第二节数集确界原理

第二节数集确界原理 一、区间与邻域 (a,b), [a,b], (a,b], [a,b)

邻域:

右邻域： 左邻域：

二、有界集、确界原理 定义1设S是实数集R中的一个数集，若存在数M，使得对一切的x∈S, 都有则称S为有上界的数集，称M为S的一个上界。

定义2设S是实数集R中的一个数集，若存在数L，使得对一切的x∈S, 都有 xL,则称S为有下界的数集，称L为S的一个下界。若S为既有上界、又有下界的数集，则称S为有界集。若S没有上界或没有下界，则称S为无界集。

若对于任意的数M，都存在一个∈S,使得 >M, 则称S是一个无上界的数集。若S有上（下）界，则一定有无限多个上（下）界。请同学写出“S是无下界的数集”的定义。

= = Î 如： S { x | x n ! , n N } + 1 有下界（可取1），无上界。下界可取1/2，上界可取1。下界可取-1，上界可取1。

定义3设S是实数集R中的一个数集，若数 满足：（1）有，即是S的一个上界，（2）使，即是S的最小上界，则称是S的上确界，记作supS. 有限区间都是有界集，无限区间都是无界集。由有限个数组成的数集是有界集。

定义3设S是实数集R中的一个数集，若数 满足：（1）有，即是S的一个下界，（2）使，即是S的最大下界，则称是S的下确界,记作infS.

> h - e < h + e x ( ) x 上确界或（下确界） 0 0 注2确界若存在，则必是唯一的，且 infS supS (仅当S是单点集时，等号成立）。注 1（2）也可写成：使注4数集S的确界可能属于S,也可能不属于S,何时属于S,见例3。注3确界不是最大、最小值。

例1： 证：若 a>1,

例2： 证：分两种情况讨论。

例3： 证：仅证下确界的情况。必要性：充分性：

定理（确界原理） 设S是实数集R中的非空数集，若S 有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。确界原理说明了实数集是完备的（连续的），这一性质是实数集和有理数集的本质区别。

则存在0，1，2, … , 9中的一个数，使 证：仅证上确界的结论。不妨设S有非负数。由于S有上界，故可找到非负整数n,使得：（1）对于任何x∈S,有x<n+1；对[n,n+1)作10等分，分点为n.1,n.2,…,n.9,

则存在0，1，2, … , 9中的一个数，使 继续下去，则对任意的k=1,2,3,…,存在0,1,2,3,…,9中的一个数，使

现在证明 = supS. 为此要证：

x k x , 则可以找到的位不足近似使 k 从而矛盾！于是（Ⅰ）得证。

从而于是（Ⅱ）得证。

求A={x|x>0, <2, x 是有理数}的上下确界，并证明上确界不属于有理数集. 例4：证：先证 infA=0. 0 a （2）若a>0, 分两种情况考虑。故infA=0.

再证 supA= . （2）若b< , 分两种情况考虑。 b 显然上确界不是有理数。

确界的运算性质： • A,B为非空数集，若x∈A,y ∈B.有x y.则 supA infB. • A,B为非空数集，S=A∪B, 则 supS=max{supA,supB}, infS=min{infA,infB}. • ={x|-x ∈S}.则 sup =-infS, inf =-supS. • A,B为非空数集，A+B={z|z=x+y,x∈A,y ∈B},则 sup(A+B)=supA+supB, inf(A+B)=infA+infB.

证3： 综合（1）（2）命题得证。

若数集S无上界，则定义+ ∞为S的非正常上确界，记着supS=+∞. 若数集S无下界，则定义－∞为S的非正常下确界，记着inf S=－∞. 推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）。如：A 表示全体正整数的集合，则 infA=1, supA=＋∞.

作业 p9. 2, 4 (1) (3).

第二节 数集 确界原理