-Exponential & Logarithmic Function- Chapter 5

-Exponential & Logarithmic Function-Chapter 5 朝陽科技大學資訊管理系李麗華教授

Introduction to Exponential & Logarithmic • 指數和對數是自然界中常見的現象。 (別忘了，數學完全是用來解決生活中的問題，其中當然包含了自然界中觀察到的現象。) 2. 所謂的指數函數，即 (b>0, b≠1)，指數函數的Domain(定義域)是所有實數

指數的例子 EX：兔子的繁衍，幾個世代下來即可看出指數成長現象。 (若每兩隻兔子可生出六隻小兔) 第0代第1代第2代︰︰︰每一對兔子由上圖可知，第n代為生六隻所以第0代所以由公式就可看出兔子在沒有天敵天災的狀況下，他們的成長具有指數現象。

指數的變化與圖形 • 指數是一個快速遞增(減)的函數圖形 EX： , 則其圖形如下 20 … 1 2 3 4 5 15 … 10 3 9 27 81 243 5 1 2 3 4 5 EX： 20 … 1 2 3 4 5 … 15 0.5 0.25 .0625 0.125 .03125 10 … -4 -3 -2 -1 5 … 16 8 2 4 -5 5

指數範例-1 所以由上頁的兩個圖可看出不論遞增或遞減，圖都會經過的這一個點。其遞增遞減性相對的較其他圖形高很多。 EX：代入

指數範例-2 • 生活中必接觸到的指數範例有 • 存錢在銀行時的複利計算。(問:月複利較佳或年複利?) • 在18世紀時，英國經濟學家兼人口學家Malthus就觀察到人口數的成長亦存在指數現象。他當時提出的估算與現今的世界人口數幾乎只有0.21%的誤差。令本金, 存錢n個月後的本利和, 年利率人口(億) 60 50 40 30 20 10 年 1800 1900 2000

指數範例-3 • 放射線的衰變：居禮夫人(發現鐳)與利比(發現碳14)皆因發現放射線元素具有指數型態的半衰期，而雙雙獲得諾貝爾獎。 • 鐳的半衰期是1600年 • 碳14訂年法式考古學家或許多醫學家與地質學家利用來判定的好工具。(碳14的半衰期為5770年)

5-1 Exponential Function (1) • , 指數函數 • 自然界最常見的指數應用，其基底(base)為 (餓.吃ㄧ包) 。 e是由而求得的無理數(irrational number) 這個e數是由瑞士的數學家提出 Leonhara Fuler 1 2 10 2.59374246 100 2.704813829 1000 2.716923932 ︰︰ 1000000 2.718281827 (餓.吃ㄧ包二包一包二次)

5-1 Exponential Function (2) EX：我們平常存款的複利他的成長就具有自然指數的現象，所以e是非常生活化也存在自然界的數。(說明如下) 利息 ( Why ? ) balance 本金期數 ∵ 令若考量要存很久( ) 原來複利的夠久它就是自然指數這就是e囉

5-1 Exponential Function (3) EX：令本金有$10000&利息為8%(複利) ，則3年後本利和約為多少? sol：與利用來算 (年代愈久, 則e的值會愈接近實際值)

5-1 Exponential Function (4) EX： If the fish population is growing with • How many fish at the beginning? • How many fish will it be after 10 years? • What is the max no. of fish supported by the lake? sol： a. 開始的魚數 b. 當 c. 當

5-1 Exponential Function (5) • Property of exponents： 1 2 4 3 5 6 7

上台練習 1 2 3 4 5

5-2 Logarithmic Function (1) • 對數(Logarithmic)和指數互為親戚 • 常用對數符號： (基底均同, 但指數的答案為對數的內容) (叫自然對數)

5-2 Logarithmic Function (2) EX：求的解 sol： EX：求的解 sol： EX： , 求 x 解 sol：

5-2 Logarithmic Function (3) • 常用的對數特性(Property) 1 2 3 4 5 6 7

5-2 Logarithmic Function (4) EX：請簡化下列各式 a b c d e

5-2 Logarithmic Function (5) • 所以前面指數等相關議題或應用，現在都可以利用對數交互來計算。例如前面所提亦可反求r或反求t的值。實例一: 若想在8年內賺兩倍, 則請問利息應為何? sol：解r

5-2 Logarithmic Function (6) 實例二: 若細菌成長為指數型態, 且細菌由起始400個增加到1000個只需3小時, 問10小時候有多少細菌? sol：所以10小時候約實例三: Radium(鐳) half life is 1600 years. If begins with an 80-gram of radium, how many grams will be remain 200 years from now? sol：先求k

5-2 Logarithmic Function (7) 實例四: 碳14定年法(已知碳14半衰期為5730年) 在Alps(阿爾卑斯山)發現一化石, 其碳14剩0.53

5-3 Differentiation of Exponential Function(1) • 指數的微分和第3章所教的相同。其證明詳如p.279 pf: 對沒影響逼近1(參見課本279頁)

5-3 Differentiation of Exponential Function(2) EX： , 求其微分即 u v sol：令u , 求 EX：令v sol：代入

5-3 Differentiation of Exponential Function(3) EX：若 , 求 sol： u u’ 令u 令u EX：令 , 求 sol： u’

5-3 Differentiation of Exponential Function(4) • ，即 EX： , 求 (即 ) 令u sol： EX：美國1982-1987的單親家庭房屋的價格成長公式為 (t為年, 1982為第0年即t=0, p(t)為價格) 求房屋成長率, 自1982~2987 求1985的價格變化率 1 2 sol： 1 (1985為第3年, 由1982算起) 2

5-3 Differentiation of Exponential Function(5) 說明: 由於 pf： EX：求 when u v sol：

上台練習 EX： , 求 sol： EX： , 求 sol：代

5-4 Differentiation of Logarithmic Function (1) • 若，u為x的函數，則即 EX： , 求 sol：令

上台練習 EX：若 , 求 sol：令 EX： , 求 sol：令 , 即

上台練習 , 求Relative Extrema(RE)相對極值 EX： sol： ∵要求RE ∴令 1/3 1/2 (∵ln不能有x<0的數∴不討論) - +

5-4 Differentiation of Logarithmic Function (2) • ，則 (即 ) pf：若 , 則若 , 則 ∴得証

5-4 Differentiation of Logarithmic Function (3) • 若非指數為底則其微分公式亦同 , 則 ∴若 , 則若 , u為x的函數, 則

5-4 Differentiation of Logarithmic Function (4) EX： , 求 sol：令同理, 若 , 則 EX：令 , 求 sol：即求令

5-4 Differentiation of Logarithmic Function (5) EX：若 , 求 sol：這一題由於base有x, exponent也有x, 故應先設法予以化簡再求微分令 , 則兩邊取兩邊一起微分 u v

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