计算机专业基础课程

1. 计算机专业基础课程

2. 量词嵌套语句的谓词形式化 • 每个人都有些缺点 • M(x): x是人；F(x): x是缺点；H(x,y):x有y • x (M(x)→ y(F(y)∧H(x,y))) • 每个人都有人爱，但没有人为所有人爱 • M(x)：x是人，L(x,y)：x爱y • x (M(x)→y(M(y)∧L(y,x)))∧ ┐x (M(x)∧y(M(y)→L(y,x))) • 有且仅有一个偶质数 • P(x)：x是偶数；Q(x)：x是质数 • !x(P(x)∧Q(x)) • x(P(x)∧Q(x)∧y(P(y)∧Q(y)→x=y)) • x(P(x)∧Q(x))∧xy(P(x)∧Q(x)∧P(y)∧Q(y) →x=y) 第14讲 谓词演算永真式

3. 量词嵌套语句的谓词形式化 • 并不是火车都比汽车跑的快，有的汽车比有的火车跑的快 • T(x): x是火车；C(x): x是汽车；F(x,y):x比y快 • ┐x (T(x)→y(C(y)→F(x,y))∧x(C(x)∧y(T(y)∧F(x, y) • ┐xy(T(x)∧C(y)→F(x,y))∧x(C(x)∧y(T(y)∧F(x, y) • 有位妇女已搭乘过世界上每一条航线上的航班 • W(x)：x是妇女；L(x)：x是航线；F(x)：x是航班 • Q(x, y)：x是y航线上的航班； • P(x, y)：x搭乘过y航班 • x(W(x)∧y(L(y)→z(F(z)∧Q(z,y)∧P(x, z)))) 第14讲 谓词演算永真式

4. 1 2 • PowerPoint Template_Sub 谓词演算基本概念 谓词演算永真式

5. 《离散数学》第14,15讲 谓词演算永真式（上,下） Page 54 to 56

6. 回顾 指派决定命题公式真值 (p∧q)∨r (p ∨q∨r) ∧(p∨┐q∨r) ∧(┐p∨q∨r) (0,1,0) (0,0,0) (1,0,0) 只有在给定了个体域和谓词的意义，再给每一自由变元都指定一个具体的个体之后，谓词公式成为关于个体域的一个命题，才可判定其真值 xL(x2,y) 个体域：实数域 L(x,y)：x ≥y 当y=0时，为真；当y≠0时，为假； 第14讲 谓词演算永真式

7. 回顾 当公式中出现函数和个体常元时，还必须确定函数的意义和常元的取值，才能确定谓词公式的真值 • x(f(x) = a)∧y=1 个体域：实数域 函数f：f(x) = x2 个体常元a：a = ﹣2 个体变元y：y = 1 假 个体域：实数域 函数f：f(x) = x2 个体常元a：a = 5 个体变元y：y = 1 真 个体域：实数域 函数f：f(x) = x3 个体常元a：a = ﹣2 个体变元y：y = 1 真 第14讲 谓词演算永真式

8. 回顾和展望 • 下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影。所以，她去游泳了 • p:马芳下午去看电影; q:马芳下午去游泳 • 前提： p∨q， ┐p • 结论： q • (p∨q)∧┐p┝ q， (p∨q)∧┐p→q为永真式 • 所有人都是要死的，苏格拉底是人，那么苏格拉底也是要死的 • M(x): x是人；D(x): x是要死的 • 前提： x(M(x)→D(x)),M(Socrates) • 结论： D(Socrates) • x(M(x)→D(x))∧M(Socrates)┝D(Socrates) ? • x(M(x)→D(x))∧M(Socrates)→D(Socrates) 为永真式? 第14讲 谓词演算永真式

9. 解释与谓词公式的真值 • 定义：将公式中的谓词、函数符号、常元符号对应于个体域上具体的性质、关系、函数、对象，这种对应关系称为解释，常用大写字母I表示 • I恒把命题常元解释为真值0或1 • 谓词公式真值的确定 • 确定个体域 • 给定一个解释（谓词、函数符号、常元符号） • 将自由变元指派到个体域中具体的个体 第14讲 谓词演算永真式

10. 谓词公式的真值 • 解释 • I 1：P(x)表示x是质数 • I 2：P(x)表示x是合数 • 个体域 • D1={3, 4} • D2={3, 5} 第14讲 谓词演算永真式

11. 谓词公式的真值 • 解释 • I 1：P(x)表示x是质数 • I 2：P(x)表示x是合数 • 个体域 • D1={3, 4} • D2={3, 5} 第14讲 谓词演算永真式

12. 谓词公式的多层次真值概念 • 我们给谓词公式定义以下四个层次的真值概念 • 1、在确定的域D上，在D上确定的解释I下，指派下真 • 2、在确定的域D上，解释I下真 • 3、在域D上真(D上永真) • 4、永真式——在一切域D上永真，即对每一个域上的一切解释下，对每一解释的任一指派下均为真 第14讲 谓词演算永真式

13. 谓词公式的真值 • P(x) • 个体域{﹣1，2}，P(x)的解释：x<0，把2指派给x， • P(2)为假，故P(x)不是永真的 • x(P(x)∧Q(x))∧x(P(x)∧R(x))→x(Q(x)∧R(x)) • 个体域{1，4} • 解释为：P(x)表示x>0，Q(x)表示x=1，R(x)表示x是偶数 • 公式为假，非永真式 • xP(x) xP(x) • 只有一个元素的个体域D上，总是D上永真的 • 当D中的成员个数大于1时，它就不再是D上永真了 • x(P(x)∨┐P(x)) • xP(x)→xP(x) 第14讲 谓词演算永真式

14. 可满足式与不可满足式 • 定义：公式A称为可满足的，如果能够找到某一个体域，该域上的某种解释，以及对公式中变元的某一种指派，使得A在此个体域、解释和指派下为真。否则称A为不可满足的，或永假式 • 当A为永真式时，┐A一定是永假式；反之亦然 第14讲 谓词演算永真式

15. 逻辑等价和逻辑蕴涵 • 定义：设A和B是谓词公式，如果AB为永真式，即对一切的域、每一域上的一切解释、以及每一解释下个体变元的任一指派，A和B都具有相同的真值，则称A逻辑等价于B，记作A┝┥B • 定义：设A和B是谓词公式，如果A→B为永真式，即对一切的域和每一域上的一切解释，任一使A真的个体变元指派均同时使B真，则称A逻辑蕴涵B，记作A┝ B • ┝ B表示B永真 • ┝ B 第14讲 谓词演算永真式

16. 由命题演算重言式得到的谓词演算永真式 • 命题是0元谓词，命题公式是谓词公式的一个子集 • 所有命题演算中的重言式都是谓词演算的永真式 • 命题演算中的逻辑等价式都是谓词演算中的逻辑等价式 • 命题演算中的逻辑蕴涵式都是谓词演算中的逻辑蕴涵式 • A┝ A∨B, B┝ A∨B • A∧B┝ A, A∧B┝ B • A∧(A→B)┝ B • (A→B)∧┐B┝ ┐A • ┐A∧(A∨B)┝ B • ….. • A∧(B∨C)┝┥(A∧B)∨(A∧C) • A∧B→C┝┥A→(B→C) • A→B┝┥┐A∨B • A→B┝┥┐B→┐A • (A→B) ∧(A→┐B) ┝┥┐A • ….. 第14讲 谓词演算永真式

17. 由命题演算重言式得到的谓词演算永真式 • 命题演算的重言式中，同一命题变元用相同的谓词公式代替后所得的仍是永真式 P(x) →P(x) yP(x,y) → yP(x,y) p→p p→(q→p) P(x,y) → (yP(x,y)∨Q(y)→ P(x,y)) ┐┐A(x) ┝┥A(x) ┐┐A┝┥A ┐(A∨B)┝┥┐A∧┐B ┐(A(x) ∨ B(x))┝┥┐ A(x) ∧┐ B(x) A→B┝┥┐A∨B A(x)→B(x)┝┥┐A(x)∨B(x) A∧(B∨C)┝┥(A∧B)∨(A∧C) A(x)∧(B(x)∨C(x))┝┥(A(x)∧B(x))∨(A(x)∧C(x)) (A→B) ∧(A→┐B) ┝┥┐A (A(x) → B(x)) ∧(A(x) →┐ B(x)) ┝┥┐ A(x) 第14讲 谓词演算永真式

18. 谓词演算特有的永真式 • 1、消去量词等价式 • 设个体域为有限集D={a1,a2,…,an}，有 • xA(x)┝┥A(a1) ∧ A(a2) ∧… ∧ A(an) • xA(x)┝┥A(a1) ∨ A(a2) ∨ … ∨ A(an) • 若A是不含有自由变元x的谓词公式 • xA┝┥A • xA┝┥A 第14讲 谓词演算永真式

19. 谓词演算特有的永真式 • 2、 e是任一个体常元 • xA(x)┝ A(e) • A(e)┝ xA(x) • xA(x)┝ xA(x) 第14讲 谓词演算永真式

20. 谓词演算特有的永真式 • 3、 ┐号深入量词的辖域 • ┐xA(x)┝┥x┐A(x) • ┐xA(x)┝┥x┐A(x) • ┐x┐A(x)┝┥xA(x) • ┐x┐A(x)┝┥xA(x) 个体域为有限集D={a1,a2,…,an} ┐xA(x)┝┥┐(A(a1) ∧ A(a2) ∧… ∧ A(an)) ┝┥┐A(a1) ∨ ┐ A(a2) ∨ … ∨ ┐ A(an)) ┝┥x┐A(x) 第14讲 谓词演算永真式

21. 谓词演算特有的永真式 • 3、 ┐号深入量词的辖域 • ┐xA(x)┝┥x┐A(x) • ┐xA(x)┝┥x┐A(x) • ┐x┐A(x)┝┥xA(x) • ┐x┐A(x)┝┥xA(x) 应用：┐x y z(x=y+z) 从公式看，x和x具有对偶性，两个量词之一可以由另一个代替，所以从理论上讲，量词只需一个就够了 第14讲 谓词演算永真式

22. 谓词演算特有的永真式 • 4、量词辖域的扩张与收缩 • 如果B是不含有自由变元x的谓词公式，则 • xA(x)∨B┝┥x(A(x)∨B) • xA(x)∧B┝┥x(A(x)∧B) • xA(x)∨B┝┥x(A(x)∨B) • xA(x)∧B┝┥x(A(x)∧B) 应用： xA(x) ∧ yB(y) 个体域为有限集D={a1,a2,…,an} xA(x) ∧ B ┝┥ (A(a1)∨A(a2)∨… ∨A(an)) ∧ B ┝┥(A(a1) ∧ B) ∨ … ∨ (A(an)∧ B) ┝┥x(A(x) ∧ B) 第14讲 谓词演算永真式

23. 谓词演算特有的永真式 • 5、量词的分配形式 • x(A(x)∧B(x))┝┥xA(x)∧x B(x) • xA(x)∨x B(x)┝ x(A(x)∨B(x)) • x(A(x)∧B(x))┝ xA(x)∧x B(x) • x(A(x)∨B(x))┝┥xA(x)∨x B(x) 个体域为有限集D={a1,a2,…,an} x(A(x)∧B(x)) ┝┥(A(a1)∧B(a1))∧(A(a2)∧B(a2))∧…∧(A(an)∧B(an)) ┝┥(A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)) ∧(B(a1)∧B(a2)∧…∧B(an)) ┝┥xA(x)∧x B(x) 第14讲 谓词演算永真式

24. 谓词演算特有的永真式 • 5、量词的分配形式 • x(A(x)∧B(x))┝┥xA(x)∧x B(x) • xA(x)∨x B(x)┝ x(A(x)∨B(x)) • x(A(x)∧B(x))┝ xA(x)∧x B(x) • x(A(x)∨B(x))┝┥xA(x)∨x B(x) x(┐A(x)∧┐B(x))┝┥x┐A(x)∧x ┐B(x) x(┐((A(x)∨B(x)))┝┥┐xA(x)∧┐xB(x) ┐x(A(x)∨B(x))┝┥┐(xA(x)∨xB(x)) x(A(x)∨B(x))┝┥xA(x)∨xB(x) 第14讲 谓词演算永真式

25. 谓词演算特有的永真式 • 5、量词的分配形式 • x(A(x)∧B(x))┝┥xA(x)∧x B(x) • xA(x)∨x B(x)┝ x(A(x)∨B(x)) • x(A(x)∧B(x))┝ xA(x)∧x B(x) • x(A(x)∨B(x))┝┥xA(x)∨x B(x) 能否从(2)推导出(3)? x(A(x)∨B(x))┝┥xA(x)∨xB(x)？ 个体域为自然数集合；A(x):x是奇数；B(x):x是偶数 x(A(x)∨B(x))┝ xA(x)∨x B(x)不能成立 x(A(x)∧B(x))┝┥xA(x)∧xB(x)？ 个体域为自然数集合；A(x):x是奇数；B(x):x是偶数 xA(x)∧xB(x) ┝ x(A(x)∧B(x))不能成立 第14讲 谓词演算永真式

26. 谓词演算特有的永真式 • 6、关于多个量词的永真式 • xy A(x,y)┝┥yx A(x,y) • xy A(x,y) ┝ y xA(x,y) • y xA(x,y)┝ x y A(x,y) • x y A(x,y)┝ y x A(x,y) • x y A(x,y)┝┥y x A(x,y) x yA(x,y)┝┥yxA(x,y)？ 个体域为自然数集合；A(x, y): x + y = 0 x yA(x,y) ┝yxA(x,y)不能成立 第14讲 谓词演算永真式

27. 谓词演算特有的永真式 • 7、量词对→的处理 • xA(x)→B┝┥x(A(x)→B) • xA(x)→B┝┥x(A(x)→B) • B→xA(x)┝┥x(B→A(x)) • B→xA(x)┝┥x(B→A(x)) • x(A(x)→B(x))┝ xA(x)→xB(x) xA(x)→B┝┥┐xA(x)∨B ┝┥x┐A(x)∨B ┝┥x(┐A(x)∨B) ┝┥x(A(x)→B) 第14讲 谓词演算永真式

28. 谓词演算特有的永真式 • 7、量词对→的处理 • xA(x)→B┝┥x(A(x)→B) • xA(x)→B┝┥x(A(x)→B) • B→xA(x)┝┥x(B→A(x)) • B→xA(x)┝┥x(B→A(x)) • x(A(x)→B(x))┝ xA(x)→xB(x) x(A(x)→B(x))┝┥xA(x)→xB(x) x(A(x)→B(x))┝┥ x(┐A(x) ∨ B(x)) ┝┥x┐A(x) ∨xB(x) ┝┥ ┐xA(x) ∨xB(x) ┝┥ xA(x) → xB(x) 第14讲 谓词演算永真式

29. 谓词演算特有的永真式 • 7、量词对→的处理 • xA(x)→B┝┥x(A(x)→B) • xA(x)→B┝┥x(A(x)→B) • B→xA(x)┝┥x(B→A(x)) • B→xA(x)┝┥x(B→A(x)) • x(A(x)→B(x))┝ xA(x)→xB(x) xA(x)→xB(x)┝ x(A(x)→B(x)) xA(x)→xB(x) ┝┥x(A(x)→B(x))？ 个体域为大于2的自然数集合； A(x): x 为质数； B(x): x 为奇数； x(A(x)→B(x))┝ xA(x)→xB(x)不能成立 第14讲 谓词演算永真式

30. 谓词演算特有的永真式 • 7、量词对→的处理 • xA(x)→B┝┥x(A(x)→B) • xA(x)→B┝┥x(A(x)→B) • B→xA(x)┝┥x(B→A(x)) • B→xA(x)┝┥x(B→A(x)) • x(A(x)→B(x))┝ xA(x)→xB(x) x(A(x)→B(x))┝┥ xA(x)→xB(x)？ 个体域为自然数集合； A(x): x 是奇数； B(x): x 是偶数 xA(x)→xB(x)┝ x(A(x)→B(x))不能成立 第14讲 谓词演算永真式

31. 逻辑等价式的证明 证明： ┐x(A(x)∧B(x))┝┥ x(A(x)→┐B(x)) ┐x(A(x)∧B(x)) ┝┥x ┐(A(x)∧B(x)) ┐xA(x)┝┥x┐A(x) ┝┥x(┐A(x)∨┐B(x) 由┐(A∧B)┝┥┐A∨┐B ┝┥x(A(x) → ┐B(x)) 由A→B┝┥┐A∨B 证明： ┐x(A(x) →B(x))┝┥x(A(x)∧┐B(x)) ┐x(A(x)→B(x))┝┥x┐(A(x) → B(x)) 由┐xA(x)┝┥ x┐A(x) ┝┥x┐(┐A(x)∨B(x)) 由A→B┝┥┐A∨B ┝┥x(A(x)∧┐B(x)) 由┐(A∨B)┝┥┐A∧┐B 第14讲 谓词演算永真式

32. 逻辑蕴涵式的证明 证明： xA(x)→xB(x)┝ x(A(x)→B(x)) xA(x)→xB(x)) ┝┥┐xA(x)∨xB(x) 由A→B┝┥┐A∨B ┝┥x┐A(x)∨xB(x) 由┐xA(x)┝┥x┐A(x) ┝  x(┐A(x)∨B(x) ) 由xA(x)∨x B(x)┝  x(A(x)∨B(x)) ┝┥x(A(x)→B(x) ) 由A→B┝┥┐A∨B 第14讲 谓词演算永真式

33. 逻辑等价式的证明 设个体域为有限集D={a1,a2, a3}，试用消去量词的方式证明： xy(A(x)∧B(y))┝┥ yx(A(x)∧B(y)) 第14讲 谓词演算永真式

34. 本讲小结 • 主要内容 • 谓词公式的多层次真值概念 • 一些重要的谓词演算永真式 • 重点是要掌握并理解域、解释、指派等在判定谓词公式真值中的作用，掌握并能熟练应用重要的谓词演算永真式 • 作业 • P61 10(1)(2)、11、 12(1)(3)、15(2)(4)(6) 第14讲 谓词演算永真式