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第二章 数值代数

第二章 数值代数. §2.1 Gauss 消去法 §2.2 直接三角分解法 §2.3 范数和误差分析. 引例： Cramer 法则不可行. Cramer 法则 n>20 时， 计算量太大，现实上不可行 Cramer 法则数学上很重要，计算上无价值. § 2.1 Gauss 消去法. 1 理论基础 2 顺序 Gauss 消去法 3 选主元技术 4 追赶法. 1. 理论基础. 同解. 引理 2.1 证明 (P14).

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  1. 第二章 数值代数 • §2.1 Gauss消去法 • §2.2 直接三角分解法 • §2.3 范数和误差分析

  2. 引例：Cramer法则不可行 • Cramer法则 • n>20时， 计算量太大，现实上不可行 • Cramer法则数学上很重要，计算上无价值

  3. §2.1 Gauss消去法 1 理论基础 2 顺序Gauss消去法 3 选主元技术 4 追赶法

  4. 1. 理论基础 同解 • 引理2.1 • 证明(P14)

  5. 2 顺序Gauss消去法 • 例2.1 • 消元过程 • 回代过程

  6. 顺序Gauss消去法 b Ax

  7. 消元过程(第1步) • 用矩阵初等行变换化系数矩阵为三角形

  8. 消元过程(第2步)

  9. 消元过程(第k步)编程用计算公式

  10. 消元过程(结果)

  11. 上三角方程组 回代

  12. 回代过程

  13. 计算量(乘除法次数) • 消元 • 回代 • 总和 计算量主要在消元 比较Cramer法则 Gauss 法快很多

  14. 可行性 • 如果A=(aij)nn的顺序主子式均不为零，顺序Gauss消去法求解可行。

  15. 3 选主元技术 • 为什么要选主元素？ • 主元素=0，计算就不能进行。 • 主元素 0, 计算过程数值不稳定。 • 怎样选主元素？ • 把绝对值大的数调到对角线上 • 例 2.2 3位有效数字

  16. 例 2.3(选列主元素Gauss消去法)

  17. 可行性 • 如果A=(aij)nn的行列式不为零，选列主元素Gauss消去法求解可行。 比较： 如果A=(aij)nn的顺序主子式均不为零，顺序Gauss消去法求解可行。

  18. 4 追赶法 • 三对角方程组 • 顺序Gauss消去法应用于三对角线性方程组得到所谓追赶法，其中消元过程为“追”，回代过程为“赶”。

  19. 4 追赶法 • 追 k=2, , n • 赶 k= n-1, , 1 • 追赶法不对零元素计算，只有2(n-1)+(n-1)+n+(n-1) =5n-4次乘除法计算量 • 注意:追赶法假定主元不为0, 计算中不选主元.

  20. §2.2 直接三角分解法 • 高斯消去法的矩阵表示 • LU分解法 • 平方根法 • 改进的平方根法

  21. 高斯消去法的矩阵表示 • 对一个矩阵施行一次行变换，相当于左乘一个相应的初等矩阵。 • 顺序高斯消去法相当于矩阵三角分解A=LU • P21 例题 P3P2P1A=U • 选列主元高斯消去法相当于三角分解PA=LU, 其中P为行置换矩阵(详见课本38页)

  22. LU分解 • A=LU (Doolittle分解) • 解方程组 • P22 例2.5待定系数法

  23. LU分解计算顺序 • 待定系数法(依次显式计算，无须解方程组)

  24. LU分解法 vs. Gauss消去法 • LU分解法和Gauss消去法具有相同的可行性条件, 基本相同的计算量和计算精度。 • LU分解法具有比Gauss消去法更好的设计灵活性。 • 当多次求解具有相同系数矩阵和不同右段向量的线性方程组 ； • 防止“大数吃小数” ； • LU分解存储可使用紧凑格式 。 • 三角分解的其他形式: Crout分解等.

  25. 平方根法 • A=LLT(Cholesky分解) • 基本方法: 待定系数法 • 手算：由顺序主子式先求对角线 • 编程: 使用公式 i=k+1, n,k=1,…,n • 乘除法次数n(n+4)(n-1)/6, 开方n次 • P24 例2.6

  26. 数值稳定性 • 可行性条件: 对称正定. • 直接验证知：在平方根法中， ，k=1, …,n, j=1, , k • 中间量lkj不会出现放大, 从而平方根法是数值稳定的。不必选主元.

  27. 改进的平方根法 • A=LDLT, • 待定系数法 • 利用顺序主子式先求对角线 改进在哪里？ (1)避免了开方运算; (2)计算的可行性条件减弱为A对称非奇异。 P26 例2. 7

  28. §2.3范数和误差分析 1 范数和条件数 2 数据扰动分析

  29. 1 范数和条件数 • 引例 注意：两组解都是相应方程组的精确解， 没有计算误差 病态方程组：数据小扰动解大误差。

  30. 问题 • 什么原因导致方程组病态？ • 怎样识别病态方程组？ • 病态方程组怎样求解？

  31. 向量范数 • Rn上实值函数||.||, 满足 • 正定性 ||x||0, 且||x||=0x=0 • 齐次性 ||x||= ||||x|| • 三角不等式||x+y|| ||x|| + ||y|| • 常用向量范数

  32. 矩阵范数 • Rn×n上实值函数||.||, 满足 • 正定性 ||A||0, 且||A||=0A=0 • 齐次性 ||A||= ||||A|| • 三角不等式||A+B|| ||A|| + ||B|| • 相容性 ||AB|| ||A|| ||B|| • 与向量范数相容 ||Ax|| ||A|| ||x||

  33. 常用矩阵范数 相容性：||Ax||v||A|| v||x|| v, v=1,2, ||Ax||2||A|| F||x|| 2

  34. 范数的等价性(P44, ex10) ||x||p0 ||x||q0

  35. 病态方程组 • 病态方程组：系数矩阵条件数很大 • P32例2.10(2)(P16例2.2) 顺序Gauss 病态 不病态 选主元 不病态

  36. 2 数据扰动分析 • 右端数据扰动 • Ax*=b , A(x*+ x)=b+b • 证明 • || x||  ||A-1|| ||b|| • ||b||  ||A|| ||x*|| 病态方程组：数据小扰动解大误差。

  37. 2 数据扰动分析 • 系数矩阵扰动 • (A + A)(x*+ x)=b • 证明 • x = -A-1A(x*+  x) • || x||  ||A-1|| ||A||(||x*||+ || x||) 病态方程组：数据小扰动解大误差。

  38. 习题 • ex2, ex3 • ex5, ex6, ex8 • ex10, ex11, ex14, ex15

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