第一节 间接平差原理

1. 第四章 间接平差 X1 X2 第一节 间接平差原理 要求 间接平差法（参数平差法）是通过选定t个独立未知量作为参数，将每个观测值分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。 先看一个确定三角形形状的例子： 令： 平差值方程 误差方程 基础方程 参数的解

2. 第四章 间接平差 第一节 间接平差原理 一般地：设有n个观测值 令： 则有： 一、间接平差原理 设有n个观测值 ，必要观测个数为t, 选定t个独立参数 近似值取为 ，有 平差值方程为： 令： 观测值平差值

3. 第四章 间接平差 第一节 间接平差原理 令： 则上式变为： 要求： 对自变量X求导，令一阶导数为0，即： 令： 则有： 将基础方程第一式代入第二式，得： 令： 则有： 法方程的解： 或 观测值和参数的平差值： 法方程 误差方程 P为对角阵 基础方程

4. 第四章 间接平差 第一节 间接平差原理 二、计算步骤 1.确定t,选t个独立量为参数X. 2.列立误差方程 3.组成法方程 式中 4.解算法方程,求参数的改正数 或 5.求观测值改正数 6.求平差值 7.精度评定 (以后介绍)

5. 第四章 间接平差 第一节 间接平差原理 三、例题(P104-106) 1.选取 、 两点高程平差值为未知参数 取其近似值: 定权:C=2 2.列立误差方程

6. 第四章 间接平差 第一节 间接平差原理 3.组成法方程 4.解算法方程 5.求改正数 6.求平差值 观测值平差值 参数平差值

7. 第四章 间接平差 第二节 误差方程的列立 一、参数个数的确定 参数的个数等于必要观测个数。 水准网：有已知点：等于待定点个数。 无已知点：待定点数减1。 测角网：有四个必要的起算数据，等于2倍待定点数。 少于四个必要起算数据，等于2倍总点数减4。 测边网、边角网、导线网：有四个必要的起算数据，等于2倍待定点数。 少于四个必要起算数据，等于2倍总点数减3。 二、参数的选取 可以选直接观测值的平差值，也可以选非直接观测量的平差值，甚至二者兼而有之。要保证参数独立。 水准网一般选待定点高程平差值； 三角网和导线网选待定点坐标平差值。 三、误差方程的列立 方法：把观测值表示成所选参数的函数 水准网和GPS网一般是线性的，三角网和导线网一般为非线性的。如图测角网，选D点坐标平差值为参数：

8. 第四章 间接平差 第二节 误差方程的列立 再如下图的测边网： 以上均为非线性形式，需要线性化。 二、参数的选取 可以选直接观测值的平差值，也可以选非直接观测量的平差值，甚至二者兼而有之。要保证参数独立。 水准网一般选待定点高程平差值； 三角网和导线网选待定点坐标平差值。 三、误差方程的列立 方法：把观测值表示成所选参数的函数 水准网和GPS网一般是线性的，三角网和导线网一般为非线性的。如图测角网，选D点坐标平差值为参数：

9. 第四章 间接平差 第二节 误差方程的列立 四、误差方程的线性化 一般方法：按泰勒公式展开： 展开： 下面结合测角网和测边网，介绍其误差方程的线性化问题，并从中找出线性化的规律。 1.测角网坐标平差的误差方程 下面先求坐标改正数与方位角改正数之间的关系 ，，…， 坐标方位角改正数

10. 第四章 间接平差 第二节 误差方程的列立 四、误差方程的线性化 1.测角网坐标平差的误差方程 而： 代入上式得： 同理得：

11. 第四章 间接平差 第二节 误差方程的列立 四、误差方程的线性化 1.测角网坐标平差的误差方程 角度误差方程： 考虑到： 代入并令： 注意四种特殊情况公式的变化 见P110 坐标方位角改正数方程 将坐标方位角改正数方程代入即可，见P111

12. 第四章 间接平差 第二节 误差方程的列立 四、误差方程的线性化 1.测角网坐标平差的误差方程 提示: 列立步骤： 1.计算网中各待定点近似坐标; 2.计算各边的近似边长和近似坐标方位角; 3.列出各边坐标方位角改正数方程,计算系数; 4.列出角度误差方程. 记忆规律

13. 第四章 间接平差 第二节 误差方程的列立 四、误差方程的线性化 1.测边网坐标平差的误差方程 提示:按J-K方向与按K-J方向列立的方程相同 [例4-3] 见教材 P113-116 导线网是上述两种情况的综合,此时要注意观测值权的确定. 注意:四种特殊情况 记忆规律

14. 第四章 间接平差 第二节 误差方程的列立

15. 第四章 间接平差 第三节 精度评定 二、协因数阵 已知 求： 基本思想： 把这些向量表示成已知协因数阵的量L 的线性函数，然后用协因数传播律求解。 具体表示方法要用到平差原理中的主要 公式。 一、单位权中误差 其中： 顾及 则 而

16. 第四章 间接平差 第三节 精度评定 要想找 ，要么把 化为 的 函数，要么先求如下协因数阵： 则： 二、协因数阵 因： 所以： 其中： 根据协因数传播律： 则 而

17. 第四章 间接平差 第三节 精度评定 其实只需全微分即可： 参数函数： 全微分： 令 则有： 令： 协因数： 中误差： 三、参数函数的中误差 设参数函数 按泰勒公式展开 顾及 则 而 令： 权函数式

18. 第四章 间接平差 第三节 精度评定 [例题]参阅教材 P120-122 四、参数的中误差 参数的协因数阵： 对角线元素就是各参数的协因数，有： 参数的中误差： 权系数阵

19. 第四章 间接平差 第三节 精度评定

20. 第四章 间接平差 第四节 公式汇编 法方程的解： 平差值： 单位权中误差： 参数协因数阵： 参数中误差： 观测值个数n，必要观测个数t，选t独 立量为参数 近似值取： 有： 平差值方程： 误差方程： 常数项： 或 法方程： 式中：

21. 第四章 间接平差 第四节 公式汇编 * 参数函数： 权函数式： 式中： 其中： 函数协因数： 函数方差：

22. 第四章 间接平差 第五节 附有限制条件的间接平差 二、协因数阵 除了要列立18个误差方程外，还要列出 这2个参数之间的条件式。 简 介 间接平差要求选u=t个独立的参数，但 有时所选参数的个数会大于t , 即：u>t 如图测角网，n=18 ,又高精度观测了 P1~P2的边长和P3~P4边的方位角，则 t= 2X5-2=8 , 但在平差时，一般仍然选择各待定点的 坐标平差值为参数，即： u=10>t 多选2个参数，在参数之间就会产生2个 条件式：

23. 第四章 间接平差 第五节 附有限制条件的间接平差 根据第二章知，线性化后有： 要求满足： 组成新函数： 求一阶导数并令其为零： 转置后： 此式与函数模型一起称为“基础方程” 一、平差原理 设有n个观测值 L，权阵为 P ，必要观 测个数为t , 选取u>t个参数 X ，则不独 立参数的个数为： s=u-t 方程总数为：r+u=r+t+s=n+s （个）。 其中包含 n 个误差方程和 s 参数之间的 条件方程。一般形式为： 或 函数模型

24. 第四章 间接平差 第五节 附有限制条件的间接平差 法方程解法一（显性形式）： 用 左乘（4）-（5）得： 令： 则： 所以： 代如（4）： 代入（1） （1） 基础方程 （2） （3） （1）代入（3）上式变为： 令： （4） （5） 参数改正数 改正数 法方程

25. 第四章 间接平差 第五节 附有限制条件的间接平差 代入误差方程求观测值改正数： 求平差值： 解法二（矩阵形式） 由前知 （4） （5） 上面法方程可写成如下形式： 法方程的解： 法方程

26. 第四章 间接平差 第五节 附有限制条件的间接平差 基础方程为： 二、精度评定 1.单位权中误差 其中： r+u = n+s

27. 第四章 间接平差 第五节 附有限制条件的间接平差 二、精度评定 2. 协因数阵 基本思想是把其它变量表示为已知协因数阵的量的线性函数。

28. 第四章 间接平差 第五节 附有限制条件的间接平差 其中： 如何求参数的中误差？？？ 三、公式汇编及示例 1.公式汇编 函数模型： 法方程： 式中： 二、精度评定 3. 参数函数的协因数

29. 第四章 间接平差 第五节 附有限制条件的间接平差 根据第二章知，线性化后有： 参数的函数： 权函数式： 式中： 函数的协因数： 函数的中误差： 如果要求参数X的中误差，直接从Qxx中 抄其协因数，开方后乘单位权中误差。 三、公式汇编（续） 参数的解： 式中 平差值 单位权中误差：

30. 第四章 间接平差 第五节 附有限制条件的间接平差 n = 18 t=2*5-2=8 u=2*5=10 限制条件方程个数： s = u–t =2 方程总数 C= r+u = n+s = 20 误差方程数：n = 18 = c-s 详见课本 P129-133 第六节 间接平差估值的统计性质 （知道结果即可，自学） 三、公式汇编（续） 2.示例