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用微分方程建立数学模型

用微分方程建立数学模型. 授课对象：大二学生 课时：２学时 目的：用微分方程建立数学模型 讲授教师：杜玉琴. 一、案例 1 [ 人口问题 ]. 数为 x ( t ) ，则人口增长速度 与人口总量 x ( t ). 英国学者马尔萨斯 (Malthus ， 1766-1834) 认为. 人口的相对增长率为常数，即如果设 t 时刻的人口. 成正比，从而建立了 Malthus 人口模型。. 二、概念及公式的引出. (1). (2). 形如：.

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Presentation Transcript

  1. 用微分方程建立数学模型 • 授课对象：大二学生 • 课时：２学时 • 目的：用微分方程建立数学模型 • 讲授教师：杜玉琴

  2. 一、案例 1 [人口问题] 数为x(t)，则人口增长速度 与人口总量x(t) 英国学者马尔萨斯(Malthus，1766-1834)认为 人口的相对增长率为常数，即如果设t时刻的人口 成正比，从而建立了Malthus人口模型。

  3. 二、概念及公式的引出 (1) (2) 形如： 的方程称为可分离变量的微分方程，其特点是方程的右端是只含x的函数f(x)与只含y的函数g(y)的乘积． 可分离变量的微分方程通过分离变量为

  4. 的通解为： 的形式，即微分方程的一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dx,将上式两端积分，得 设G(y),F(x)分别为g(y),f(x)原函数，则得微分方程 G(y)=F(x)+C 。

  5. 练习１ [国民生产总值] 1999年我国的国民生产总值（GDP）为80 423亿元，如果我国能保持每年8%的相对增长率，问到2010年我国的GDP是多少？

  6. 解(1)建立微分方程 记t=0代表1999年，并设第t年我国的GDP为P(t)．由题意知，从1999年起，P(t)的相对增长率为8%，即 得微分方程

  7. （2）求通解 分离变量得 方程两边同时积分，得

  8. （3）求特解 将p(0)=80423代入通解，得C=80423，所以从1999年起第t年我国的GDP为 将t=2010-1999=11代入上式，得2010年我国的GDP的预测值为

  9. 练习2 [环境污染问题] 某水塘原有50000t清水(不含有害杂质)，从时间t=0开始，含有有害杂质5%的浊水流入该水塘．流入的速度为2t/min，在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以2t/min的速度流出水塘．问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到4%?

  10. 有害物质的浓度为 ，于是有 单位时间内有害物质的变化量 解 （1）建立微分方程 设在时刻t塘中有害物质的含量为Q(t)，此时塘中 =(单位时间内流进塘内有害物质的量) -(单位时间内流出塘的有害物质的量)

  11. 即 　　　　 , （1） 初始条件为Q(0)=0. （2）求通解 式（1）是可分离变量方程，分离变量得

  12. 积分，得 即

  13. 由此解得 (min) ，塘中有害物质的最终浓度为 由于 （3）求特解 由初始条件t=0,Q=0得C=-2500，故 当塘中有害物质浓度达到4%时，应有 即经过670.6min后，塘中有害物质浓度达到4%，

  14. 练习3 [刑事侦察中死亡时间的鉴定] 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃按照牛顿冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度H随时间t的变化规律．又如果尸体发现时的温度是30℃，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？

  15. 注 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与 物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却 定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定．

  16. 解（1）建立微分方程 设尸体的温度为H(t)(t从谋杀后计)，根据题意，尸体 的冷却速度 与尸体温度H和空气温度20之差成 正比．即 其中k>0是常数，初始条件为H(0)=37．

  17. （2）求通解 研究 分离变量得 积分得

  18. （3）求特解 把初值条件H(0)=37代入通解，求得C=17．于是该初值问题的解为 为求出k值，根据两小时后尸体温度为35℃这一条件，有

  19. 求得 ，于是温度函数为 (1) 将H=30代入式 (1) 有 ，即得 (h)。于是， 可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4h，即 8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的．

  20. 四、实训 1.[年人均收入] 据统计，2002年北京的年人均收入为12464元．中国政府提出到2020年，中国的新小康目标为年人均收入为3000 $．若按1 $ =8.2元(人民币)计，北京每年应保持多高的年相对增长率才能实现新小康．

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