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第 5 章 无限长单位脉冲响应（ IIR ） 数字滤波器的设计方法

第 5 章 无限长单位脉冲响应（ IIR ） 数字滤波器的设计方法. 低通. 0. 高通. 0. 5.1 基本概念. 5.1.1 选频滤波器的分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通. 带阻. 0. 全通. 带通. 0. 0. w. j. w. £. w. -. d. £. á. +. d. ,. 1. H. (. e. ). 1. p. 1. 1. 通带截止频率. w. j. w. £. w. £. p. £. d. ,.

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第 5 章 无限长单位脉冲响应（ IIR ） 数字滤波器的设计方法

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  1. 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR） 数字滤波器的设计方法

  2. 低通 0 高通 0 5.1 基本概念 5.1.1 选频滤波器的分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通

  3. 带阻 0 全通 带通 0 0

  4. w j w £ w - d £ á + d , 1 H ( e ) 1 p 1 1 通带截止频率 w j w £ w £ p £ d , H ( e ) 2 s 阻带截止频率 通带容限 阻带容限 过渡带 通带 阻带 0 5.1.2 滤波器的技术指标

  5. 通带允许的最大衰减（波纹） ： 阻带应达到的最小衰减 ：

  6. 5.1.4 滤波器的设计步骤 • 按任务要求确定Filter的性能指标； • 用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求； • 选择适当的运算结构实现这个系统函数； • 用软件还是用硬件实现。

  7. 模拟低通filter设计数字滤波器 5.2 IIR滤波器的设计特点 滤波器 设计方法 最优化设计法

  8. 模拟滤波器设计数字滤波器方法步骤： （1）将数字滤波器的技术要求 对模拟滤波器的技术要求； （2）设计模拟滤波器 — 求模拟滤波器的传递 一致 函数Ha(s)； （3） Ha(s) H(z)。

  9. 的映射关系应满足: （1）数字滤波器的频率响应应能模仿模拟滤 波器的频率响应，即 Z平面的单位圆 S平面的虚轴 （2）因果稳定的模拟系统变换为数字系统仍 为因果稳定的。 Z平面的单位圆内 S平面的左半平面

  10. 5.3 常用模拟低通滤波器的设计方法 5.3.1由幅度平方函数确定系统函数 1、幅度平方函数

  11. （2）分解 得到各零极点，将左半面的 极点 归于 ，对称的零点任一半归 。若要求最小相位延时，左半面的零点归 （3）按频率特性确定增益常数。

  12. 确定 极点为 零点为： 选极点-6，-7，一对虚轴零点 为 的零极点 例 解：

  13. 5.3.2巴特沃思低通逼进 1.0 N=2 N=4 N=8 0 1、幅度平方函数 （1）通带内有最大平 坦的幅度 特性； （2）单调减小 ；

  14. 方法3: 方法1: 2、巴特沃思filter的系统函数确定

  15. 方法1: 也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布 在巴特沃斯圆上（半径为 ），共有2N点。

  16. 4 偶数 奇数

  17. 方法2:

  18. 方法3:

  19. 例 5-1 导出三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数， 设Ωc＝2 rad/s。 解: 幅度平方函数是: 令Ω2=-s2即s=jΩ，则有 k=1, 2, …, 6

  20. Ha(s)的由s1, s2, s3三个极点构成极点 系统函数为 :

  21. 例 5-2 设计一个满足下面要求的模拟低通巴特沃思滤波器： (1) 通带截止频率：Ωp=0.2π；通带最大衰减：Ap=7 dB。(2) 阻带截止频率：Ωs=0.3π；阻带最小衰减：As=16dB。 解: 为了准确在Ωp满足指标要求，得

  22. 为了准确在Ωp满足指标要求，得 现在在上面两个数之间可任选Ωc值。现选Ωc=0.5，这样就必须设计一个N=3和Ωc=0.5 的巴特沃思滤波器，模拟滤波器Ha(s)的设计类似于例5-1。最后可得

  23. 5.4 用脉冲响应不变法 设计数字滤波器

  24. 采样 模仿 5.4.1 变换原理 一、原理

  25. 二、 s平面与z 平面间的映射 s平面的虚轴映射z平面的单位圆（r=1) s平面的左半平面映射z平面单位圆内（r<1） s平面右半平面映射z平面单位圆外（r>1）

  26. 1 -1 0

  27. w - p ¥ 1 2 k å w = j H ( e ) H ( j ) a T T = -¥ k 5.4.2 混迭失真 数字滤波器的频响并不是简单的重复模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器的频响的周期延拓，即

  28. 0 信号频响在折叠频率处快速衰减 减小混迭 失真方法 加大采样fs

  29. 5.4.3 模拟滤波器数字化方法 一般方法： 简单方法：

  30. 1、方法的简化 设 只有单阶极点，而且分母的阶次大于分子的阶次， 可展成如下的部分公式

  31. 1） 2、几点结论 2）系数相同 3）模拟滤波器是稳定的，数字滤波器也 是稳定的。 4）S平面的极点与Z平面的极点一一对应，但两平面零点并不一一对应。

  32. 3.存在的问题

  33. [例6-3] 模拟滤波器的系统函数为 ， 试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器，T=1 解：

  34. 优点： • 频率坐标变换是线性的，即 • 数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟 滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好。 5.5.4 脉冲响应不变法优缺点 缺点 • 会产生频率混叠，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。

  35. 5.5 用双线性变换法 设计IIR数字滤波器

  36. 5.5.1. 变换原理

  37. 通过欧拉公式，可得：

  38. 双线性变换

  39. 5.5.2.逼近情况

  40. 说明：稳定的模拟滤波器双线性变换后仍是的数字滤波器说明：稳定的模拟滤波器双线性变换后仍是的数字滤波器

  41. 5.5.3优缺点 优点：避免了频响的混叠失真 缺点：频率非线性 幅频响应分段常数型

  42. 5.5.4 模拟滤波器数字化方法 直接代入法 间接代入法 表格法 数字化方法 1.直接代入法

  43. 2.间接代入法 将模拟滤波器的系统函数H(s)分解成级联或并联形式，然后在对每一个子系统函数进行双线性变换。 3.表格法 能预先求出模拟滤波器与数字滤波器的系统函数之间的关系，设计问题则变成查表，简单易行。

  44. 确定数字低通滤波器的技术指标利用 转化为模拟滤波器技术指标 ★若给定待设计的模拟滤波器技术指标f，需要预 畸变求得响应的数字滤波器技术指标 再求 • 按照Ω的技术指标要求设计模拟滤波器 • 将模拟滤波器从S平面转换到Z平面， 得到数字低通滤波器系统函数H(Z)。 五 模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤

  45. 例 5-4 设计一个一阶数字低通滤波器，3 dB截止频率为ωc=0.25π，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。 解: 数字低通滤波器的截止频率为ωc=0.25π，则巴特沃思模拟滤波器Ωc为： 模拟滤波器的系统函数为：

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