Download
1 / 16
551 likes | 1.53k Views
Fractali. Definiţie, caracteristici şi exemple. Scurt istoric.
E N D
Fractali Definiţie, caracteristici şi exemple
Scurt istoric • Teoria fractalilor si teoria haosului au format o nouă ramură a matematicii, facând ca aceasta să devină mai interesantă din punct de vedere al aplicaţiilor. Cu o evoluţie de aproximativ 60 ani, aceste două teorii s-au infiltrat foarte repede în lumea ştiinţei, cunoscând aplicaţii în aproape toate domeniile existente, începând cu domeniile informatice şi terminând cu aplicaţii elaborate în economie, statistică, geografie, arte plastice. Aceste două noţiuni, au început să ne ofere o nouă cale de percepere a realităţii. • Istoria fractalilor are originea în anul 1975, când apare lucrarea fondatorului geometriei fractale, Benoit Mandelbrot, “O teorie a sistemelor fractale”. Această lucrare a dus la fondarea unei noi ramuri matematice, şi anume a geometriei fractale. Geometria fractală este recunoscută ca şi o nouă ramură a matematicii, având la bază articolul lui Mandelbrot “Care este lungimea ţărmului Marii Britanii?”, ca mai apoi să devină un domeniu practic al matematicii în urma apariţiei cărţii sale “Geometria fractală a naturii ” în 1982. • Cuvântul fractal (însemnând fragmentat, fracţionat, întrerupt) a fost pentru prima dată utilizat de către Mandelbrot şi ţinea să ilustreze munca multor matematicieni dinaintea sa, care au creat fractali mai mult ca un exerciţiu matematic: Helge von Koch, Georg Cantor, Waclav Sierpinski şi David Hilbert.
Utilizări ale fractalilor • Geometria fractalilor oferă un limbaj folosit pentru a descrie, modela şi analiza forme complexe găsite în natură. • Câteva categorii pe care fractalii le pot modela sunt: • Plante • Vremea • Curgerea fluidelor • Activităţile geologice • Orbitele planetelor • Comportamentul grupurilor de animale • Tipare socio-economice • Cu ajutorul fractalilor se pot măsura textura şi complexitatea oricărui lucru, de la liniile de coastă ale oceanelor la munţi şi la norii de ploaie. Fractalii oferă un mod deosebit de observare şi modelare a unor fenomene deosebit de complexe pe care geometria euclidianăşi matematica lui Leibnitz şi Newton nu o pot reprezenta util.De asemenea, fractalii sunt exploataţi şi în artă şi arhitectură.
Caracteristici ale fractalilor • 1. AutosimilitudineaUn obiectautosimilaresteacelobiect ale căruicomponente se aseamănăcu întregul. Reiterareadetaliilorşi a modeleloraparepemăsurăcemicşorăm scaraşi poate, în cazulentităţilorpure şi abstracte, săcontinue indefinit, astfelcăfiecaredetaliu alfiecărei părţi, cânde mărit, aratăîn principiuca o anume parte fixatăa întreguluiobiect. • 2. Invarianţa la translaţiiInvarianţa la translaţii reprezintăproprietateaunuiobiect fractal de a regăsiun detaliu al său prinsuprapunereaacestuiapeste o altăzonăa fractaluluidupătranslatareape o anumitădirecţie. • 3. Fragmentare la infinitFragmentarea la infinitreprezintăproprietateaunuiobiect fractal de a genera figuriasemănătoarecu cea de pornire, indiferent de câteori se fragmenteazăobiectul.
Dimensiunea fractală • 4. Dimensiunea fractalăÎn 1918matematicianulF. Hausdorffa introdus o nouădimensiune - dimensiuneafractalăsaudimensiuneaHausdorff. Aceastădimensiunemăsoarănumărulde mulţimide diametremaimicinecesarepentru a acoperi o figură. Dacăacestnumăr esteîntreg, atuncidimensiuneaestetopologică, altfeldimensiuneaestefractală. • Alexander F. Walz consideră un fractal ca fiind o schemă copiată de o infinitate de ori într-un spaţiu finit.Dacă un obiect compus din elemente asemenea cu el are dimensiunea D, poate fi împărţit în nD elemente de rori mai mici, atunci dimensiunea sa fractală este dată de relaţia:
Exemple • Dimensiunea topologică a unui punct este 0. • Un segment de linie dreaptă mărit de 2 orieste de douăorimai mare decât segmentuliniţial; dimensiunealuitopologică estelog2/log2=1. • Un pătrat cu laturamărităde 2 ori, este de 4 orimai mare decât pătratuliniţial, iardimensiunealuiestelog4/log2=2. • Într-un cub cu latura dublatăîncap 8 cuburiiniţiale, iardimensiunealuitopologică estelog8/log2=3. • Dacă se ia o dreaptă, în care se înlocuieşterepetat __ cu _/\_, undefiecare 4 liniisunt 1/3 din lungimeavechilinii, rezultã o linie care este de 4 orimai mare şi care are dimensiunealog4/log3=1.261..., dimensiune care nu este o valoareîntreagă, fiinddeci o dimensiune fractală.
Elementele unui fractal • Un fractal conţineurmătoareleelemente: • 1. IniţiatorulIniţiatorulestefigurageometricăde la care se începegenerareafractalului.De regulăiniţiatoruleste o figură geometricăsimplă- linie, triunghi, patrat, ... • 2. Legea de construcţieLegea de construcţieoferămetoda de generare a fractalului.Easpecificăceanume se modificăla trecerea de la o iteraţiela următoarea. • 3. Procesul de generareProcesul de generareestecel care construieşteefectiviteraţiileobiectului fractal, plecândde la iteraţiacurentăşi aplicândasupraeilegea de construcţie. Fiecare iteraţie defineşte o nouă generaţie a mulţimii fractale.
Curba Koch • Iniţiatorul este un segment. • În acest caz legea de transformare impune ca segmentul să fie divizat în trei părţi egale, să fie înlăturată partea centralăşi în locul ei să se pună un triunghi echilateral fără bază. • Procesul de generare se aplică în continuare pentru fiecare segment al figurii obţinute.
Curba Koch • După un număr mai mare de iteraţii se obţine: • După infinit de mulţi paşi se obţine ceea ce se numeşte Fractalul lui Koch. Această curbă este de lungime infinită şi are o dimensiune proprie între 1 şi 2. Este un obiect "ciudat" pentru gândirea unui om neobişnuit să lucreze în abstract. Nu este o dreaptă, dar nici o suprafaţă, întrucât are dimensiunea fractală caracteristică între 1 şi 2: Df = Ln(4) / Ln(3) = 1.26185........
Fulgul lui Koch • Trei copii ale curbei Koch puse împreunăîn jurul laturilor unui triunghi echilateral formează o curbă simplăînchisă, care constituie Fulgul lui Koch( "fulgul de zăpadă" al lui Koch)sau insula lui Koch. Are aceeaşi dimensiune fractală cu linia lui Koch.
Suprafaţa lui Koch în 3D • Procedeul de generare folosit la fulgul lui Koch poate fi extins în mod natural şi în spaţiul 3D. Modelul obţinut se numeşte suprafaţa lui Koch şi are dimensiunea fractală log(6)/log(2) = 2.5849
Praful lui Cantor • O altă variantă la fel de cunoscută în lumea fractalilor este praful lui Cantor. Ideea de generare este aceeaşi. Se porneşte de la un iniţiator ce este şi în acest caz un segment de dreaptă. Legea de generare presupune doar îndepărtarea treimii din mijloc a segmentului. • În acest mod, prin repetarea la nesfârşit a legii, se obţine o structură alcătuită dintr-un set de puncte, structură caracterizată printr-o dimensiune dată de relaţia: Df = Ln(2) / Ln(3) = 0.63092.....Din nou o structură particulară, cu dimensiune intermediară cazurilor cunoscute de geometria euclidiană.Nici de dimensiune zero, specifică punctului, dar nici de dimensiune 1, specifică liniei, ci 0.63092...
Arbori fractali binari • Arborele binar fractal are ca iniţiator tot un segment de lungime d (trunchiul arborelui). • Legea de generare înseamnă ramificarea trunchiului cu două ramuri simetrice, de lungime d2=d/2. • Procesul de generare presupune, la iteraţia k, ramificarea ultimelor ramuri de lungime dk cu două noi ramuri, dispuse simetric, de lungime dk+1=dk/2
Arbore binar fractal variabil • Arborele fractal binar variabil îşi schimbă şi unghiul dintre ramuri la fiecare iteraţie:
Exemple de fractali Turnul Eiffel, construit la Paris înglobează ideea de fractal în materialele folosite Generarea elementelor de relief, munţi, râuri şi atmosferă nori, fulgere Suprafaţa creierului Structura plămânului şi multe altele!!
