材力 8-1

1. 18 材力8-1 内容 Chap.8 应力状态理论和强度理论 8.1 概念 8.2 平面应力状态分析 要求 掌握概念、平面应力状态斜截面应 力、主平面、主应力、最大切应力 练习 理论分析 作业 8 – 1， 3，6 ( f )， 9，12

2. 第八章 应力状态分析 强度理论 §8.1 概述 一、几个问题 1. 以前研究过简单变形（拉压、扭转、平面弯曲） 横截面上的应力， 斜截面上是否也有应力？

3. F F F F pα = σcos α pα F 几个问题 拉压杆斜截面上的应力

4. 几个问题 铸铁拉 2. 斜截面的应力是否需要研究？

5. 几个问题 低碳钢拉

6. 几个问题 铸铁扭

7. 几个问题 低碳钢扭

8. 铸铁扭 低碳钢扭 几个问题 2. 斜截面的应力是否需要研究？ 当然要研究！

9. 几个问题 重 要 结 论 不仅横截面上存在应力，斜截面上 也存在应力；不仅要研究横截面上的 应力，而且也要研究斜截面上的应力。

10. 几个问题 3. 用什么方法研究斜截面上的应力？ 是否还要用研究横截面上应力的方法？ 4. 任一斜截面上的应力有什么规律? 5. 强度条件 σmax ≤ [ σ ] 适用于单向拉伸，危险 点在 横截面上只有正应力，没有切应力； 强度条件 τmax ≤ [ τ ]适用于纯剪切，危险点 在横截面上只有切应力，没有正应力。 如果危险点一个面上既存在正应力，又存在切应 力，上述强度条件还适用么?

11. 二、应力的三个重要概念 应力的点的概念; 应力的面的概念; 应力状态的概念。

12. FQ M 不同点的应力各不相同（大小、方向） ------------应力的点的概念

13. F K 同一点在不同方向面上的应力也各 不相同----------应力的面的概念。

14. 哪一个面上？哪一点？ 哪一点？哪个方向面？ 应 力 指明 过一点不同方向面上应力的集合，称为这一点的应力状态 State of the Stresses of a Given Point

15. dz dy dx 三、一点应力状态的描述 • 微 元体Element （又称应力单元体） 特点： （1）一般为直六面体； （2）各边长为无穷小；dx,dy,dz→0 （3）各面应力均匀分布； （4）平行两面对应应力数值相等。

16. τ σ σ τ τ τ 用应力单元体表示一点应力状态

17. y x z 用应力单元体表示一点应力状态

18. 1 2 3 1 2 3 2. 微元体的取法： 原则： 各面应力已知或可求。

19. F A B C b max max b max b b c a c z b a y 梁内a点满足条件σmax ≤ [σ]， c点满足条件τmax ≤ [τ] , b点同时满足条件 σb≤ [σ] , τb ≤ [τ] , 是否一定满足强度要求？

20. l F a 怎样取微元体？如何建立强度条件？ S S截面内力： 剪力 FQ = F 弯矩 M = Fl 扭矩 T = Fa

21. 1 1 FQy Mz z T 2 x 2 3 3 y 横截面 S

22. 四、主平面 主应力 1.主平面——切应力等于零的平面。 一点处一般有三个主平面，互相垂直。 2.主应力——主平面上的正应力。 一点处一般有三个主应力，按代数值大 小排列分别记为σ1, σ2, σ3, 且 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

23. 简化表示 微元体 五、应力状态的分类 One Dimensional State of Stresses 1.单向应力状态——只有一个主应力不为零。

24. σ2 σ2 σ1 σ1 τ σ 单向应力状态 One Dimensional State of Stresses 纯剪应力状态Shearing State of Stresses 2. 二向（平面）应力状态——有两个主应力 不为零。 PlaneStateofStresses 特例 简化

25. σ3 σ2 σ1 3.三向（空间）应力状态——三个主应力都不为零。Three-DimensionalStateofStresses

26. σ 特例 特例 σ3 σ2 σ2 τ σ1 σ1 三向应力状态 平面应力状态 单向应力状态 纯剪应力状态

27. y σy τyx σx τxy x §8.2 平面应力状态分析 一、平面应力状态的一般情形

28. y n α x x z 二、任意斜截面上的应力 新方法——只要知道微元体六个面上的应力， 任意斜截面上的应力便可通过局部平衡求出。

29. n α x 1. 任意斜截面的表示方法 α面——自x 轴正向逆时针转到α面外法线 n 时 α角定义为正。 2. 应力的正负号规定 正应力------ 拉为正 压为负

30. n α x 应力的正负号规定 切应力------对研究对象内任一点呈顺时针力矩者 为正，逆时针为负

31. n α α x t 3.任意斜截面上的应力 平衡对象—— 微元体局部 参加平衡的量——力 (应力乘以其作用的面积) 平衡方程

32. n α α x t

33. n α α x t

34. 整理后得到 有界、周期函数 一点应力状态： 1. 取微元体 2.任一斜截面应力

35. 三、应 力 圆Mohr’s Circle for Stresses

36. s + s x y 2 æ ö s = t - 2 ç + ç α è ø 2 1、应力圆方程

37. 应 力 圆 圆心（ ，0） R C 半径 O s + s x y 2 æ ö s = t - 2 ç + ç α è ø 2 一点应力状态的 另一种表示方法

38. R C O 应力圆 ------ 一点应力状态的另一种表示方法 第一步 求出两个互相 垂直截面上的应力 第二步 做应力圆 方法 1.直接法 2.利用对应关系

39. 对应 2、应力圆与微元体的对应关系 微元体 应力圆 A. 点面对应 一点的坐标值 一面上的应力 相同 B. 转向对应 斜面法线转向 半径转向 斜面转角α 半径转角 2α C. 二倍角对应

40. a(σα,τα) D1( σx ,τxy) A C D2( σy ,τyx ) 对应 点 面 对 应 一点的坐标值 一面上的应力

41. a(σα,τα) n D1( σx ,τxy) 2α A α C D2( σy ,τyx ) 转向对应、二倍角对应

42. C O 利用对应关系作应力圆 第一步 求出两个互相 垂直截面上的应力 x ,xy和y ,yx D1(x ,xy) 第二步 作应力圆 D2(y ,yx)

43. D1( σx , τxy ) C O 四、主平面 主应力 主平面方向 R 主应力

44. ( 按 的代数值从大到小 ) 主应力表达式 （大主应力） （小主应力） (主平面定义) 主方向 主应力排序 s1  s2s3

45. 主应力和主平面的意义 有界、周期函数，求α的极值 主平面是正应力为极值的平面， 主应力就是正应力的极值。

46. 主平面 有两个互相垂直的主平面：α0 ，α0+90° 主应力 面内最大切应力 应力第一不变量 σα+σα+90°= σ′+ σ ″ = σx+σ y= 常数

47. 单向拉伸 tα e B 45° 90° s s E sα A b a s 1＝σ s 2＝σ3 = 0 （与σmax 成45°角）

48. 纯剪切 tα s3＝-t 90° 90° 45° s1＝t s3＝-t t sα 45° s1＝t 主应力 单元体 s1＝t s2＝0 s3＝-t （与σ1 和σ3成45°角）

49. tα tmax s′ s″ o sα C 面内最大切应力Maximum Shearing Stress in Plane τmax ------- 面内最大切应力。与主平面夹角45°.

50. 20 30° 40 y 10 30° n x 例题 已知：微元体如图，图中应力 单位为MPa. 求：1.指定斜截面应力； 2.主平面； 3. 主应力； 4. 面内最大切应力； 5. 画出主应力单元体。 解: （ 1 ）建立坐标系 σx =－20 MPa σy= 40 MPa τxy= 10 MPa α = 30°