橡皮膜上的几何学 —— 拓扑学

7. 橡皮膜上的几何学——拓扑学 天津师范大学初等教育学院 李林波

8. 吹 气 球 • 如果球面上有一些花纹包括有圆形花纹等，把它吹胀了，只要不破，虽然花纹的形状有变化，如圆可能变成椭圆，其花纹的长度、面积、共线性等都会改变，但气球和吹胀的气球面上的花纹之间仍有一一对应关系并且邻近的点仍变成邻近的点，这样的变换便是拓扑变换或同胚。 • 如果在圆的内部画一点，不管你怎么拉或吹胀这一气球，点总是在圆的内部，这便是拓扑学的一种简单的不变性质。

9. 以上现象显示出几何图形的一类新的几何性质。这类性质与几何图形的大小、形状以及所含线段的曲直等等都无关，他们不能用欧氏几何的方法来处理，它们的特点是：在“弹性变形”下保持不变，研究这类新问题的几何学，欧拉称之为“位置几何学”，人们通俗地把它叫做“橡皮几何学”。后来，这门数学分支被正式命名为“拓扑学”以上现象显示出几何图形的一类新的几何性质。这类性质与几何图形的大小、形状以及所含线段的曲直等等都无关，他们不能用欧氏几何的方法来处理，它们的特点是：在“弹性变形”下保持不变，研究这类新问题的几何学，欧拉称之为“位置几何学”，人们通俗地把它叫做“橡皮几何学”。后来，这门数学分支被正式命名为“拓扑学”

10. 拓扑［topology］，原意暗指和地形、地势相类似或有关的学科，曾译为形势几何学、连续几何学。1956年《数学名词》确定译为拓扑学，是按音直译的。拓扑［topology］，原意暗指和地形、地势相类似或有关的学科，曾译为形势几何学、连续几何学。1956年《数学名词》确定译为拓扑学，是按音直译的。

11. 1、拓扑学的早期发展 • 有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。 • 哥尼斯堡七桥问题 • 多面体的欧拉定理 • 四色问题

12. 1900年的哥尼斯堡（现为俄罗斯的加里宁格勒）1900年的哥尼斯堡（现为俄罗斯的加里宁格勒）

14. 哥德巴赫（Goldbach ]C.，1690.3.18~1764.11.20），德国数学家 希尔伯特(David Hilbert）（1862～1943) 德国数学家

15. 哲学家、古典唯心主义创始人康德（Immanuel Kant, 1724—1804)

16. 1.1 哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡是位于波罗的海东岸一座古老而美丽的城市，普雷格尔河的两条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大海。河心有一个小岛。河水把城市分成了４块，于是，人们建造了７座各具特色的桥，把哥尼斯堡连成一体。 一天又一天，７座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都只通过一次？

18. 一次走遍这七座桥 • 不重复

19. 普雷格尔河

20. 这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下自己的智力。可是，谁也没有找到一条这样的路线。以博学著称的大学教授们，也感到一筹莫展。"七桥问题"难住了哥尼斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因"七桥问题"而出了名。这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下自己的智力。可是，谁也没有找到一条这样的路线。以博学著称的大学教授们，也感到一筹莫展。"七桥问题"难住了哥尼斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因"七桥问题"而出了名。

21. 1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。

22. 七 桥 问 题

23. 《哥尼斯堡的七座桥》 • “讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热心的研究着，但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分支，莱布尼兹最先提到它，称之‘位置几何学’，这个几何学分支讨论只与位置有关的关系，研究位置的性质。它不考虑长短大小，也不牵涉量的计算。但至今未有过令人满意的定义，来刻画位置几何学的课题和方法。”这一数学分支现代称为“拓扑学”

24. 一笔画问题 平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上不重复？

29. 欧拉考察了一笔画图形的结构特征： 1、凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把一个偶点作为起点，最后必将以这一点为终点。 2、凡是只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画成。画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点。 3、其他情况的图都不能一笔画出。

30. 对七桥问题的反思 　 七桥问题是一个几何问题，然而，它却是一个以前欧氏几何学里没有研究过的几何问题。在以前的几何学里，不论怎样移动图形，它的大小和形状都是不变的；而欧拉在解决七桥问题时，把陆地变成了点，桥梁变成了线，而且线段的长短曲直，交点的准确方位、面积、体积等概念，都变得没有意义了。不妨把七桥画成别的什么类似的形状，照样可以得出与欧拉一样的结论。 　　很清楚，图中什么都可以变，唯独点线之间的相关位置，或相互连结的情况不能变。 欧拉对“哥尼斯堡七桥”问题的研究，是拓扑学研究的先声。

31. 1.2 欧拉公式 • 在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。 有人说这是拓扑学的第一个定理。

32. 把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体. • 凸多面体的任何截面都是凸多边形.

36. 1.3 四色问题 • 著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。 • 四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”

37. 四 色 问 题

38. 凯利 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

39. 1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰特两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰特的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

40. 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。

41. 上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些都是“拓扑学”的先声。

42. 1895年庞加莱（Poincaré, 1854〜1912）的著作《位置分析》开始了对拓扑学的系统研究，由于他奠基性的工作，拓扑学走上了宽广的道路，众多的数学家进入了这个领域，使得拓扑学称为本世纪最丰富多彩的一个数学分支，并成为近代数学的“新三高”（即抽象代数、拓扑学和泛函分析）

46. 2、拓扑学的基本研究对象 • 拓扑学是研究图形经过拓扑变换后的不变性质的学科。这里的拓扑变换形象的说就是一种既不撕破、也不黏合、但允许将图形伸缩和弯曲的变换。上面三组图形从拓扑变换角度来看，它们分别是“等价”的。然而，在初等几何学中，这些图形的形状、面积、周长等都是不相同的。

47. 如果图形X通过弯曲、伸缩，而没有撕裂也没有黏合变形为Y，则称两个图X和Y是拓扑等价或同胚。通常互相同胚的图形被看做同一种图形。如果图形X通过弯曲、伸缩，而没有撕裂也没有黏合变形为Y，则称两个图X和Y是拓扑等价或同胚。通常互相同胚的图形被看做同一种图形。

50. 简单曲面上的任一闭曲线总把它分割成两部分.简单曲面上的任一闭曲线总把它分割成两部分. • 简单闭曲面把空间分成两部分即内部和外部，且以该曲面为这两部分的公共边界。另外这些曲面中的每一个都有两侧：外侧和内侧，这种双侧性在同胚下也是不变的。