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概率统计

概率统计. 二、 重要公式与结论. 三、 典型例题分析与解答. 一、 主要内容及要求. 第四章 大数定律和中心极限定理. 上页. 下页. 返回. 一、主要内容及要求. 第四章 大数定律和中心极限定理. 1) 掌握大数定律的定义. 第四章 大数定律和中心极限定理. 2) 掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛 - 拉普拉斯定理 ; 并会用这两个定理求概率；. 二、重要公式与结论. 第四章 大数定律和中心极限定理. 1. 切比雪夫不等式的一般形式 :. 设 X 的 r 阶绝对矩存在 , r >0, 则对. 有 :.

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Presentation Transcript

  1. 概率统计 二、 重要公式与结论 三、 典型例题分析与解答 一、 主要内容及要求 第四章 大数定律和中心极限定理 上页 下页 返回

  2. 一、主要内容及要求 第四章 大数定律和中心极限定理 1)掌握大数定律的定义.

  3. 第四章 大数定律和中心极限定理 2)掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普拉斯定理;并会用这两个定理求概率；

  4. 二、重要公式与结论 第四章 大数定律和中心极限定理 1. 切比雪夫不等式的一般形式: 设X的r阶绝对矩存在,r>0,则对 有: 特别有:

  5. 第四章 大数定律和中心极限定理 2. 近似计算公式: (1)当n很大,p很小,np不太大时, 二项概率有下 列近似公式(即Poisson定理): (2)当X1,X2, …Xn满足中心极限定理的条件, n很大时,有下列近似公式:

  6. 三、典型例题分析与解答 第四章 大数定律和中心极限定理 例1 某车间有200台车床,它们独立地工作着,开工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦,问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 解: 设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 由题意有:

  7. 第四章 大数定律和中心极限定理 即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 例2 则由切 设随机变量X的 比雪夫不等式,有 解:

  8. 第四章 大数定律和中心极限定理 　 现有一批种子,其中良种占1/6.今任取6000粒,问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差不超过多少?相应的良种粒数在哪个范围内? 例3 解: 由德莫佛-拉普拉斯定理:

  9. 第四章 大数定律和中心极限定理 故近似地有:

  10. 第四章 大数定律和中心极限定理 良种粒数X的范围为:

  11. 第四章 大数定律和中心极限定理 例4 独立同分布, 解: 由辛钦大数定律(取=1)有: 又显然有:

  12. 数理统计 在终极的分析中. 　 一切知识都是历史. 　　在抽象的意义下, 　　一切科学都是数学. 　　在理性的世界里, 　　所有的判断都是统计学. ----C.R.劳

  13. 概率统计 二、 重要公式与结论 三、 典型例题分析与解答 一、 主要内容及要求 第五章 数理统计初步 上页 下页 返回

  14. 一、主要内容及要求 第五章 数理统计初步 1)掌握统计量的概念,会判断哪些样本的函数是统计量； 2)掌握正态总体的样本均值和样本方差的定义及其分布； 3)要会熟练运用矩法和极大似然法求估计量. 矩法求估计量的步骤:

  15. 第五章 数理统计初步 极大似然法求估计量的步骤:(一般情况下) 4)要掌握估计量的评选标准. (1)无偏性: (2)有效性: (3)一致性:

  16. 第五章 数理统计初步 5)要会正态总体未知参数的区间估计. 设为总体X的分布中的未知参数,X1,X2,…,Xn 为取自X的样本,若存在两个统计量: 使得对给定的(0<<1),有: 则称 为的置信度为1-的置信区间, 分别称为置信下限和置信上限.

  17. 第五章 数理统计初步 6)要会根据样本进行正态总体的假设检验. 假设检验的步骤: (1) 由实际问题提出原假设H0(与备择假设H1); (2) 选取适当的统计量,并在H0为真的条件下确 定该统计量的分布; (3) 根据问题要求确定显著性水平(一般题目 中会给定),从而得到拒绝域; (4) 由样本观测值计算统计量的观测值,看是否 属于拒绝域,从而对H0作出判断.

  18. 第五章 数理统计初步 7)要熟悉假设检验与区间估计的联系. 因此由假设检验(=0)的接受域即可得到的 区间估计,反之亦然.但二者对统计结果解释不同.

  19. 二、重要公式与结论 第五章 数理统计初步 1. 2. 3.

  20. 第五章 数理统计初步 4. 5.

  21. 第五章 数理统计初步 6. 7.

  22. 三、典型例题分析与解答 第五章 数理统计初步 设湖中有鱼N条,现钓出r条,做 上记号后放回湖中.一段时间后,再钓出s条(设s≥r), 结果其中有t条(0≤t≤r)标有记号.根据此种信息,估 计湖中鱼数N的值. 例1 (钓鱼问题) 这是一个典型的统计估值问题.钓出s条,其 中标有记号的鱼数应是个随机变量,记为X.显然X 只可能取0,1, …,r这r+1个值,现X=t,且 解:

  23. 第五章 数理统计初步 从上式可见,当rs<Nt时,R(t,N)<1,当rs>Nt时,R(t,N)>1.

  24. 第五章 数理统计初步 从直观上看,湖中有标记的鱼的比例和钓出的s 条鱼中有标记的鱼所占的比例似应相一致,即r:N= t:s,因而有: 上面的估计正好与此直观结果相符,这也说明 了极大似然估计的合理性.

  25. 第五章 数理统计初步 例2 解:

  26. 第五章 数理统计初步 例3 由X的概率密度知总体服从均匀分布,故 解:

  27. 第五章 数理统计初步

  28. 第五章 数理统计初步

  29. 第五章 数理统计初步 设 例4 是参数的二个相互独立的无偏估 找出常数k1,k2,使 计量,且 也是的无偏估计,并且使它在所有这样形状的估计 量中方差最小. 解:

  30. 第五章 数理统计初步

  31. 例5(2002年数学三考研试题填空题) 设总体X的概率密度为 而 是来自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为______ 。 例6(2002年数学一考研试题十二题) 设总体X的概率分布为 X 0 1 2 3 p 2(1-) 1-2 其中 (0<<1/2)是未知参数，利用总体X得如下样本值 3 ， 1 ， 3 ， 0 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 求的矩估计值和极大似然估计值。 注：本题是盛骤等编《概率论与数理统计》(第二版)第七章习题2-4的特例。

  32. 说明：1. 本题中因 P(X= )无一般表达式，故不能先求极大似然估计量，再将样本观察值代入求极大似然估计值。 极大似然估计的性质：若 为总体X中未知参数的极大似 然估计量，u=u(  ) 有单值反函数 = (u)，则u( )是u(  ) 的 极大似然估计量。 若 是D(X)= 的极大似然估计，因 有单值反函数 (视 为一个整体)，则 便是 标准差 的极大似然估计。 2. 本题处理思想在解决实际问题时很有用。

  33. 例7 (2003年数学一考研试题十二题) 设总体X的概率密度为 其中 >0 是未知参数。从总体X中抽取简单随机样本 • 求总体X的分布函数F(x)； • 求统计量 的分布函数 ； • (3) 如果 作为  的估计量，讨论它是否具有无偏性。 问题：若参数  的无偏估计量不只一个，如何选取更好的无偏估计量？

  34. 第六章 历年考研真题 第六章 历年考研真题 (1)设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计P{|X-E(X)|≥2} ≤.(2001-1-3) (2)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于　　(2001-1-3) (A) -1 (B) 0 (C)1/2 (D) 1 　解:因为X+Y=n,即Y=-X+n,故X与Y之间有严格的线性关系,且为负相关,所以选(A).

  35. 第六章 历年考研真题 (3)设某班车起点站上客人数X服从参数为(>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立.以Y表示在中途下车的人数,求: 　　①在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率； 　　②二维随机变量(X,Y)的概率分布.(2001-1-7)

  36. (4)设总体X服从正态分布 ,从该总体中抽取简单随机样本　　　　　　　　　, 其样本均值为　　　　　　,求统计量 的数学期望E(X).(2001-1-7) 第六章 历年考研真题

  37. 第六章 历年考研真题

  38. (5)设随机变量X服从正态分布　　　　　　 ,且二次方程 无实根的概率为1/2,则＝.(2002-1-3) 第六章 历年考研真题 　　解:由△=16-4X<0,得:X>4,即P(X>4)=1/2,而P(X>)=P(X<- )=1/2,所以=4. (6)设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则　　　　(2002-1-3) (A) f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度 (B) f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度 (C) F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数 (D) F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数

  39. 对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于　的次数，求Y2的数学期望.(2002-1-7)对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于　的次数，求Y2的数学期望.(2002-1-7) 第六章 历年考研真题 　　解:由概率密度函数和分布函数的性质 易知选(D). (7)设随机变量X的概率密度为

  40. 第六章 历年考研真题 (8)设总体X的概率分布为

  41. 第六章 历年考研真题 其中(0<<1/2)是未知参数,利用总体X如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3 求的矩估计值和最大似然估计值.(2002-1-7) 　　对于给定的样本值,似然函数为

  42. 第六章 历年考研真题 (9)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 则P{X+Y≤1}=.(2003-1-4)

  43. 第六章 历年考研真题

  44. 第六章 历年考研真题

  45. 第六章 历年考研真题

  46. 第六章 历年考研真题

  47. 第六章 历年考研真题

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