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Hypothesentest. Zusammengestellt von Mag. Raimund Hermann. Beispiel 1. Eine politische Partei errang bei der letzten Wahl einen Stimmenanteil von 25%. In einer aktuellen Meinungsumfrage geben 118 der 400 befragten Personen an, sie würden diese Partei wählen.
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Hypothesentest Zusammengestellt von Mag. Raimund Hermann
Beispiel 1 Eine politischePartei errang bei der letzten Wahl einen Stimmenanteil von 25%. In einer aktuellen Meinungsumfrage geben 118 der 400 befragten Personen an, sie würden diese Partei wählen. Kann die Parteileitung von einem Stimmenzuwachs ausgehen?
Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Befragten die angeben die Partei zu wählen. X ist binomialverteilt mit n = 400 und p = 0,25 , wenn sich der Anteil der Stimmen der Partei nicht verändert hat.
Punktschätzer Der Punktschätzer legt nahe, dass die Partei an Stimmen zugelegt hat. Der Stimmenanteil bei der letzten Wahl betrug 25%, jener in der Stichprobe 29,5%.
Erwartungswert und Standardabweichung Wenn sich der Stimmenanteil nicht verändert hat, so müssten in der Stichprobe rund 100 potentielle Wähler sein. Es sind jedoch 118 Befragte. Es stellt sich die Frage, ob es sich beim Ergebnis der Umfrage nur um eine statistische Schwankung handelt, oder das Ergebnis eine signifikante Zunahme bedeutet.
Die Nullhypothese Bei der Nullhypothese wird angenommen, dass der Wähleranteil gleich geblieben ist. Die Nullhypothese ist jene Behauptung, von der geglaubt wird, dass sie falsch sei, an der gezweifelt wird, die widerlegt werden soll.
Die Alternativhypothese Bei der Alternativhypothesewird vermutet, dass der Wähleranteil zugenommen hat. Die Alternativhypothese ist jene Behauptung, die akzeptiert wird, wenn die Nullhypothese verworfen wird.
Der Fehler 1. Art Fehler 1. Art: H0 wird abgelehnt, obwohl H0 richtig ist. Die Parteileitung lehnt H0 ab. Die Parteileitung nimmt an, dass der Wähleranteil gestiegen ist, obwohl er in Wahrheit gleich geblieben ist. Bei einem Fehler 1. Art wird die Nullhypothese abgelehnt, obwohl sie in Wirklichkeit richtig ist.
Der Fehler 2. Art Fehler 2. Art: H0 wird angenommen, obwohl H0 falsch ist. Die Parteileitung lehnt H0 nicht ab. Die Parteileitung nimmt an, dass der Wähleranteil gleich geblieben ist, obwohl er in Wahrheit zugenommen hat. Bei einem Fehler 2. Art wird die Nullhypothese angenommen, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
Der Ablehnungsbereich Die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung (Fehler 1. Art), soll nicht höher als 5% (bzw. 1%) sein und heißt Irrtumswahrscheinlichkeit a. Falls der Wähleranteil gleich geblieben ist, sind m = 100 Wähler zu erwarten. Wie viele Befragte müssen mindestens angeben, die Partei zu wählen, damit von einer signifikanten Zunahme ausgegangen werden kann?
Der Ablehnungsbereich H0 wird verworfen, falls in der Umfrage mindestens 115 Befragte angeben diese Partei zu wählen. Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt höchstens 5%. Da in der Umfrage 118 angeben die Partei zu wählen, kann H0 verworfen werden.
Der Ablehnungsbereich Rückweisungspunkt: Ablehnungsbereich: Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wähleranteil von 25% die Anzahl der Befragten, welche angeben die Partei zu wählen, im Ablehnungsbereich liegt, beträgt 5%.
Der p - Wert Eine zweite Möglichkeit zu entscheiden, ob die Nullhypothese verworfen werden kann, ist die Berechnung desp – Wertes: Wenn die Parteileitung aufgrund der Tatsache, dass 118 Befragte angeben die Partei zu wählen, ablehnt, so beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art nur 2,3%.
Der p - Wert Falls der p - Wert kleiner oder gleich 5% ist, so wird die Nullhypothese abgelehnt. Falls der p - Wert größer 5% ist, so wird die Nullhypothese nicht abgelehnt.
Das Signifikanzniveau Falls a ≤ 5% ist, so ist das Testergebnis signifikant.Die Entscheidung, ob H0 verworfen wird oder nicht, wird auf einem Signifikanzniveau von 95% entschieden. Falls a ≤ 1% ist, so ist das Testergebnis hochsignifikant.Die Entscheidung, ob H0 verworfen wird oder nicht, wird auf einem Signifikanzniveau von 99% entschieden.
Der Fehler 2. Art Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn der wahre Wähleranteil30% bzw. 35% beträgt? H0 wird nicht abgelehnt, wenn sich in der Umfrage weniger als 115 Befragte für die Partei aussprechen. Es wird angenommen, dass sich der Wähleranteil nicht erhöht hat, obwohl er auf 30% bzw. 35% gestiegen ist.
Der Fehler 2. Art Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Befragung von 400 Personen ein Anstieg des Wähleranteils auf 30% unbemerkt bleibt, beträgt 27,6%. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Befragung von 400 Personen ein Anstieg des Wähleranteils auf 35% unbemerkt bleibt, beträgt 0,3%.
Die Operationscharakteristik Die Wahrscheinlichkeit bfür einen Fehler 2. Art hängt vom unbekannten Stimmenanteil pab. Die OperationscharakteristikOC(p) = P(X ≤ 114) gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit bfür einen Fehler 2. Art ist, wenn der Anteilswert in Wahrheit gleich p ist
