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目的要求 掌握二元函数数值及判别法，会求无条件极值及有条件极值。 重点 求多元函数极值 难点 约束最优化问题。

7.5 多元函数的极值与最优化问题. 目的要求 掌握二元函数数值及判别法，会求无条件极值及有条件极值。 重点 求多元函数极值 难点 约束最优化问题。. 7.5 多元函数的极值与最优化问题. 一、二元函数的极值 1 、极值 定义 设函数 z = f ( x,y ) 在点（ x 0 ， y 0 ）的某个邻域 内有定义，若对该邻域内任一点（ x ， y ）都有 f ( x,y )  f ( x 0 ， y 0 ), ( 或 f ( x,y ) f ( x 0 ， y 0 )), 则称函数 z = f ( x,y ) 在点（ x 0 ， y 0 ）有.

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目的要求 掌握二元函数数值及判别法，会求无条件极值及有条件极值。 重点 求多元函数极值 难点 约束最优化问题。

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Presentation Transcript

  1. 7.5 多元函数的极值与最优化问题 • 目的要求 掌握二元函数数值及判别法，会求无条件极值及有条件极值。 • 重点 求多元函数极值 • 难点 约束最优化问题。

  2. 7.5 多元函数的极值与最优化问题 一、二元函数的极值 1、极值 定义设函数z=f(x,y)在点（x0，y0）的某个邻域 内有定义，若对该邻域内任一点（x，y）都有 f(x,y) f(x0，y0), (或f(x,y) f(x0，y0)), 则称函数z= f(x,y)在点（x0，y0）有 极大(或极小)值f(x0，y0)。而称点(x0，y0)为函数z= f(x,y)的极大（或极小）值点。极大值点与极小值点统称极值点。

  3. 例子: 函数 z=1-x2-y2 在（0，0）有极大值z=1. 函数 z=2x2+y2 在（0，0）处有极小值z=0.

  4. 2、极值的检验法 定理（必要条件）设函数z=f(x,y)在点（x0，y0）处有极值，且在该点的偏导数存在，则必有 fx(x0，y0)=0, fy(x0，y0)=0. 使fx (x0，y0)=0, fy (x0，y0)=0的点称为驻点. 说明:同一元函数一样，二元函数的极值点必然是驻点或一阶偏导数不存在的点。

  5. 定理（充要条件）设函数z=f(x,y)在定义域内一点（x0，y0）处有二阶连续偏微商，且定理（充要条件）设函数z=f(x,y)在定义域内一点（x0，y0）处有二阶连续偏微商，且 fx(x0，y0)=0, fy(x0，y0)=0. 记fxx(x0，y0)=A, fxy(x0，y0)=B, f yy(x0，y0)=C, 令 (1) 当>0,A>0时，函数f(x,y)在点（x0，y0） 有极小值f (x0，y0)； 当>0,A<0时，函数f(x,y)在点（x0，y0）有极大值f（x0，y0）；

  6. (1) 当>0,A>0时，函数f(x,y)在点（x0，y0） 有极小值f (x0，y0)； 当>0,A<0时，函数f(x,y)在点（x0，y0）有极大值f（x0，y0）； (2)当 < 0时,函数f(x,y)在点（x0，y0）无极值； (3)当 =0时,函数f(x,y)可能有极值，也可能没有极值，需另作讨论。 记fxx(x0，y0)=A, fxy(x0，y0)=B, f yy(x0，y0)=C,

  7. 例 求 z=3xy-x3-y3的极值 解：因zx=3y-3x2, zy=3x-3y2,由 zx = 0， zy=0 ,驻点(0,0),(1,1). A= zxx = -6x ,B= zxy=3 ,C= zyy= -6y. =AC-B2=36xy-9 ,在(0,0)处= -9<0 不是极值点. 在(1,1)处=27 >0,A=-6<0, 在(1,1)处取极大值z(1,1)=1.

  8. 在D={(x, y)|x2+y2 1, x≥0, y≥0}内的最大值。 解： 二、无约束最优化问题 1. 连续函数在有界闭域上的最值 例 求函数

  9. 在边界x2+y2=1上: f (x,y)=0. 在另两条边界x=0,或y=0上， f(x,y)=0.

  10. 例 最大利润 设某公司每天生产产品I x公斤与产品II y公斤的成本为 C(x,y)=x2+2xy+2y2+2000 产品I的价格为200元/kg，产品II的价格为300元/kg，并假定两种产品全部售完，试求使公司获得最大利润的这两种产品的生产水平，公司获得的最大利润是多少？ 2. 实际应用问题

  11. 解 公司收益函数为R（x，y）=200x+300y 利润函数为P(x,y)=R(x,y)-C(x,y)= 200x+300y-x2-2xy-2y2-200 , 求驻点，令Px=200-2x-2y=0，Py=300-2x-4y=0 ， 得x=50，y=50。 而Pxx= -2，Pxy= -2，Pyy=-4。 在（50，50）处，A=-2，B=-2，C=-4 因为 =AC-B2=8-4=4>0 可知当产品I的产量为50公斤，产品II的产量为50公斤时，公司可获得最大利润，且 P（50，50）=10500（元）。

  12. 三、约束最优化问题 1、直观描述 求函数 的最大值 _________ _________ _______ 0 求函数 在条件 下的最大值

  13. 2、约束最优化问题 求目标函数z=f（x，y）满足约束条件(x,y)=0的极值问题。也称为条件极值。 条件极值的解法有两种： （1）化条件极值为无条件极值 也就是说从约束条件中解出y=y(x)，并将它代入目标函数，于是就转化为求一元函数的无约束最优化问题。 说明:这种方法有其局限性。因为从中求解y或x并非易事。

  14. (2)拉格朗日(Lagrange)乘数法 我们构造函数(拉格朗日函数) L(x,y,)=f(x,y)+  (x,y), 称为拉格朗日乘数，则有如下方程组 把求约束最优化问题转化成无约束的问题. 推导过程如下

  15. 求z=f (x,y)在(x,y)=0下的极值. 若 z =f (x,y)在(x0,y0)取得极值，则  (x0,y0)=0 如果在(x0,y0) 邻域内 f (x, y )， (x,y)有连续偏微商，且y(x0,y0)≠0， 则一元函数 z= f(x , y (x) )在x= x0取得极值，有

  16. 即

  17. 拉格朗日乘数法一般步骤 求z=f (x,y)在(x,y)=0下的极值. (1)构造拉格朗日函数 L(x,y,)=f(x,y)+  (x,y), (2)求解下方程组得到驻点 (3)结论: 1)这是实际问题,必有最值; 2)惟一驻点; 3)最值必在这惟一驻点上取得.

  18. 解 则

  19. 的距离 求点 到平面 = - + l = L 2 ( x x ) A 0 ì x 0 ï ï ï = - + l = L 2 ( y y ) B 0 解 í y 0 ï = - + l = L 2 ( z z ) C 0 z 0 ï ï = + + + = L Ax By Cz D 0 î l 例 解.

  20. 的距离 求点 到平面 例

  21. 小节 1. 二元函数的极值及检验法 2. 无约束最优化问题 3. 约束最优化问题—条件极值 拉格朗日(Lagrange)乘数法 作业: P321 1, 2, 3, 4

  22. 补充: 并证明不等式 （其中a,b,c为任意正实数） 对L求偏导数并令他们都等于零，则有

  23. x2 A C 0 x1 B S

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