平行四边形判定（ 4 ）

A D E C B 平行四边形判定（4）三角形的中位线应用

三角形的中位线的定理 A 用几何语言表示 ∵DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC， B C 1 DE= BC. E D 2 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

定理应用： ⑴定理为证明平行关系提供了新的工具 ⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 1/2提供了一个新的途径注意：在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线 ①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线

A D O E B C 应用：例1：口答（1）三角形的周长为18cm，这个三角形的三条中位线围成三角形的周长是多少？为什么？（2）如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且AD=10cm，那么OE=cm。 5

A A E H D E G H D F G C B C B （3）如图：如果AD= AB，AE= AC， DE=2cm，那么BC=cm。 8 （4）在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是。 11

A D F B C E 例2：如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，求证：（1）∠A= ∠DEF （2）四边形AFED的周长等于AB+AC

A E F B C D 例3：已知，如图AD是△ABC的中线，EF是中位线，求证：AD与EF互相平分

（作业本） 例4：求证顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中AB、 BC、CD、DA的中点。求证：EFGH是平行四边形。任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是平行四边形。

（作业本） 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，BD=AC，M、N分别是AD、BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，求证：EF=EG C D E N G M F B A H

P Q D C N A B M 例6：已知，如图，A、D、P三点，M、N、Q三点，B、C、Q三点，均在一直线上，且M、N分别是AB、CD的中点，AD=BC，求证：∠APM= ∠BQM

D E A C B F 变式：如图，任意四边形ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，求证：EF< M 任意四边形一组对边中点的连线段小于两条对角线和的一半。

变式：已知，四边形ABCD中，F是 AB的中点，E是CD的中点，　　求证：EF　（AD+BC） D E C A F B

例7：已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长 线上一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连结OF. 求证: AB= 2 OF A D 提示:(1)证明△ABF≌ △ECF, 得BF=CF,再证OF是 △ABC的中位线. (2)先证ACEB为平行四边形，再证OF是△ABC的中位线. O G B C F E

例8：已知 ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点。求证：∠HEF＝ ∠FGH。

1.已知如图2，BD、CE分别是 △ABC的外角 平分线，过点A作AF⊥BD,AG ⊥CE，垂足分别是F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交, 求证:FG=1/2（AB+BC+AC）走进中考 A D E F G H K B C

A D E C B 8、△ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE=2AC，CD、BE交于O点. 求证：OE= BE.

思考题：已知如图：在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高。思考题：已知如图：在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高。求证：∠EDG＝ ∠EFG。分析：EF是△ABC的中位线 DG是Rt△ADC斜边上的中线 ∴EF＝DG 你还想到了什么？

小结 三角形中位线定义三角形中位线定理三角形中位线定理应用

平行四边形判定（ 4 ）