第一章

1. 第一章 函数与极限 — 研究对象 函数 极限 — 研究方法 分析基础 连续 — 研究桥梁

2. 第一节 映射与函数 一、集合 二、映射 三、函数

3. 几个逻辑符号 表示“对任意一个”，“对每一个” 表示“存在一个”，“至少有一个” 表示“蕴含”，“可推出” 表示“当且仅当”，“充分必要”，“等价” 满足

4. ( 或 ) . 一、 集合 1. 定义及表示法 简称集 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 简称元 组成集合的事物称为元素. 元素 a 属于集合 , 记作 元素 a 不属于集合 , 记作 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 例如,

5. 表示法： (1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 自然数集 (2) 描述法： x所具有的特征 例: 整数集合 或 p 与 q互质 有理数集 实数集合 x 为有理数或无理数

6. 2. 集合之间的关系及运算 设有集合 则称 A 若 定义2 . 必有 是 B 的子集, 或称 B 包含 A , 记作 例如, 且 则称 A与 B相等, 若 记作 例如 则 显然有下列关系 :

7. B B (x,y) y x A 集合的并： A 集合的交： 集合的差： 集合的直积：

8. 3. 区间 定义3 . 区间是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 开区间 闭区间 半开区间 无限区间

9. 4.邻域 设 与 是两个实数，且 ，称数集 定义4. 为点 的 邻域. 记作： 其中, a称为邻域中心 , 称为邻域半径 . 去心邻域 左  邻域 : 右 邻域 :

10. 二、 映射 引例1. 按一定规则编学号 学号的集合 某校学生的集合 按一定规则入座 某班学生的集合 座位的集合

11. 引例2. 投影点 点 (点集) 引例3. (点集) 向 y轴投影

12. 设 X , Y是两个非空集合, 若存在一个对应规 定义4. 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应, 则称 f为从 X到 Y的映射, 记作 元素y称为元素 x在映射f 下的像, 记作 元素x 称为元素 y在映射f下的原像. 集合 X称为映射 f的定义域 ; Y的子集 称为 f的 值域. 注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x的像 y是唯一的, 但 y的原像不一定唯一.

13. 对映射 若 则称 f为满射; 引例2, 3 若 有 则称 f为单射; 引例2 若 f 既是满射又是单射, 则称 f为双射 或一一映射. 引例2

14. 说明: 映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用 名称. 例如: f 称为X上的泛函 X (≠ ) Y (数集) f 称为X上的变换 X (≠ ) X X (数集 或点集) R f 称为定义在 X上的函数

15. 三、函数 1. 函数的概念 则称映射 为定义在 定义5. 设数集 D上的函数 , 记为 定义域 因变量 自变量 称为值域 函数图形:

16. (对应规则) (值域) (定义域) • 定义域: 使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域； 对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域. 解析法 、图像法 、列表法 • 对应规律的表示方法: 例: 绝对值函数 定义域 值域

17. 写出 f (x) 的定义域及值域, 并求 及 例4. 已知函数 f (x) 的定义域 解: 值域

18. y . x 0 2 1 2. 函数的几种特性 (1) 函数的有界性 称为一个上界 (下) (下) y 有下界 有上界 x

19. 则称函数 在 上有界，否则称无界. 例如： 有界 的一个上界 的一个下界

20. 注意：讨论函数是否有界，必须指明讨论区域 . 若对任意正数 M , 均存在 使 x 0 2 1 则称 无界. 例如： 有界？ 无界？ 内无界， 内有界。

21. (2) 单调性 设函数 的定义域为 ， 区间 且 为 I上的 为 I上的 单调增函数; 单调减函数; 称 称 y y o o x x

22. (3) 函数的奇偶性 设 D 关于原点对称，对于 ， 则称 为奇函数， 则称 为偶函数， y y -x x o x x -x o x 偶函数 奇函数 关于原点对称 关于y轴对称

23. 为奇函数时, 若 在 x = 0 有定义 , 则当 说明I : 必有 说明II: 给定 则 偶函数 奇函数

24. (4) 周期性 则称 若 且 为周期函数, ( 一般指最小正周期 ). 称l为周期 周期为 周期为  周期？ 说明：周期函数的定义域必然是无穷延伸的 问题：定义在整个实数轴上？

25. 说明I： 周期函数的定义域必然是无穷延伸的. 说明II： 周期函数的定义域未必是 R. 说明III：周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 x为有理数 狄利克雷函数 x 为无理数 任何一个正有理数都是它的周期 最小的正有理数不存在！

26. 3. 函数的四则运算 设 例： 定义域 D=？

27. 4. 反函数 为单射, 若函数 此时， 则 使得: 习惯上记为 此映射 称为函数 的反函数. D D

28. 反函数的求法： 由于习惯上用 x表示自变量，故重新标记变量得到 即为所求。 的反函数.

29. 性质I：函数与其反函数的图形关于直线 对称. 性质II 若函数 单调递增(减)， 则其反函数 存在， 且同为单调递增（递减）的图形

30. 2 5. 复合函数 称为中间变量

31. 定义：设 的定义域为 在D 上有 定义，且 ， 则 称为由 和 构成的复合函数， 记为： x: 自变量，u：中间变量 ， y：因变量 D: 定义域 约定: 为了简单起见, 书写复合函数时不一定写出其 定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合 函数的条件.

32. 说明： a. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的; b.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成； c. 复合运算不满足交换律, 无意义

33. 复合函数的求法（代入法，分析法） 1. 代入法 例: 解:

34. 2. 分析法（关键抓住最外层函数定义域的区间段） 例 解:

35. 综上所述

36. 6. 初等函数 1. 基本初等函数 指数函数, 对数函数 常值函数， 幂函数, 三角函数, 反三角函数 2. 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合 步骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为 初等函数 . 否则称为非初等函数. 一般不是！ 问题: 分段函数是否为初等函数? 故为初等函数. 但 可表为

37. y x O y 1 x o -1 几个特殊函数: (1) 绝对值函数 (2) 符号函数

38. y 4 3 2 1 x o -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y -1 -2 -3 -4 1 • x o 无理数点 有理数点 (3) 取整函数 y=[x] [x] 表示不超过 x 的最大整数 如:[5.3]=5, [-4.5]= -5. 根据定义有： 阶梯曲线 (4) 狄利克雷函数 x为有理数 x为无理数

39. (5) 取最值函数 x为有理数 x为有理数 x为无理数 x为无理数 x为有理数 x为无理数 x为有理数 x为无理数

40. 内容小结 基本概念:集合, 区间, 邻域, 映射, 函数， 函数的定义域 函数的初等性质: 有界性、单调性、奇偶性、周期性. 函数的初等运算: 四则运算、复合运算、反函数运算. 基本初等函数，初等函数

41. 思考题 设： 函数值 求：函数 的解析表达式

42. 思考题解答 设 则 故

43. 作 业 • P21： 4 (3,6,8,10) ,8,12(3,5), 15(2,4),16 作业提交时间：2012年10月08日上午8:00

44. 提高题 且 时 1. 设 其中 a, b, c为常数, 且 证明 为奇函数 . 证:令 则 由 消去 得 为奇函数 . 显然

45. 2 . 设函数 的图形与 是周期函数. 均对称, 求证 由 证: 的对称性知 于是 周期为 故 是周期函数 ,