بسم ا... الرحمن الرحيم

1. بسم ا... الرحمن الرحيم درس کنترل ديجيتال مهر 1391 دکتر بهمن قربانی واقعی

2. کنترل پذيري اگر سيستم: سيستم فوق را بطور کامل کنترل پذيريا کنترل پذيرحالت مي گوييم که اگر يک سيگنال ورودي بنحوي وجود داشته باشدکه: U(kT): -piecewise continuous (1) -Defined over a finite # of sampling time (2)

3. پس اگر از هر حالت اوليه بتوانيم حالت X(KT) را به هر حالت دلخواه در n دوره نمونه برداری منتقل کنيم.(Xfيک arbitrary state در فضايn بعدي شامل originمی باشد). با توجه به تعريف، شرط کنترل پذيري را بشرح زير تعريف کرديم: By definition:

4. هرکدام از ستونهاييک بردار ستونيمي باشند ،پس اگر رتبه ماتريس بعدي را فرا گيرد. اين ماتريس را n ميتواند کل فضاي بردار n پس، ماتريس کنترل پذيري مي گوييم. • بايد توجه داشت که تمام حالاتي را که مي توان ازمبدأبه آنها دسترسي پيدا نمود،توسط ماتريس کنترل پذيري (ستونهاي آنها) فرا گرفته ميشوند.به عبارت ديگر: را که مي توانستونهاي ماتريس کنترل پذيري است که دسترسي به حالاتيspanningفرا گيري ازمبدأبه آنها دسترسي پيدا نمود را فراهم ميسازد.

5. لذا: اگر پس براي هر حالت دلخواه ، يک سلسله سيگنالهاي ورودي u((n-1)T),…,u(T),u(0) را تأمين مي نمايد.(**) هستند بنحوي وجود دارد که معادله Unbounded که همگي پس شرط جهت تست كنترل پذيري، شرط كافي است. که همچنين شرط لازم براي تست کنترل پذيري کامل است، (**)براي آنکه ثابت کنيم فرض مي کنيم که :

6. دلخواه عبارتiسپس با استفاده از قضيه كيلي-هميلتون، مي توان نشان داد که براي هر ميتواند بعنوان يک تركيب خطي از شرح داده مي شود، لذا براي هر i بعدي را فرا گيرند ودر نتيجهn نمي توانند کل فضاي خواهد بود وبردارهاي براي هر ممکن نيست که داشته باشيم ها.iبراي تمام پس شرط شرط لازم براي کنترل پذيري نيز هست.

7. در نتيجه: شرط لازم وکافي برايکنترل پذيري آنست که unbounded , u(kT)بايد توجه داشت که اين امر زماني تحقق خواهد يافت که باشد. براي توضيح بيشتر رجوع شود بهpiecewise-constant A6-2 يک بردار باشد، يعني: U(kT)حال اگر شرط کنترل پذيري ماتريس آنست که:

8. II. Output controllability 1- گفتيم که در حالتهاي واقعي طراحي، گاهي اوقات بجاي آنکه بخواهيم توسط کنترل حالت، طراحي را بانجام برسانيم، لازم است که با کنترل خروجي اينکار را بانجام برسانيم 2- شرط کنترل پذيري حالت، نه شرط لازم ونه شرط کافي براي کنترل پذيري خروجي است. (3) لذا، لازم است تا کنترل پذيري خروجي را بصورت مجزا تعريف کنيم:

9. U (kT)را بطور کامل کنترل پذيري خروجي مي گوييم که اگر بتوان سيگنال ورودي(E) سيستم را (بطوريکه Unconstrained control signal Defined over a finite # of sampling period را بتوانيم به نقطهy(kT)شروع کنيم، خروجيy(0) بنا نمودبنحوي که اگر هر خروجي اوليه پريود نمونه گيري منتقل نماييم. n در فضاي خروجي، حداکثر در دلخواه PROVE:

10. بايد توجه داشت که نقطه دلخواه بعدي خروجي است. m نماينده يک نقطه دلخواه در فضاي

11. پس همانند حالت کنترل پذيري حالت، شرط لازم و کافي براي کنترل پذيري خروجي آنست که بردارهاي بعدي خروجي را فرا گيرند، يعني اينکه: بتوانند فضاي m ،بطور کامل کنترل پذير حالت باشد، آنگاه شرط لازم و کافيE ميتوان نتيجه گرفت که اگر (E) از سيستم ، مستقل خطي باشند.Cرديف ماتريسmبراي کنترل پذيري خروجي آنست که بشرح زير باشد: (E) اگر سيستم

13. شرط لازم و کافي براي کنترل پذيري خروجي آنست که رتبه ماتريس .همواره مي تواند جهت ايجاد وتأسيس کنترل پذيري خروجي مهم باشدDوجود ماتريس

14. III. Observability را اگر هر حالت اولیه گفتیم که یک سیستم را بطور کاملمشاهده پذیر می گوییم، بدست آوریم.Y (kT) over a finite # of sampling period بتوانیم از مشاهده اگر سیستم :

15. ورودی سیستم یعنی هستند و known همگی D,C,H,G از آنجا که ماتریس های شناخته شده می باشند. هم شناخته شده است، لذا ترمهای دوم وسوم معادله U(kT) ،تفریق نمود.پس بنابراین برای Y(kT) می توان از تعداد مشاهده شده بنابراین آنها را بدست آوردن شرط لازم و کافی مشاهده پذیری سیستم جهت بررسی کافی خواهد بود.

16. تعریف : که Y (Kt) سیستم را بطور کاملمشاهده پذیر می گوییم،اگرخروجی تعریف شده باشد،بتوان حالت اولیه Over a finite # of sampling period را از آن بدست آورد. X(0) To prove: Given :

17. y(0),y(T),y(2T),… از فضای مشاهده پذیری در می یابیم که مشاهده پذیری یعنی اگر را بدست آورد، باشند، این امر ممکن است که داده شده را نیاز داریم. Y (kT) یعنی برای بدست آوردن مقدار از n ما فقطمجهول، n مقدار y((n-1)T),…,y(T),y(0) یا y (kT) مقدار n لذا ما می توانیم اولین استفاده کنیم. را برای بدست آوردن

19. simultaneous معادله n است، و در بالا یک بردار Y (kT) از آنجا که معادله خواهیم داشت.nm داریم لذادر نتیجه برایuniqueبرای آنکه یک پاسخ nm از nm معادله بدست آوریم، ما باید معادله ، معادله مستقل خطی از n بتوانیم دقیقاً بدست آوریم.در نتیجه شرط مشاهده پذیری آنست كه :

20. conjugate transpose باید توجه داشت ،از آنجا كه رتبه یك ماتریس و ماتریس همان ماتریس با هم برابرند لذا می توان شرط لازم وكافی برای مشاهده پذیری را بشرح زیر بیان نمود. شرط لازم وكافی برای مشاهده پذیری سیستمآنست كه: باشند: real ،G,C اگر

21. - اگر سیستم بفرم جردن باشد، شرط لازم وکافی برایمشاهده پذیری عبارتست از: (1)درفرم جردن، دو بلوک جردن بستگی به یک مقدار ویژه ندارند. که مربوط به اولین ردیف هر بلوک جردن هستند، همگی صفر Cs (2)ستونهای نمی باشند. که مربوط به یك مقدار ویژه مجزا است،صفر نمی باشد.Cs (3) هیچ ستونی از • مثال:

25. ارتباط بين مشاهده پذيري وکنترل پذيري: قانون دوگاني S1 : X((k+1)T)=G x(kT) +H u(kT) Y(kT)=C x(kT) سيستم دوگان آنرا بشرح زير تعريف مي کنيم: : s2:

26. principle of duality اگر s1 سيستم مشاهده پذير(کنترل پذير) باشد. s2 طور کامل کنترل پذير(مشاهده پذير) است For system s1: (1) شرط لازم وکافي براي کنترل پذيري عبارتست از:

27. (2) شرط لازم وکافي براي مشاهده پذيري عبارتست از: For system s2: (1) شرط لازم وکافي براي کنترل پذ يري عبارتست از: (2) شرط لازم وکافي براي مشاهده پذيري عبارتست از:

28. در مورد سيستمهايي که از حالت پيوسته به گسسته زمان تغيير يافته اند، بايد توجه داشت که دخيل نمودن نمونه گيري ممکناست که باعث از بين رفتن مشاهده پذيري/ کنترل پذيري سيستم بدست آمده بشود. علت آنهم حذف صفروقطبهاي سيستم گسسته زمان خواهد بود. اگر سيستمي بطور کامل کنترل پذير/ مشاهده پذير باشد، درعدم حضور نمونه گيري، کنترل پذير/ مشاهده پذير باقي خواهد ماند.

29. Useful transformations in s.s. analysis & design • Transforming s.s. equs. into canonical forms: • a) Controllable canonical form • b) Observable canonical form • c) Diagonal/Jordan canonical form • Given: • X (k+1)=G X (k) + H U (k) • Y (k) =C X (k) + D U (k) • a) I. Controllable canonical form • انتقال بفرم كنترل پذير را توسط انتقال زير انجام مي دهيد:

30. اجزاء را از معادله مشخصه بدست مي آوريم:

31. جائيکه

33. II.Observable canonical form

34. Transformation: III. Diagonal/Jordan canonical form باشند و بردارهاي ويژه مربوطه به صورت زير باشند:distinct، G ماتريس،(1) اگر مقادير ويژه

36. در حاليکه، عبارتند از مانده قطبيعنيدر صورت حضورخواهند داشت، بعبارتي:

37. در بسياري موارد انتخاب مي کنيم: - شرط لازم وکافي براي کنترل پذيري عبارتست از: - شرط لازم وکافي براي مشاهده پذيري عبارتست از: وجود دارند: G(2) مقادير ويژه بصورت تکراري در ماتريس در اينحالت تبديل روبرورا انتخاب ميکنيم.

38. در حاليکه،عبارتند ازبردارهاي ويژه (که مربوط بهdistinct هستند) يامقادير ويژهgenerated مي باشند.

39. ضرايبي هستند که در تابع تبديل پالسي حضور دارند: در بسياري موارد انتخاب مي کنيم: - شرط لازم وکافي براي کنترل پذ يري عبارتست از: - شرط لازم وکافي براي مشاهده پذيري عبارتست از:

40. Classic stabilizing controller Separates into observer and controller Closed loop dynamics same as designed dynamics Observer error known to go asymptotically to zero Plant Controller Observer State Feedback Controller

41. Pole placement طراحي توسط • مفروضات: • تمام متغيرهاي حالت قابل اندازه گيري مي باشند. • تمام متغيرهاي حالت در دسترس مي باشند. • طراحي :اگر سيستمي بطور کامل کنترل پذير باشد،سپس قطبهاي حلقه بسته را مي توان در هر محل دلخواه با استفاده از فيدبک حالت وتوسط ماتريس بهره فيدبک قرار داد. است.unbounded: سيگنال کنترل که اندازه آنu(k) : ماتريس بهره فيدبکk عبارتند از قطبهاي دلخواهG-HKيعني مقادير ويژه

42. - شرط لازم وکافي براي آنکه بتوانيمpoleplacementرا بانجام برسانيم آنست که سيستم بطورکامل کنترل پذير باشد. شرط لازم : اگر سيستم کنترل پذيرنباشد آنگاه مقادير ويژه اي ازG-HKوجود خواهند داشت که نمي توان آنهارا توسط فيدبک حالت کنترل نمود. شرط کافي: اگر سيستم بطور کامل کنترل پذيرباشد آنگاه ماتريسKبنحوي وجود خواهد داشت که باعثمي شود تا مقادير ويژه G-HKدر محلهاي دلخواه قرار گيرند.

43. بررسي اثر فيدبك حالت بر روي صفرهاي سيستم حلقه بسته فرض كنيد كه سيستم زیر داده شده است : تابع تبديل نکته : اگرچه قطبها از فيدبك حالت تأثيرپذيرند اما صفرهاي آن تغييري نمي‌نمايند. تابع تبديل سيستم بدون فيدبک حالت : اثبات :

44. تابع تبديل سيستم حلقه بسته در حضور فيدبک حالت : نکته : اين امر مي‌تواند بر روی مشاهده پذيریسيستم اثر بگذارد. در واقع می تواندمشاهده‌ناپذيريسيستم را بدنبال داشته باشد.چون مي‌توانيم يكسري قطبهاي دلخواه تعريف كنيم كه با صفرهایسيستم برابر باشند.