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第七节　正弦定理和余弦定理

第七节　正弦定理和余弦定理. 基础梳理. 1. 正弦定理和余弦定理 ( R 为 △ ABC 的外接圆半径 ). b 2 + c 2 -2 bc cos A. a 2 + c 2 -2 ac cos B. a 2 + b 2 -2 ab cos C. 2 R sin A. 2 R sin B. 2 R sin C. sin A ∶ sin B ∶ sin C. 三边. 两角和任一边. 另一角和其他两条边. 各角. 两边和它们的夹角. 两边和其中一边的对角. 另一边和其他两角. 第三边和其他两个角. 无解. 一解. 两解. 一解.

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第七节　正弦定理和余弦定理

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Presentation Transcript

  1. 第七节　正弦定理和余弦定理

  2. 基础梳理 1. 正弦定理和余弦定理(R为△ABC的外接圆半径) b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C sin A∶sin B∶sin C 三边 两角和任一边 另一角和其他两条边 各角 两边和它们的夹角 两边和其中一边的对角 另一边和其他两角 第三边和其他两个角

  3. 无解 一解 两解 一解 一解 无解 2. 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

  4. 3. 三角形常用面积公式 (1)S= ah(h表示三角形长为a的边上的高)． (2)S=____________=____________=____________. (3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径)． (4)S= acsin B bcsin A absin C

  5. 基础达标 1. (教材改编题)已知在△ABC中，a= ，b= ，B=60°，那么角A等于() A. 135°B. 90°C. 45°D. 30° C 解析：由正弦定理 = ，得 = ，可得sin A= . 又∵a<b，∴A<B，∴A=45°.

  6. 2. 已知在△ABC中，角A、B所对的边分别是a和b，若acos B=bcos A，则△ABC一定是() A. 等腰三角形B. 等边三角形 C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 A 解析：由正弦定理得：acos B=bcos A⇒2Rsin Acos B=2Rsin Bcos A⇒sin(A-B)=0，由于-p＜A-B＜p，故必有A-B=0，即三角形为等腰三角形．

  7. 3. (教材改编题)△ABC的边分别为a、b、c，且a=1，c=4 ，B=45°，则△ABC的面积为() A. 4 B. 5 C. 2 D. 6 解析：S△ABC= acsin B=×1 ×4 × sin 45°=2 C

  8. 4. 在△ABC中，若sin C=2cos Asin B，则此三角形必是() A. 等腰三角形 B. 正三角形 C. 直角三角形 D. 有一角为30°的直角三角形 A 解析：由sin C=2cos Asin B，得sin(A+B)=2cos Asin B，即sin Acos B+cos Asin B=2cos Asin B，即sin Acos B-cos Asin B=0，所以sin(A-B)=0. 又因为-p<A-B<p，所以A-B=0，即A=B.

  9. 解析：由余弦定理得b2=a2+c2-2accos 120°， 即6=a2+2-2a··⇒a= 或a=-2 (舍去)． 5. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c= ，b= ，B=120°，则a=________.

  10. 典型例题 题型一　利用正、余弦定理解三角形 【例1】　在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长． 分析：在△ADC中用余弦定理求出∠ADC，再在△ABD中用正弦定理求出AB.

  11. 解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得 cos∠ADC== =- ， ∴∠ADC=120°，∠ADB=60°. 在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°， 由正弦定理得 = ，∴AB= = = =5 .

  12. 解：∵a>c>b，∴角A为最大角． 由余弦定理有cos A= =- ， ∴A=120°， ∴sin A= ，再根据正弦定理，有 = ， ∴sin C= sin A= × = . 变式1-1 已知在△ABC中，a=7，b=3，c=5，求三角形中的最大角及角C的正弦值．

  13. 题型二　判断三角形的形状 【例2】 (2010·辽宁)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B+sin C=1，试判断△ABC的形状． 分析：(1)用正、余弦定理求A. (2)利用已知条件进行变形求解．

  14. 解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)×b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc.解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)×b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A， 故cos A=- ，即A=120°. (2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C．又sin B+sin C=1，即(sin B+sin C)2=sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1，两式联立得sin B·sin C= ，则sin B，sin C是方程x2-x+ =0的两根，解得sin B=sin C= . 因为0°<B<90°，0°<C<90°， 故B=C= . 所以△ABC是等腰的钝角三角形．

  15. 变式2-1 在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sin Bsin C，试判断△ABC的形状．

  16. 解：由正弦定理 = = =2R，得sin A= ，sin B= ，sin C= . 所以由sin2A=sin Bsin C可得 2= ·，即a2=bc. 又已知2a=b+c，所以4a2=(b+c)2，所以4bc=(b+c)2，即(b-c)2=0，所以b=c， 故由2a=b+c得2a=b+b=2b，即a=b，所以a=b=c，即△ABC为等边三角形．

  17. 题型三　正余弦定理及面积公式的应用 【例3】　在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C= .(1)若△ABC的面积等于 ，求a，b； (2)若sin B=2sin A，求△ABC的面积． 分析：(1)利用余弦定理和三角形面积公式联立可求；(2)首先将角的关系转变成边的关系，然后利用余弦定理和面积公式进行求解．

  18. 解：(1)由余弦定理得a2+b2-ab=4. 又因为△ABC的面积等于 ， 所以 absin C= ，得ab=4. 联立方程组解得(2)由正弦定理，已知条件可化为b=2a， 联立方程组解得所以△ABC的面积S= absin C= .

  19. 变式3-1 (2011·皖南八校联考)已知△ABC的周长为 +1，且sin A+sin B= sin C. (1)求边AB的长； (2)若△ABC的面积为 sin C，求角C的度数． 解：(1)由题意及正弦定理，得AB+BC+AC= +1，BC+AC= AB，两式相减，得AB=1. (2)由△ABC的面积 BC·AC·sin C= sin C， 得BC·AC= .由余弦定理得， cos C= = = ， 所以C=60°.

  20. 题型四　正、余弦定理的综合应用 【例4】△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0. (1)求角A的大小； (2)若a= ，求bc的最大值． 分析：(1)由b2+c2-a2+bc=0的结构形式，可联想余弦定理，求出cos A，进而求出A的值． (2)由a= 及b2+c2-a2+bc=0，可求出关于b，c的关系式，利用不等式即可求出bc的最大值．

  21. 解　(1)∵cos A= = =- ， ∴A=120°. (2)由a= ，得b2+c2=3-bc. 又∵b2+c2≥2bc(当且仅当c=b时取等号)， ∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号)， 即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1.

  22. 解：　由正弦定理得a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C， 则2Rsin Bcos C=6Rsin Acos B-2Rsin Ccos B， 故sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B， 可得sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B 即sin(B+C)=3sin Acos B， 可得sin A=3sin Acos B．又sin A≠0， 因此cos B= . 变式4-1 (2011·杭州学军中学月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C=3acos B-ccos B．求cos B的值．

  23. 【例】　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=1，c= . (1)若角C= ，则角A=________. (2)若角A= ，则b=________. 错解　(1) 或 p(2)2

  24. 正解：(1)由正弦定理 = ，得 sin A= = ，又a<c，所以A<C，所以A= . (2)由 = ，得sin C= = ， 解得C= 或 ， 当C= 时，B= ，可得b=2； 当C= 时，B= ，此时b=1.

  25. 链接高考 解析：∵sin B+cos B= sin( +B)= ，∴sin =1. 又0<B<p，∴B= . 由正弦定理，得sin A= = = . 又∵a<b，∴A<B，∴A= . 1. (2010·山东)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a= ，b=2，sinB+cosB= ，则角A的大小为________． 知识准备：1. 掌握sin x+cos x= sin ； 2. 已知sin x的值和x的取值范围，能求出x的值； 3. 会利用正弦定理 = ，知三求一，并能利用相关知识对解的情况做出判断，如△ABC中大边对大角．

  26. 由cos A= ，得sin A= = .又 bcsin A=30，∴bc=156. (1) =bccos A=156× =144. (2)a2=b2+c2-2bccos A =(c-b)2+2bc(1-cos A) =1+2×156× =25， 又∵a>0，∴a=5. 2. (2010·安徽)△ABC的面积是30，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，cos A= . (1)求 ； (2)若c-b=1，求a的值． 知识准备：1. 由同角三角函数间关系sin2a+cos2a=1，知cos a求sin a； 2. 三角形面积公式：S= absin C= bcsin A= acsin B； 3. 向量数量积定义：a·b=|a||b|cos〈a，b〉． 解析：

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