj(i, j∈ N且i, j<m且i ≠ j)时有αi= αj (αi, αj中不含变元)或αi, αj中至少有 一个是变元； 就称原始公式允许该方案。 定义7：原始公式的结构形式和原始公式所允许的并作为 方案的公式的结构形式合称为二重关系。 定义8：对原始公式中依据二重关系的制约能唯一地确定

26. 第3章能行程序的给出 相应常元的变元部分赋予相应的唯一常元的过程称为制 约落实。 定义9：对原始公式中无法依据二重关系的制约唯一地确 定相应常元的变元部分赋予从原始公式中任取的一个常 元的过程称为自由落实。 定义10：无法进入规定程序的公式称为剩余公式。 3.3 能行程序的给出 下面就以分析法为思维原理，以前面的初步方案为 蓝本，并结合实例操作中的若干经验给出一套定理形式 证明的算法方案，进而证明该算法的完全性。

27. 第3章能行程序的给出 3.3.1 先给出独立工具程序 [G]程序(构造程序)：对某原始公式以其所允许的某个 特定公理为方案实施构造，将其能由二重关系制约落实 的部分制约落实；将其无法由二重关系制约落实的部分 设为变元。 [L1]程序(落实程序1)：若含有变元的某原始公式允许 Ax1，则执行如下子程序[L1.1]：以Ax1为方案对实施 落实，即将其能由二重关系制约落实的变元部分制约落 实；将其无法由二重关系制约落实的变元部分自由落实； [L2]程序(落实程序2)：若含有变元的某原始公式允许

28. 第3章能行程序的给出 Ax2，则执行如下子程序[L2.1]：以Ax2为方案对实施 落实，即将其能由二重关系制约落实的变元部分制约落 实；将其无法由二重关系制约落实的变元部分自由落实； [L3]程序(落实程序3)：若含有变元的某原始公式允许 Ax3，则执行如下子程序[L3.1]：以Ax3为方案对实施 落实，即将其能由二重关系制约落实的变元部分制约落 实；将其无法由二重关系制约落实的变元部分自由落实； Ax2，则执行如下子程序[L2.1]：以Ax2为方案对实施 落实，即将其能由二重关系制约落实的变元部分制约

29. 第3章能行程序的给出 落实；将其无法由二重关系制约落实的变元部分自由落 实； [L3]程序(落实程序3)：若含有变元的某原始公式允许 Ax3，则执行如下子程序[L3.1]：以Ax3为方案对实施 落实，即将其能由二重关系制约落实的变元部分制约落 实；将其无法由二重关系制约落实的变元部分自由落实； [L4]程序(落实程序4)：若某原始公式的后件中含有变 元且允许Ax1，则执行如下子程序[L4.1]：以Ax1为方案 对实施落实，即将其能由二重关系制约落实的变元部分 制约落实；将其无法由二重关系制约落实的变元部分

30. 第3章能行程序的给出 自由落实； [L5]程序(落实程序5)：若某原始公式的后件中含有变元且允许 Ax2，则执行如下子程序[L5.1]：以Ax2为方案对实施落实，即将其 能由二重关系制约落实的变元部分制约落实；将其无法由二重关系 制约落实的变元部分自由落实； [L6]程序(落实程序6)：若某原始公式的后件中含有变元且允许 Ax3，则执行如下子程序[L6.1]：以Ax3为方案对实施落实，即将其 能由二重关系制约落实的变元部分制约落实；将其无法由二重关系 制约落实的变元部分自由落实。 3.3.2 正式程序开始 [F]若待证目标定理形如R1R0，则执行下述程序组(Ⅰ)；若待证

31. 第3章能行程序的给出 目标定理形如(R1R0)，则执行下述程序组(Ⅱ)： 程序组(Ⅰ)： [1]如果R1R0是公理，则执行如下子程序[1.1]：R1R0； [2]如果R0是公理，则执行如下子程序[2.1]： 1，R0 2，R0(R1R0) 3，R1R0； [3]设R0是由变元X1和公式X1R0经使用分离规则而得，则首先执行 如下子程序[3.1]： 1，X1 2，X1R0 3，R0；

32. 第3章能行程序的给出 继而再执行如下子程序[3.2]： 1，R1(X1R0) 2，(R1(X1R0))((R1X1)(R1R0)) 3，(R1X1)(R1R0) 4，R1X1 5，R1R0； [4]显然R1X1允许Ax1，则对R1X1以Ax1为方案执行程 序[G]： X1=X2R1； [4.1]将X1=X2R1代入R1(X1R0)得：

33. 第3章能行程序的给出 R1((X2R1)R0)； [4.2]对R1((X2R1)R0)执行程序[L1]~[L6]； [4.3]若程序[4.2]有效，则将[4.2]的结果返代回程序[4]中， 消去变项X1； [5]对R1X1执行程序[L2]，若R1X1允许Ax2，则记 R1=R2(R3R4)， 从而对R1X1以Ax2为方案执行程序[G]： X1=(R2R3)(R2R4)； [5.1]将X1=(R2R3)(R2R4)代入R1(X1R0)： R1(((R2R3)(R2R4))R0)；

34. 第3章能行程序的给出 [5.2]对R1(((R2R3)(R2R4))R0)执行程序[L1]~[L6]； [5.3]若程序[5.2]有效，则将[5.2]的结果返代回程序[5]中， 消去变项X1； [6]对R1X1执行程序[L3]，若R1X1允许Ax3，则记 R1=¬R2¬R3，从而对R1X1以Ax3为方案执行程序[G]： X1=R3R2； [6.1]将X1=R3R2代入R1(X1R0)得： R1((R3R2)R0)； [6.2]对R1((R3R2)R0)执行程序[L1]~[L6]； [6.3]若程序[6.2]有效，则将[6.2]的结果返代回程序[6]中，

35. 第3章能行程序的给出 消去变项X1； [7]显然X1允许Ax1，则对X1以Ax1为方案执行程序[G]： X1=X2(X3X2)； [7.1]将X1=X2(X3X2)代入R1(X1R0)： R1((X2(X3X2))R0)； [7.2]对R1((X2(X3X2))R0)执行程序[L1]~[L6]； [7.3]若程序[7.2]有效，则将[7.2]的结果返代回程序[7] 中，消去变项X1； [8]显然X1允许Ax2，则对X1以Ax2为方案执行程序[G]：

36. 第3章能行程序的给出 X1=(X2(X3X4))((X2X3)(X2X4))； [8.1]将X1=(X2(X3X4))((X2X3)(X2X4))代入 R1(X1R0)： R1(((X2(X3X4))((X2X3)(X2X4)))R0)； [8.2]对R1(((X2(X3X4))((X2X3)(X2X4)))R0) 执行程[L1]~[L6]； [8.3]若程序[8.2]有效，则将[8.2]的结果返代回程序[8]中， 消去变项X1； [9]显然X1允许Ax3，则对X1以Ax3为方案执行程序[G]：

37. 第3章能行程序的给出 X1=(¬X2¬X3)(X3X2)； [9.1]将X1=(¬X2¬X3)(X3X2)代入R1(X1R0)： R1(((¬X2¬X3)(X3X2))R0)； [9.2]对R1(((¬X2¬X3)(X3X2))R0)执行程[L1]~[L6]； [9.3]若程序[9.2]有效，则将[9.2]的结果返代回程序 [9]中，消去变项X1； [10]若R0=R1，即R1(X1R0)=R1(X1R1)，则 R1(X1R1)是Ax1的代入特例，于是直接写入： R1(X1R1)； [10.1]对R1X1执行程序[L1]：显然R1X1允许Ax1，

38. 第3章能行程序的给出 则对R1X1执行子程序[L1.1]：R1(R1R1)， X1=R1R1； [10.2]将X1=R1R1返代入R1(X1R1)： R1((R1R1)R1)； [11]对R1(X1R0)执行程序[L2]，若R1(X1R0)允许 Ax2，则记R1=R2 (R3R4)且R0=R2R4，从而对R1(X1R0)以Ax2为方案 执行程序[G]： X1=R2R3； [11.1]将X1=R2R3代入R1X1：R1(R2R3)；

39. 第3章能行程序的给出 [11.2]对R1(R2R3)执行程序[L1]~[L6]； [11.3]若程序[11.2]有效，则将[11.2]的结果返代回程序[11]中，消去变项X1； [12]对R1(X1R0)执行程序[L3]，若R1(X1R0)允许Ax3，则记 R1= ¬R2¬R3且R0=R2，从而对R1(X1R0)以Ax3为方案执行程序 [G]：X1=R3； [12.1]将X1=R3代入R1X1：R1R3； [12.2]对R1R3执行程序[L1]~[L6]； [12.3]若程序[12.2]有效，则将[12.2]的结果返代回程序[12]中，消去 变项X1； [13]对R1(X1R0)执行程序[L4]，若X1R0允许Ax1，则记 R0=R2R3，从而对X1R0以Ax1为方案执行程序[G]：X1=R3；

40. 第3章能行程序的给出 [13.1]将X1=R3代入R1X1：R1R3； [13.2]对R1R3执行程序[L1]~[L6]； [13.3]若程序[13.2]有效，则将[13.2]的结果返代回程序 [13]中，消去变项X1； [14]对R1(X1R0)执行程序[L5]，若X1R0允许Ax2， 则记R0=(R2R3)(R2R4)，从而对X1R0以Ax2为方案 执行程序[G]：X1=R2(R3R4)； [14.1]将X1=R2(R3R4)代入R1X1： R1(R2(R3R4))； [14.2]对R1(R2(R3R4))执行程序[L1]~[L6]；

41. 第3章能行程序的给出 [14.3]若程序[14.2]有效，则将[14.2]的结果返代回程序 [14]中，消去变项X1； [15]对R1(X1R0)执行程序[L6]，若X1R0允许Ax3， 则记R0=R2R3，从而对X1R0以Ax3为方案执行程序[G]： X1= ¬R3¬R2； [15.1]将X1= ¬R3¬R2代入R1X1：R1(¬R3¬R2)； [15.2]对R1(¬R3¬R2)执行程序[L1]~[L6]； [15.3]若程序[15.2]有效，则将[15.2]的结果返代回程序 [15]中，消去变项X1； [N]对程序[4.2]，[5.2]，[6.2]，[7.2]，[8.2]，[9.2]，[11.2]，

42. 第3章能行程序的给出 [12.2]，[13.2]，[14.2]和[15.2]中尚未进入程序[L1]~[L6] 的剩余公式同时分别循环执行程序[3]~[N]，直至有一条 不再产生新的剩余公式的程序出现； [N+1]将程序[N]的结果返代回前步各相关变项中，消去 所有变项，终止程序。 程序组(Ⅱ)： [1]执行如下子程序[1.1]： 1，¬¬(R1R0)¬ (R1R1) 2，(¬¬(R1R0)¬ (R1R1))((R1R1)¬ (R1R0)) 3，(R1R1)¬ (R1R0)

43. 第3章能行程序的给出 4，R1R1 5，¬(R1R0)； [2]对¬¬(R1R0)¬(R1R1)和R1R1分别运行程序组 (Ⅰ)，直至有一条不产生剩余公式的程序出现，消去所有 变项，终止程序。 3.3.3 程序3.3.2的设计思想阐述 为便于讲解，将公理Ax2中的A(BC)记为前支，AB 记为后支，将AC记为尾支。 能行程序中的程序组(Ⅰ)的设计思路如下：以目标定理 R1R0作为尾支套用Ax2，套用时要保证使前支和后支

44. 第3章能行程序的给出 至少有一个进入程序[1]~[2]；若其前支和后支中有一个 未能进入程序[1]~[2]则再次套用Ax2，亦要求使前支和 后支至少有一个进入程序[1]~[2]；…如此重复该操作， 直至当某次套用Ax2时出现前支和后支全部进入程序 [1]~[2]的情形，就证得了目标定理R1R0，终止程序。 能行程序中的程序组(Ⅱ)的设计思路如下：以目标定 理¬ (R1R0)作为公理Ax3中的公式A，以定理R1R1作 为公理Ax3中的公式B，套用Ax3；再转而对剩余公式 ¬ ¬(R1R0) ¬(R1R1)和R1R1分别运行程序组(Ⅰ)， 直至有一条不产生剩余公式的程序出现，就证得目标

45. 第3章能行程序的给出 定理¬(R1R0)，终止程序。 3.4 对程序3.3.2的补充说明 3.4.1 程序3.3.2的程序组(Ⅰ)的核心思路 依据3.3.3的解说知程序3.3.2中的程序组(Ⅰ)的核心思路为 如下两条： (1)待证目标R1R0本身是公理，则直接写下R1R0； (2)待证目标R1R0的后件R0是公理，借助Ax1并依据MP 规则得到： 1，R0 (公理) 2，R0(R1R0) (Ax1)

46. 第3章能行程序的给出 3，R1R0 (1, 2 MP) 3.4.2 T方案 1，A(BC) (公理) 2，(A(BC))((AB)(AC)) (Ax2) 3，(AB)(AC) (1, 2 MP) 3.4.3 定理T ┝(AB)(AC) (已知A(BC)是某个公理的代入特例) 证： 1,(((AB)(AB))((AB)(AC)))((((AB)(A

47. 第3章能行程序的给出 B))(AB))(((AB)(AB))(AC))) (Ax2) 2， ((((AB)(AB))((AB)(AC)))((((AB) (AB))(AB))(((AB)(AB))(AC)))) ((AB)((((AB)(AB))((AB)(AC))) ((((AB)(AB))(AB))(((AB)(AB)) (AC)))))(Ax1) 3， (AB)((((AB)(AB))((AB)(AC))) ((((AB)(AB))(AB))(((AB)(AB)) (AC)))) (1, 2 MP) 4， ((AB)((((AB)(AB))((AB)(AC)))

48. 第3章能行程序的给出 ((((AB)(AB))(AB))(((AB)(AB)) (AC)))))(((AB)(((AB)(AB))((AB) (AC))))((AB)((((AB)(AB))(AB)) (((AB)(AB))(AC))))) (Ax2) 5， ((AB)(((AB)(AB))((AB)(AC)))) ((AB)((((AB)(AB))(AB))(((AB) (AB)) (AC)))) (3, 4 MP) 6， ((AB)(AC))(((AB)(AB))((AB) (AC))) (Ax1) 7， (((AB)(AC))(((AB)(AB))((AB)

49. 第3章能行程序的给出 (AC))))((AB)(((AB)(AC))(((AB) (AB))((AB)(AC))))) (Ax1) 8， (AB)(((AB)(AC))(((AB)(AB)) ((AB)(AC))))(6, 7 MP) 9， ((AB)(((AB)(AC))(((AB)(AB)) ((AB)(AC)))))(((AB)((AB)(AC))) ((AB)(((AB)(AB))((AB)(AC))))) (Ax2) 10， ((AB)((AB)(AC)))((AB)(((AB) (AB))((AB)(AC)))) (8, 9 MP) 11，(A(BC))((AB)(AC)) (Ax2)

50. 第3章能行程序的给出 12， ((A(BC))((AB)(AC)))((AB)((A (BC))((AB)(AC)))) (Ax1) 13，(AB)((A(BC))((AB)(AC))) (11, 12 MP) 14， ((AB)((A(BC))((AB)(AC)))) (((AB)(A(BC))) ((A B)((AB)(AC)))) (Ax2) 15， ((AB)(A(BC)))((AB)((AB) (AC))) (13, 14 MP) 16，A(BC) (公理)