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第六章 多元线性回归预测

第六章 多元线性回归预测. 1 、多元线性回归的模型 Y ＝ a+b 1 X 1 ­ +b 2 X 2 + … ＋ b m X m 2 、多元线性回归的参数估计 （ 最小二乘法 ） 3 、多元线性回归的误差分析与统计检验 4 、多元线性回归的预测. 2 、多元线性回归的参数估计. 如果在对变量 Y 与 X i (i ＝ 1 ， 2 ， … ， m) 的 n 次观察中，获得了如下数据：. 最小二乘法. 为最小 。. 对上式中的 a 、 b i (i=1,2, … ,m) 分别求偏导，并令其等于零，经整理后得： (4-14) (4-15). 其中.

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第六章 多元线性回归预测

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  1. 第六章 多元线性回归预测 • 1、多元线性回归的模型 • Y＝a+b1X1­+b2X2+…＋bmXm • 2、多元线性回归的参数估计 • （最小二乘法） • 3、多元线性回归的误差分析与统计检验 • 4、多元线性回归的预测

  2. 2、多元线性回归的参数估计 • 如果在对变量Y与Xi(i＝1，2，…，m)的n次观察中，获得了如下数据：

  3. 最小二乘法 为最小。

  4. 对上式中的a、bi(i=1,2,…,m)分别求偏导，并令其等于零，经整理后得：对上式中的a、bi(i=1,2,…,m)分别求偏导，并令其等于零，经整理后得： • (4-14) • (4-15)

  5. 其中

  6. 第一节 二元线性回归预测 • 以上讨论了两个变量因素之间的回归预测问题。然而，客观事物的变化往往受多种因素的影响，即使其中一个因素起着主导作用，但有时其他因素的作用也是不可忽视的。在实际问题中，大多数影响因变量的因素不是一个，而是多个。我们把包括两个或两个以上自变量的回归称为多元回归。这一节中，我们首先讨论两个自变量的模型，借以说明多元回归的使用，然后推广到三个或三个以上自变量的回归模型。

  7. 一、二元回归模型

  8. 二、二元回归方程 • 称为常数， • ， 称为Y对 x 的回归系数

  9. 三、参数估计 • 1 、求估参数：用最小二乘法 • 系数的计算公式为：

  10. 2 、回归系数 、 的含义 • 的含义： 的含义：

  11. 3、 的方差和标准差估计 • 标准差：同一元线性回归的情况一样，标准误差是对y值与模型估计值之间的离差的一种度量，它是计算置信区间估计值和其他拟合优度的基础指标。其计算公式为：

  12. 四、回归方程和系数的检验 • 1．复可决系数R2

  13. 2、复相关系数 • 对于多元线性回归而言，多元相关系数R似乎是多余的，它并未提供任何新的信息，只是可决系数的平方根。

  14. 3 、回归方程的显著性检验 • 4 、回归系数的检验： • t检验（个体检验） F检验（全检验）:

  15. 5 、置信区间 • 多元回归的近似置信区间的估计方法同简单回归相类似，其置信区间的公式为： • 置信区间＝ • 式中，n是观察值的个数；p是自变量 • 的个数， 是自由度为n-p的t统计量数值表中的数值。

  16. 二元线性回归的例子 【例】一家百货公司在10个地区设有经销分公司。公司认为商品销售额与该地区的人口数和年人均收入有关，并希望建立它们之间的数量关系式，以预测销售额。有关数据如下表。试确定销售额对人口数和年人均收入的线性回归方程，并分析回归方程的拟合程度，对线性关系和回归系数进行显著性检验(=0.05)。

  17. 一个二元线性回归的例子(Excel 输出的结果)

  18. 一个二元线性回归的例子(计算机输出结果解释)一个二元线性回归的例子(计算机输出结果解释) • 销售额与人口数和年人均收入的二元回归方程为 • 多重判定系数R2= 0.9373；调整后的R2= 0.9194 • 回归方程的显著性检验 • F = 52.3498 F>F0.05(2,7)=4.74，回归方程显著 • 回归系数的显著性检验 • t= 9.3548>t=0.3646，； t2 = 4.7962> t=2.3646；两个回归系数均显著

  19. 显著性检验 • 1、t检验 • 2、F检验 • 3、多重共线性

  20. 第三节 非线性回归预测法 • 基本概念 • 非线性模型及其线性化方法

  21. 一. 基本概念 1. 因变量 y 与 x 之间不是线性相关关系 2. 可通过变量代换转换成线性相关关系 • 用最小二乘法求出参数的估计值 • 并非所有的非线性模型都可以化为线性模型

  22. 二. 几种常见的非线性模型 • 基本形式： •  指数函数 • 线性化方法 • 两端取对数得： lny= lna + bx • 令：y‘ = lny， A=a则有 y'= A+ bx • 图像

  23. 几种常见的非线性模型 •  幂函数 • 基本形式： • 线性化方法 • 两端取对数得：lg y = lga+ b lg x • 令：y' = lgy，x'= lg x，则y'= lga + b x' • 图像

  24. 几种常见的非线性模型 •  双曲线函数 • 基本形式： • 线性化方法 • 令：y' = 1/y，x'= 1/x, 则有y'= a + b x' • 图像

  25. b  0 b <0 几种常见的非线性模型 • 基本形式： •  对数函数 • 线性化方法 • x'= lgx , 则有y'= a + bx' • 图像

  26. 几种常见的非线性模型 •  多项式函数 • 基本形式： • 线性化方法 • x1= x , x2= x2, …，xp= xp, • 则有：y=a0+a1x1+a2x2+…+apxp • 图像 0

  27. 举例 • 例1：某商品从进入市场起，由于质量和成本的改变，变动了七次价格，每次价格变动的时间基本相等，总销售量由逐渐上升到逐渐下降，试对下列资料用抛物线拟合。

  28. 例1的散点图

  29. 输入形式

  30. 结果

  31. 例2的散点图

  32. 结果

  33. Excel中回归的步骤 • 1 、输入x列 ，y列； • 2 、进入“工具”“数据分析” • “回归”

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