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新竹縣中小學 資訊融入數學領域數位補助教材

康軒版七年級下學期 第三章第三節 正比與反比. 新竹縣中小學 資訊融入數學領域數位補助教材. 正比的意義. ＜ 關係式 ＞ ：觀察日常生活中的數量變化情形，會發現存在某種 關係，描述這種關係的算式稱為關係式。. 情況 1 一條 100 公分的繩子，剪成兩段，各為 x 和 y 公分， 則關係式為. X ＋ Y ＝ 100 。. 情況 2 香蕉一斤 24 元，買 x 斤，花 y 元，則關係式為. Y ＝ 24 X 。.

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  1. 康軒版七年級下學期 第三章第三節 正比與反比 新竹縣中小學資訊融入數學領域數位補助教材 本著作係依據創用 CC 姓名標示-非商業性-相同方式分享 2.5 台灣 授權條款進行授權。如欲瀏覽本授權條款之副本， 請造訪 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/tw/ ，或寄信至 Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA或 http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/tw/。本教材裡的題目皆取材自康軒版課本

  2. 正比的意義 ＜關係式＞：觀察日常生活中的數量變化情形，會發現存在某種 關係，描述這種關係的算式稱為關係式。 • 情況1 一條100公分的繩子，剪成兩段，各為x和y公分， 則關係式為 X＋Y＝100。 • 情況2 香蕉一斤24元，買x斤，花y元，則關係式為 Y＝24 X 。 • 情況3 一個長方體體積2500立方公分，長方體底面積x平方公分，高 y公分，則關係式為 XY＝2500。 • 常數：像上面關係式中的100、24與2500，是一個固定的數。 • 變數：像上面關係式中的x與y，是可依情況變動的數。

  3. 矩形長 1 2 3 4 5 …. 矩形面積 …. 4 8 12 16 20 正比的意義 若將一個矩形的寬固定為4公分，利用調整矩形長的長度， 計算出矩形的面積，如下表所示： • 當矩形長變為2倍、3倍、4倍、…時，矩形面積也同時變為2倍、3倍、4倍、…；相反的，當矩形長變為（ 1/2）、（ 1/3）倍、…時，矩形面積也同時變為（ 1/2）、（ 1/3）倍、…。 這時我們說矩形長和矩形面積成正比。 • 矩形長：矩形面積＝1：4；換句話說矩形長÷矩形面積的比值＝（1/4），是一個固定的值。 • 若矩形長Xcm，矩形面積Ycm，則Y＝4X。 ＜重點＞當X改變時，Y也隨著改變， 而且保持Y是X的某固定倍數，以k表示（k ≠0）， 我們可說y與x成正比，關係式可寫成y=kx或（y/x）=k。

  4. X 1 2 3 4 5 3 9 12 15 Y 6 X -2 -4 -6 -8 -10 1 5 7 9 Y 3 X 2 -4 6 -8 10 -5 -15 20 -25 Y 10 正比的判斷 ＜例1＞請從下列表格中，選出x和y成正比者。 （1） 因為x÷y的比值皆為 1/3 表示x和y成正比。 （2） 因為x÷y比值非固定值，表示x和y不成正比。 （3） 因為x÷y的比值皆為 -2/5 表示x和y成正比。

  5. 攝氏度數 0 5 10 15 20 25 32 41 50 59 華氏度數 68 77 正比的實例 ＜例2＞氣溫有攝氏度數、華氏度數兩種表示方式， 它們的關係式：華氏度數＝（9/5）× 攝氏度數 ＋32 請問華氏度數與攝氏度數是否成正比？ 我們可完成下表。 但是每一組華氏度數 ÷ 攝氏度數不是一個固定比值！ 因此華氏度數與攝氏度數不成正比。

  6. 正比的判斷 ＜隨堂練習＞假設兩個變數x、y滿足3x＝2y， 則x、y是否成正比？ 3x＝2y → y ＝1.5 x → y ÷ x＝（ 1.5 x ）÷x＝1.5 是一個固定比值！ 因此x與y成正比。

  7. 正比的實例 ＜例3＞若以x代表圓的半徑，y代表圓面積， 則圓面積是否與半徑成正比？ 又或者圓面積是否與半徑平方成正比？ 我們知道圓面積＝π（圓周率）× 半徑平方。 所以圓面積 ÷ 半徑＝π（圓周率）× 半徑 非一個固定比值，因為半徑會有變動！ 因此圓面積不與半徑成正比。 但是圓面積 ÷ 半徑平方＝π（圓周率） 是一個固定比值！ 因此圓面積與半徑平方成正比。

  8. 正比的實例 ＜隨堂練習＞若以x代表圓的半徑，y代表圓周長， 則圓周長是否與半徑成正比？ 我們知道圓周長＝2π（圓周率）× 半徑。 所以圓周長 ÷ 半徑＝2π（圓周率） 是一個固定比值！ 因此圓周長與半徑平方成正比。

  9. 正比的計算 ＜例4＞（1）已知x與y成正比，當x＝3，y＝5 當x＝10，y是多少？ 因為x與y成正比，所以y÷x的比值固定。 所以 y÷x＝5/3 關係式為 y＝（5/3）x 將x＝10 代入關係式y＝（5/3）x 所以 y＝50/3

  10. 正比的計算 ＜例4＞（2）已知a與b成正比，當b＝2，a＝－6 當b＝－3，a是多少？ 因為a與b成正比，所以b÷a的比值固定。 所以 b÷a＝2/－6＝1/－3 關係式為 b＝（－1/3）a 將b＝－3 代入關係式b＝（－1/3）a 所以 a＝9

  11. 正比的計算 ＜隨堂練習＞已知x與y成正比，當x＝3，y＝7 當x＝10，y是多少？ 因為x與y成正比，所以y÷x的比值固定。 所以 y÷x＝7/3 關係式為 y＝（7/3）x 將x＝10 代入關係式y＝（7/3）x 所以 y＝70/3

  12. 正比的實例 ＜動動腦＞說說看下面的敘述是否正確？ （1）當x的值越大時，y的值也隨著增加，則表示x和y成正比。 （2）當y＝（1/2）x，則x的值越大時，y的值也隨著增加。 （3）當y＝（-1/2）x，則x的值越大時，y的值也隨著增加。 （1）不一定， 因為像當y＝x＋1，若x的值越大時，y的值也隨著增加， 但相除所得的比值不一定固定。 （2）YES，因為當x＝0 → y＝1 當x＝1 → y＝2 …… 所以x的值越大時，y的值也隨著增加！ （3）NO，因為當x＝2 → y＝- 1 當x＝4 → y＝- 2 …… 所以x的值越大時，y的值反而隨著減少！

  13. 時 速 x 1 2 3 4 5 …. …. 時 間 y 200 100 200/3 50 40 反比的意義 若行駛距離固定為200公里，某車時速x公里，總共需要花y小時，則時速x與時間y的關係式為XY＝200 ，如下表所示： • 當時速變為2倍、3倍、4倍、…時；所花的時間也同時變為（ 1/2）、 （ 1/3）倍、… ；相反的，當時速變為（ 1/2）、（ 1/3）倍、 …時，所花的時間也同時變為2、3倍、…。 這時我們說時速和所花的時間成反比。 • 所行駛的距離是固定的；換句話說時速和所花時間的乘積＝200，是一個固定的值。 • 若時速X公里，所花的時間Y小時，則XY＝200。 ＜重點＞當X改變時，Y也隨著改變， 而且X 和Y的乘積為固定值，以k表示（k ≠0）， 我們可說y與x成反比，關係式可寫成xy=k或y=k（1/x）。

  14. X 1 2 3 4 5 60 20 15 12 Y 30 X -2 -4 -6 -8 -10 18 14 12 10 Y 16 X 3 -6 9 -12 15 6 2 -1.5 1.2 Y -3 反比的判斷 ＜例5＞請從下列表格中，選出x和y成反比者。 （1） 因為x和y的關係式為 xy＝60 表示x和y成反比。 （2） 因為x和y乘積非固定值，表示x和y不成反比。 （3） 因為x和y的關係式為 xy＝18 表示x和y成反比。

  15. 反比的實例 ＜例6＞請從下列敘述中，選出x和y成反比者。 （1）以每天讀x頁的速度，讀了y天，讀完一本總共有625頁的書。 因為x和y的關係式為xy＝625 表示x和y成反比。 （2）有個直角三角形，不是直角的其他兩個角分別為x度、y度。 因為x和y的關係式為x＋y＝90 x和y乘積非固定值，表示x和y不成反比。 （3）有個圓形，半徑為x公分，面積為y平方公分。 因為x和y的關係式為 πx2＝y x和y乘積非固定值，表示x和y不成反比。

  16. 反比的實例 ＜隨堂練習＞請從下列敘述中，選出x和y成反比者。 （1）彤彤每月存x元，讀了y個月，總共存10000元。 因為x和y的關係式為xy＝10000 表示x和y成反比。 （2）x、y任意兩個非零的數，滿足3：x＝y：（－5）。 因為x和y的關係式為xy＝－15 表示x和y成反比。

  17. 反比的實例 ＜例7＞小日參加12000公尺的馬拉松比賽， 若他跑步的速率以每分鐘x公尺來表示， 所需時間y 分鐘，請完成下列各題。 （1）x和y是否成反比？ 因為速率乘以時間等於距離， 所以關係式為xy＝12000 表示x和y成反比。 （2）若每分鐘跑400公尺，要花多久時間？ 將x＝400 代入關係式xy＝12000 所以y＝30 也就是要花30分鐘。

  18. 反比的實例 ＜隨堂練習＞台北至台中距離約160公里， 若開車的速率以每小時x公里來表示， 所需時間y 小時，請完成下列各題。 （1）x和y是否成反比？ 因為速率乘以時間等於距離， 所以關係式為xy＝160 表示x和y成反比。 （2）若等速花兩小時到達，則時速多少？ 將y＝2 代入關係式xy＝160 所以x＝80 也就是要每小時80公里。

  19. 反比的計算 ＜例8＞已知x與y成反比，x＝14/3，y＝-6/7 （1）當x ＝-10 ，y是多少？ （2）當y ＝1/2 ，x是多少？ 因為x與y成反比，所以x × y的乘積固定。 所以x×y＝（14 /3 ）×（－6/ 7） 關係式為xy＝－4 將x＝-10 代入關係式xy＝－4 所以y＝0.4 將y＝1/2 代入關係式xy＝－4 所以x＝－8

  20. 反比的計算 ＜隨堂練習＞已知x與y成反比，x＝3，y＝7 當x ＝10 ，y是多少？ 因為x與y成反比，所以x × y的乘積固定。 所以x×y＝3 × 7 關係式為xy＝21 將x＝10 代入關係式xy＝21 所以y＝2.1

  21. 反比的實例 ＜動動腦＞說說看下面的敘述是否正確？ （1）當xy＝12，x和y皆正數， 則x的值越大時，y的值是否隨著減少 （2）當xy＝-12，x為正數， 則x的值越大時，y的值是否隨著減少？ （1）YES，因為當x＝1 → y＝12 當x＝2 → y＝6 …… 所以x的值越大時，y的值也隨著減少！ （2）NO，因為當x＝1 → y＝- 12 當x＝2 → y＝- 6 …… 所以x的值越大時，y的值反而隨著增加！

  22. 正反比的重點整理 本節概念 1.關係式：觀察日常生活中的數量變化情形，會發現存在某種 關係，描述這種關係的算式稱為關係式。 2.正比：當X改變時，Y也隨著改變， 而且保持Y是X的某固定倍數，以k表示（k ≠0）， 我們可說y與x成正比， 關係式可寫成y=kx 或（y/x）=k。 3.反比：當X改變時，Y也隨著改變， 而且X 和Y的乘積為固定值，以k表示（k ≠0）， 我們可說y與x成反比， 關係式可寫成xy=k 或y=k（1/x）。

  23. Thank You ! 本著作係依據創用 CC 姓名標示-非商業性-相同方式分享 2.5 台灣 授權條款進行授權。如欲瀏覽本授權條款之副本， 請造訪 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/tw/ ，或寄信至 Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA或 http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/tw/。本教材裡的題目皆取材自康軒版課本

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