13.3 角平分线的性质

1. 13.3角平分线的性质 封丘第一初级中学 王立霞

3. Ｍ Ｃ Ｏ Ｎ 尺规作角的平分线 观察领悟作法，探索思考证明方法： A 画法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于． 　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ． Ｂ ３．作射线ＯＣ． 射线ＯＣ即为所求．

4. A E O D B 分析： 沿过O点的一条直线折叠,使∠AOB 的边OB与OA重合,则折痕OC是角∠AOB 的平分线,过OC上一点P分别向OA、OB作垂线，垂足为D 、E则∠3= ∠4，从而在沿OC的折叠下，射线PE与射线PD重合，于是点E与点D重合，所以PD=PE 1 3 C 2 4 P 结论：角平分线上的一点到角的两边距离相等

5. Ｍ Ｃ Ｏ Ｎ 想一想： 为什么OC是角平分线呢？ 已知：OM=ON，MC=NC。 求证：OC平分∠AOB。 A 证明：在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB O Ｂ

6. 做一做 1、在准备好的三角形的每个定点上标好字母；A,B,C。把角A对折，使得这个角的两边重合。 2、在折痕（即平分线）上任意找一点p。作pC垂直与OA的交点为C，即垂足。 3、过点p作OB边的垂线，与OB的交点是D，即垂足。 问点C与点D重合吗？由此你可得到什么结论？

7. 思考： A E 如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为 什么? C O P D B ， PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等直

8. 画一画，想一想 1、作ΔABC的∠A与∠B的平分线AE、BF它们的交点为O过点O分别作边AB、AC、BC垂线，垂足分别 为D、E、F 问OD、OE、OF三条线段有什么关系？ ， ∵O在∠A与∠B的平分线AE、BF OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC ∴OD=OF，OD=OE ∴OF=OE=OD A D F O C B E

9. 知识应用 1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ 2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PO⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm. C A A E P D B D E B C O ，

10. 知识拓展 D 已知△ABC的∠C与∠A的外角平分线CP、AP相交于点P，PF，PE分别垂直BA，BC的延长线交点分别 为E、F，说明点PE,PD,PF的关系? E A 如果过P点作PD垂直AC垂足是D,则EB与PB+PD的大小关系是什么? P B C F 想一想:BE与PB+PD的大小关系?

11. 思考： 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） Ｏ 公路 铁路 Ｓ

12. A E C B D 随堂练习1 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。 （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD

13. A B C F D E 随堂练习2 已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。 求证：点F在∠DAE的平分线上。

14. N C G F P A M B E 耐心地想一想 探究 如图，EG，FG分别∠MEF的∠NFE的平分线，交点是G。PB，PC分别是∠MBC和∠NCB的平分线，交点是P，F，C在AN上，B，E在AM上，如果∠G=68°，求∠P的度数。

15. 再见