زمان پیوسته و زمان گسسته LTI فصل دوم:سیستم های

1. زمان پیوسته و زمان گسستهLTIفصل دوم:سیستم های استاد : دکتر قسوری کاری از : وحید عطائی فر

2. 2-1- خواص سیستم های LTI با توجه به رابطه کانولوشن 2-1-1-جابه جایی پذیری

3. 2-1-2- توزیع پذیری

4. 2-3-1-شرکت پذیری 2-2- رابطه بین پاسخ ضربه h(t) و پاسخ پله

5. مثال 1 ) پاسخ پله سیستم های LTI زیر را به دست آورید.

6. 2-3- خواص سیستم های LTI با توجه به تابع تبدیل 2-3-1- حافظه

7. شرط بدون حافظه بدون سیستم : اثبات (سیستم زمان گسسته): این سیستم به شرطی بدون حافظه است که خروجی در هر لحظه به ورودی در همان لحظه وابسته باشد که برای این منظور بایستی : 2-3-2- معکوس پذیری

8. 2-3-3- علیت شرط زیر را برای در سیستم علّی خروجی به آینده ورودی بستگی ندارد. با توجه به رابطه تابع تبدیل (پاسخ ضربه) بیانگر سیستم علّی خواهد بود. بیانگر سیستم علّی است. تذکر: تابع تبدیل

9. 2-3-4- پایداری ((BIBO

10. مثال 2) با استفاده از تابع تبدیل خواص سیستم های LTI را بررسی کنید. الف ) علّی بودن ب ) سیستم معکوس

11. ج ) پایداری مثال 3 ) تمرین 1) مطلوب است ترسیم y(t)=?

12. تمرین 2 ) مطلوب است پاسخ ضربه سیستم ذیل h(t)=? را برای پاسخ سیستم LTI داده شده بدست آورید. و خروجی مثال 3) رابطه بین ورودی دلخواه

13. مثال 4 ) اگر داده شده است. را به دست آورید، تابع تبدیل کل سیستم الف) مقدار

14. مقدار دارد n=0 است.پس در نمودارهای بالا به ازایn=0 داریم: اولین جایی که مطلوب است مقدار خروجی برابر باشد با ب ) اگر داده شده است. این قسمت کاملا مستقل از قسمت قبل است،چون

15. 2-4- کانولوشن (زمان پیوسته) 2-4-1- روش ترسیمی توصیه می شود اگر f(t) به لحاظ ریاضی ساده تر است از فرمول 2 واگر g(t) ساده تراست از فرمول 1 استفاده می کنیم. در این مثال از فرمول 2 استفاده می کنیم. را می سازیم. را ساخت چون نمی دانیم که t مثبت است یا منفی است پس به صورت اول باید برای ساخت را می سازیم از این مرحله به بعد باید در هر مرحله قراردادی t واحد به سمت چپ شیفت می دهیم.سپس معادله خط کنار نمودار را نوشته شود. را از سمت ∞- را به سمت ∞+ شیفت می دهیم.بدیهی است در جایی که دو را ثابت نگه داشته و حال تابع همپوشانی نداشته باشند، حاصل ضرب صفر است.سپس به نقطه ای می رسد که max همپوشانی را دارد و بعد

16. دوباره به جایی می رسد که هیچ همپوشانی نداشته باشند :

17. 2-4-2- استفاده از فرمول اگر با استفاده از فرمول بخواهیم کانولوشن دو سیگنال را به دست بیاوریم. باید معادله دو سیگنال بر حسب توابع ریاضی داده شده باشند یا اینکه بتوان آنها را برحسب توابع ویژه فرموله نمود. برای مثال قبل g(t)،f(t) را باید به فرم زیر نوشت و سپس در معادله کانولوشن جایگذاری کرد:

19. تذکر : وقتی دو تابع پالسی با هم کانوالو می شوند حاصل یک تابع ذوزنقه می شود و اگر این دو تابع پالسی هم عرض باشد شکل حاصل یک تابع مثلثی خواهد بود.

20. تمرین : سیستم LTI با پاسخ ضربه h(t) داده شده ، پاسخ سیستم به ورودی x(t) را به دست آورید و مقدار خروجی را در لحظات ، ، ، را محاسبه کنید. 2-5- کانولوشن زمان گسسته 2-5-1- روش ترسیمی پس از تصمیم گیری راجع به اینکه از رابطه 1 یا رابطه 2 خروجی را حساب کنیم ،مراحل انجام عملیات عیناً شبیه زمان پیوسته است. روش ترسیمی را برای تعیین خروجی سیستم زمان گسسته مطرح می کنیم:

22. 2-5-2- استفاده از فرمول ابتدا باید توابع را بر حسب توابع ویژه و یا توابع ریاضی بیان کرد. اگر ورودی و یا پاسخ ضربه بر حسب تابع ضربه بیان شده باشند، به دلیل خاصیت تابع ضربه محاسبه کانولوشن بسیار راحت خواهد بود.

23. بدیهی است پاسخ محاسبه شده در هر دو حالت یکسان خواهد بود:

25. 2-6- سیستم های LTI توصیف شده با معادلات دیفرانسیل (زمان پیوسته) به طور کلی معادله دیفرانسیل یک سیستم به فرم روبه رو نوشته می شود: برای حل معادله دیفرانسیل باید : 1)معادله همگن حل شود 2)جواب خصوصی به ازای ورودی خاص تعیین گردد. 3)جواب کلی سیستم عبارت است از: پاسخ عمومی + پاسخ خصوصی و با توجه به این که پاسخ عومی دارای تعدادی ضرایب ثابت است این ضرایب از روی شرایط سکون یا شرایط اولیه به دست می آیند. تذکر : برای به کار گیری شرایط سکون جهت تعیین پاسخ سیستم LTI به ورودی داده شده،عنوان علّی بودن سیستم ضروری است. در غیر این صورت بایستی شرایط اولیه داده شده باشد

27. مثال 9) معادله دیفرانسیل سیستم LTI و علّی داده شده است. مطلوبست پاسخ سیستم به ازای ورودی داده شده :

28. 2-7- پاسخ به ورودی ضربه : 2-7-1- استفاده از رابطه بین پاسخ ضربه و پاسخ پله در سیستم های LTI: با یک مثال این رابطه را بررسی می کنیم: مثال 10) سیستم LTI و علّی است.

30. 2-7-2- محاسبه پاسخ ضربه سیستم به طور مستقیم جهت محاسبه پاسخ ضربه سیستم LTI پاسخ معادله همگن را به دست آورده و آن را به عنوان پاسخ کامل سیستم در نظر می گیریم. پاسخ کامل باید در معادله دیفرانسیل صدق کند که بدین ترتیب ضرایب ثابت محاسبه و پاسخ کامل که همان پاسخ ضربه استLTI است تعیین خواهد شد. حال مثال 10 را به این روش مجددا حل می کنیم:

31. 2-8-سیستم های LTI توصیف شده با معادلات تفاضلی (زمان گسسته) هدف از تحلیل معادله تفاضلی : 1)رابطه مستقیمی بین ورودی و خروجی به دست می آوریم. 2)خروجی را به ازای ورودی مشخص می کنیم. 2-8-1- روش حل معادله تفاضلی الف ) روش مستقیم : با فرض آن که معادله تفاضلی مرتبه دوم است N=2 برای به دست آوردن جواب عمومی مراحل زیر را انجام می دهیم:

32. مثال 1)مطلوب است خروجی اگر و باشد. پاسخ عمومی :

33. پاسخ خصوصی : پاسخ کامل : ب) روش بازگشتی با یک مثال این روش را بررسی می کنیم : مثال 2) سیستم LTI و علّی توصیف شده با معادله تفاضلی زیر در نظر بگیرید:

34. مطلوب است: الف) پاسخ ضربه ب) پاسخ ضربه معکوس ج) به ازای ورودی داده شده خروجی را به دست آورید. روش بازگشتی :

35. ب) برای به دست آوردن باید فرمول زیر برقرار باشد : سوال : اگر سیستمی LTI و علّی باشد، آیا معکوس سیستم نیزLTI و علّی خواهد بود؟ روش بازگشتی:

36. ج) پاسخ ضربه سیستم در قسمت الف به دست آورده شد،با توجه به خاصیتTI (نامتغیر با زمان) بودن سیستم داریم: مثال 3 ) سیستم LTI با معادله تفاضلی توصیف شده است. با فرض سکون اولیه (علّی) پاسخ ضربه را به دست آورید. تذکر:اگر ورودی ضربه واحد بود پیشنهاد می شود از روش بازگشتی معادله را حل کنید. روش اول : به کارگیری روابط بازگشتی و تعین پاسخ به ازاء ورودی خاص با توجه به شرط سکون اولیه

37. روش دوم :به دست آوردن خروجی بر حسب ورودی به طور کلی با استفاده از روابط بازگشتی برای به دست آوردن رابطه صریح خروجی بر حسب ورودی ((FIR به طریق ذیل عمل می کنیم:

39. روش سوم : استفاده از رابطه بین پاسخ ضربه و پاسخ پله در سیستم های LTI پاسخ پله : پاسخ همگن : پاسخ خصوصی : پاسخ کامل :

40. محاسبه پاسخ ضربه با استفاده از پاسخ پله : 2-9- نمایش سیستم LTI با استفاده از بلوک دیاگرام (مشتق گیر و انتگرال گیر) زمان پیوسته

41. زمان گسسته هم ارز با مشتق در پیوسته : هم ارز با انتگرال در پیوسته:

42. مثال 4 ) الف) نمایش سیستم با استفاده از بلوک های مشتق گیر

43. ب) نمایش سیستم با استفاده از بلوک های انتگرال گیر

44. مثال 5 ) تمرین) رسم بلوک دیاگرام؟ سیستم زمان پیوسته سیستم زمان گسسته

45. 2-10- خلاصه با توجه به رابطه کانولوشن می توان خواص جابه جایی پذیری، توزیع پذیری و شرکت پذیری را برای سیستم های LTI تعریف کرد. با معرفی تابع تبدیل می توان خواص جدیدی برای سیستم های LTI بیان کرد. کانولوشن به دو روش ترسیمی و فرمول قابل محاسبه است. در معادلات دیفرانسیل، با حل معادله همگن و یافتن جواب خصوصی به ازای ورودی خاص ،جواب کلی سیستم از جمع پاسخ عمومی و پاسخ خصوصی به دست می آید. برای به کارگیری شرایط سکون جهت تعیین پاسخ سیستم LTI به ورودی داده شده،عنوان علّی بودن سیستم ضروری است. با استفاده از رابطه بین پاسخ ضربه و پاسخ پله در سیستم هایLTI ویا محاسبه پاسخ ضربه سیستم به طور مستقیم می توان پاسخ به ورودی ضربه را یافت. سیستم LTI را با استفاده از بلوک دیاگرام نیز می توان نشان داد.