第三章 多维随机变量及其概率分布

1. 第三章 多维随机变量及其概率分布 §3.1 多维随机变量及其联合概率分布

2. 第三章作业题 P158 1,3,5,7,8 10,12,14,17,18 21,26,27,30 31,34,39,40

3. 有些随机现象用一个随机变量来描述不够，例如有些随机现象用一个随机变量来描述不够，例如 1、 在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的. 2、 飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个坐标）来确定的等等. 3、研究某年龄段儿童的身体发育情况，同时考虑身高、体重、肺活量、血压等指标 4、研究某日的天气状况，同时考虑最高温度、最大湿度、最大风力等指标。

4. 一、多维随机变量的概念 设随机试验E的样本空间是Ω.ξ =ξ()和η=η()都是定义在Ω上的随机变量,由它们构成的变量(ξ,η),称为二维随机变量. 二维随机变量(ξ,η)的性质不仅与ξ 及 η的性质有关,而且还依赖于ξ 和η的相互关系,因此必须把(ξ,η)作为一个整体加以研究.

5. 二、二维随机变量的联合分布函数 • 定义：设（ξ ,η）是二维随机变量，对于任意实数ξ ,η,二元函数： 称为二维随机变量（ξ ,η）的联合分布函数。

6. 一维随机变量ξ ξ 的分布函数 二维随机变量（ξ,η） ξ 和η的联合分布函数

7. 如果把(ξ,η)看成平面上随机点的坐标. 取定x,y R1， F(x,y)就是点(ξ,η)落在平面上的以(x,y) 为顶点而位于该点左下方的无限矩形区域内的概率. 见右图.

8. 说明 由上面的几何解释,易见: 随机点(ξ,η)落在矩形区域: x 1<ξ ≤x 2, y1<η≤y2 内的概率 P{x 1<ξ ≤x 2 ,y1<η≤y2} =F(x 2,y2)-F(x 2,y1)- F(x 1,y2)+F(x 1,y1)

9. 二维分布函数F(x ,y)的四条基本性质 1. F(x ,y)是单变量x ,y的非减函数. 即  yR1取定,当x 1<x 2时, F(x 1, y)≤F(x 2, y). 同样,  x R1取定,当y1 < y2时, F(x , y1)≤F(x , y2). 2.  x , y R1有 0≤F(x , y)≤1

10. yR1, F(-∞,y)=0， xR1, F(x,-∞)=0， F(-∞,-∞)=0， F(∞,∞)=1 其中:

11. 3、F(x ,y)=F(x +0,y), F(x ,y)=F(x ,y+0) 即F(x ,y)关于x 右连续，关于y也右连续。 • 4、P{x 1<ξ ≤x 2 ,y1<η≤y2} =F(x 2,y2)-F(x 2,y1)- F(x 1,y2)+F(x 1,y1)≥0

12. §3.2二维离散型随机变量及其联合概率分布列 一、联合分布列 如果二维随机变量(ξ,η)的每个分量都是离散型随机变量,则称(ξ,η)是二维离散型随机变量. 二维离散型随机变量(ξ,η)所有可能取的值也是有限个或可列无穷个.

13. 二维离散型随机 变量（ξ ,η）的联 合分布列 一维随机变量ξ 离散型 ξ 的概率分布 i, j =1,2, … k=1,2, … k=1,2, …

14. 联合分布列也可以用表格表示.

16. 二、常见多维分布 1、多维超几何分布 设某总体共有N个元素，其中有Ni个元素具有特征Ai, 1≤i≤k,现从中随机取出n个元素，求其中有mi个具有特征Ai的概率 用ξi表示n个元素中具有特征Ai的个数

17. 2、多项分布-二项分布的推广 设每次试验共有k种不同的可能结果 将该实验独立地重复n次，用ξ 1,ξ 2,…ξ k表示 发生的次数，则(ξ 1,ξ 2,…ξ k)服从多项分布，其联合分布列为

18. 例：设随机变量ξ 在1，2，3，4四个数中等可能地取一个值，另一个随机变量η在1—ξ 中等可能地取一个整数值，试求（ξ，η）的联合分布列。并计算P(ξ >η)

19. 设有10件产品,其中7件正品,3件次品. 现从中任取两次,每次取一件产品,取后不放回.令: ξ =1： 若第一次取到的产品是次品. ξ =0： 若第一次取到的产品是正品. η=1： 若第二次取到的产品是次品. η=0： 若第二次取到的产品是正品. 求: 二维随机变量(ξ ,η)的联合分布列. 例

20. 例、设ξ ~E(λ),令 求(η1,η2)的联合分布列

21. §3.3二维连续型随机变量及其联合概率密度函数§3.3二维连续型随机变量及其联合概率密度函数 一、二维联合概率密度函数 设二维随机变量(ξ ,η)的联合分布函数为F(x,y).如果存在一个非负函数p(x ,y),使得对任意实数x ,y,总有 则称(ξ ,η)为连续型随机变量,p(x ,y)为二维随机变量的联合概率密度.

22. ξ ~ （ξ ,η）~

23. 对二维连续型r.v(ξ ,η)，其联合概率密度与联合分布函数的关系如下： 在 p (x ,y)的连续点

25. 例：设二维随机变量(ξ ,η)具有概率密度： P(η <ξ); （1）求概率P(ξ <1); (2) 求概率

26. 二、 两种常用的多维连续型概率分布 1、二维均匀分布 设D是平面上的有界区域,其面积为d,若二维随机变量(ξ ,η)的联合密度函数为: 定义 则(ξ ,η)称服从D上的均匀分布.

27. 设(ξ,η)服从圆域 x2+y2≤4上的均匀分布. 计算P{(ξ,η)A}, 这里A是图中阴影部分的区域 例 圆域x2+y2≤4的面积d=4 区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的三角区域,并且包含在圆域x2+y2≤4之内,面积=0.5 ∴ P{(ξ,η)A}=0.5/4=1/8 解:

28. 其中 均为常数,且 则称（ ξ ,η）服从参数为的二维正态分布. 记作（ξ ,η）～N( ) 2、 二维正态分布 若二维随机变量（ξ,η）具有概率密度

29. 1、n维随机变量或n为随机变量： E是一个随机试验，它的样本空间是Ω={e},设 是定义在Ω上的随机变量，由它们构成一个n维 变量，叫做n维随机变量或n为随机变量 2、随机变量的分布函数或联合分布函数：

30. §3.4 边际分布与 随机变量的独立性

31. 一、 边际分布 1、随机变量的边际分布函数 二维随机变量(ξ,η)作为一个整体,具有分布函数F(x,y). 其分量ξ和η也都是随机变量,也有自己的分布函数,将其分别记为Fξ (x ),Fη(y). 依次称为ξ 和η的 边际分布函数. 而把F(x,y)称为ξ 和η的联合分布函数.

32. 注意 ξ和η的边际分布函数,本质上就是一维随机变量ξ和η的分布函数.之所以称其为边际分布是相对于(ξ,η)的联合分布而言的. 同样地,联合分布函数F(ξ,η)就是二维随机变量(ξ,η)的分布函数,之所以称其为联合分布是相对于其分量ξ 或η的分布而言的. 求法 Fξ (x )=P{ξ≤x }=P{ξ≤x ,η<∞}=F(x ,∞) Fη(y)=P{η≤y}=P{ξ <∞,η≤y}=F(∞,y)

33. 例:设(ξ ,η)的联合分布函数为 • 求关于ξ 和η的边际分布函数 (λ>0).

34. 2、 二维离散型随机变量的边际分布列 一般，对离散型 r.v ( ξ ,η )， ξ 和η 的联合分布列为 则(ξ ,η)关于ξ 的边际分布列为 (ξ ,η)关于η 的边际分布列为

35. 例 1 求表中(ξ ,η)的分量ξ 和η的边际分布.

36. 把这些数据补充到前面表上:

37. 3、二维连续随机变量的边际密度函数 ξ 和η的联合概率密度为 则( ξ ,η )关于ξ 的边际密度函数为 ( ξ ,η )关于η的边际密度函数为

38. 例 设随机变量ξ 和η具有联合概率密度 求边际概率密度

39. 课堂练习 设二维随机变量 (ξ, η) 的密度函数为 求：1、边缘密度函数 2、计算概率P{ξ+η≤1}.

40. 例、设(ξ ,η)的联合密度函数为 求（1）边际密度函数 （2）

41. 例 若(ξ ,η)服从矩形区域a≤x≤b.c≤y≤d 上均匀分布,两个边际概率密度分别为: 注 上题中ξ和η都是服从均匀分布的随机变量.但对于其它(不是矩形)区域上的均匀分布,不一定有上述结论.

42. 设(ξ,η)服从单位圆域x2+y2≤1 上的均匀分布,求:ξ 和η的边际概率密度. 例 解: 当x<-1或x>1时

43. 当-1≤x≤1时 （注意积分限的确定方法）

44. 由ξ和η在问题中地位的对称性,将上式中的ξ改为η,就得到η的边际概率密度:由ξ和η在问题中地位的对称性,将上式中的ξ改为η,就得到η的边际概率密度:

45. （ ξ ,η）～N( ) ξ ~N(0,1) , η~N(0,1)

46. (ξ 1 ,ξ2)∼N(1,2, ,)  ξ1∼ ξ2∼ (与参数无关) • 说明 对于确定的1,2,1,2 ,当不同时，对应了不同的二维正态分布。 对这个现象的解释是:边际概率密度只考虑了单个分量的情况,而未涉及ξ与η之间的关系.

47. ξ与η之间的关系这个信息是包含在(ξ ,η)的联合概率密度函数之内的. 因此, 联合 边际 ？

48. 定义：若对于 , 都有 即 则称ξ 与η 是相互独立的。 二、随机变量的独立性

49. 离散型（定理1）： 连续型（定理2）：

50. ξ η 例:袋中有2个白球，3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地 取二次球，每次取一个，令 • 试问ξ 与η是否相互独立？ 解:(1)有放回地取球 容易验证，对一切 i, j=0,1， 有P{ξ =i,η=j}=P{ξ =i}P{η=j} 故 ξ 、η 相互独立。