高等院校非数学类本科数学课程

高等院校非数学类本科数学课程 大学数学（一） —— 一元微积分学第二讲初等函数及数列极限的概念

一、基本初等函数 大家在中学就已熟悉它们了！

以下六种简单函数 称为基本初等函数 1. 常值函数y = C ( C为常数) 2. 幂函数 y = x  ( R 为常数) 3. 指数函数 y = a x ( a > 0, a  1 )

4. 对数函数 y = loga x ( a > 0, a  1 ) 5. 三角函数 y = sin xy = cos xy = tan x y = cot xy = sec xy = csc x 6. 反三角函数 y = arcsin x y = arccos xy = arctan x y = arccot x y = arcsec xy = arccsc x 详情见书

二、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而成的函数, 称为初等函数。

例如都是初等函数.

因为它可以改写为初等函数 的形式. 一般说来, 分段函数不是初等函数. 但有个别分段函数例外，例如

解构成的复合函数, 与它是由幂指函数是否为初等函数？例故该幂指函数是一个初等函数.

六、双曲函数反双曲函数 学习双曲函数时,注意与中学学习过的三角函数进行比较,找出它们之间有关定义及计算公式的相同处和不同处。

1. 双曲函数的定义及性质 双曲正弦双曲余弦双曲正切双曲余切双曲正割双曲余割

双曲正弦、双曲余弦的图形 悬链线

双曲正弦函数的 双曲正弦函数在其定义域内是单调增加的 (, ) 定义域为双曲正弦函数是奇函数

双曲余弦函数 双曲余弦函数的在(, 0)内单调减少 (, ) 定义域为在[0, )内单调增加双曲余弦函数是偶函数

双曲正切、双曲余切的图形 y = cth x y = th x

双曲正切函数 双曲正切函数是单调增加的且有界 (, ) 定义域为 | th x |  1 双曲正切函数是奇函数

与三角函数的 公式进行比较 2. 部分公式

x (, )。 3. 反双曲函数 (1) 反双曲正弦函数双曲正弦函数 y = sh x 是 (, ) 到 (, ) 的一一对应, 故它的反函数存在, 通过初等的代数运算可得习惯上写成

是到双曲余弦函数 y [1, )。由解得 (2) 反双曲余弦函数上的映射, 但不是一一对应。这里有两支, 单独来看, 这两支分别都可作为双曲余弦的反函数。

的反函数, 记为 y[1, )。通常取 y[1, ) x[1, )。习惯上记为并称该支反函数为反双曲余弦的主支。通常所说的反双曲余弦函数即指此主支。

类似于上面的作法, 可以得到 arth x , arcth x , arsech x , arcsch x 的表达式.

第二章极限 本章学习要求：

第一节数列的极限 一、数列二、数列极限的定义三、数列极限的性质四、数列的收敛准则

一、数列 数列也称为序列 1. 定义称为一个数列,记为{ xn }. 数列中的每一个数称为数列的一项 xn = f (n)称为数列的通项或一般项

x1 x2 xn … … 例1 x ••••• ••••• ••••• … … 2n 0 2 4 介绍几个数列

… x2 … x1 x3 xn ••••• ••••• x 0

x 1 0 –1 所有的偶数项所有的奇数项

x x x4 x2 1 3 x ••••• ••••• 0 1 M 所有奇数项

… … x1 x3 x2 xn x ••••• ••••• 0 … … 1

3. 数列的性质 单调性有界性

数列单调减少的情形怎么定义？ (1)数列的单调性单调增加不减少的

单调减少 不增加的

严格单调增加(单调增加) 单调增加(不减少的) 严格单调减少(单调减少) 单调减少(不增加的) 数列统称为单调数列

(2) 数列的有界性 回想一下前面讲过的函数的有界性的情形我学过吗？

数列的有界性的定义 想想：有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？如何定义数列无界？

| xn| <M, nN  xn  U( 0, M ), nN ( ) ••••• ••••• x －M 0 M 从数轴上看, 有界数数列 { xn }的全部点都落在某区间(－M, M ) 中.

… x2 … x1 x3 xn 例2 ••••• ••••• x 0 观察例1 中的几个数列：

x 1 0 –1

x x x4 x2 1 3 x ••••• ••••• 0 1 M

… … x1 x3 x2 xn x ••••• ••••• 0 … … 1

x1 x2 xn … … x ••••• ••••• ••••• … … 2n 0 2 4 有些数列虽然无界, 但它或者是下方有界的, 或者是上方有界的.

{xn}: 有界 既有上界 又有下界. 若 xn  m , mR，则称{xn} 有下界. 若 xn  M , MR , 则称{xn} 有上界.

一个数列有界(有上界, 有下界), 则必有无穷多个界(上界, 下界).

现在来讨论如何定义数列的无界性： 首先看有界性定义的关键所在对所有的

例3 分析证

二、数列的极限 0 0 1

容易看出: 当 无限增大时, 当无限增大时的变化趋势. 讨论数列极限描述的是变量的变化趋势.       x2n x3 x2 x2n-1 x1 x4 ( ) ( ) ) ( ••• ••• •••• ••• ••• •••• ••• ••• * x 0

这就是该数列的变化趋势 “ n 无限增大”记为n  . 当 n   时以零为此时称数列极限, 记为：

      的图上看, 从数列 x2n x3 x2 x2n-1 x1 x4 ( ) ( ) ) ( ••• ••• •••• ••• ••• •••• ••• ••• * x 0 一般化表示：n   时, xn  a .

预先任意给定一个正数  > 0, 不论它的值多么小, 当 n 无限增大时, 数列{ xn } 总会从某一项开始, 以后的所有项（在 U(0,  ) 外面只有有限项）都落在 U(0,  ) 中.

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