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第四章 稳恒磁场. 主要内容. 1. 磁的基本现象和基本规律 2. 载流回路的磁场 3. 磁场的高斯定理与安培环路定理 4. 磁场对载流导线的作用 5. 带电粒子在磁场中的运动. §4.1 磁的基本现象和基本规律 1. 磁的基本现象 2. 磁场 3. 安培定律 4. 磁感应强度矢量 B. 4.1.1 磁的基本现象. 人类对磁现象的认识是很早的，最早发现的磁现象是天然磁石吸铁的现象。指南针是我国古代的伟大发明之一，对世界文明的发展有重大影响。.
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主要内容 1.磁的基本现象和基本规律 2.载流回路的磁场 3.磁场的高斯定理与安培环路定理 4.磁场对载流导线的作用 5.带电粒子在磁场中的运动
§4.1 磁的基本现象和基本规律 1. 磁的基本现象 2. 磁场 3. 安培定律 4. 磁感应强度矢量B
4.1.1磁的基本现象 人类对磁现象的认识是很早的，最早发现的磁现象是天然磁石吸铁的现象。指南针是我国古代的伟大发明之一，对世界文明的发展有重大影响。 一块磁体上磁性特别强的区域，叫做磁极。任何磁体都有两极：南极（S）和北极（N），若将条形磁铁切断，无论切成几段，每一段都具有一个北极和一个南极，其他的磁体也具有这个性质，这表明磁体不存在独立的N极或S极，但是有独立存在的正电荷或负电荷，这是磁极与电荷的基本区别。
大量实验证明磁铁和磁铁，磁铁和电流，以及电流和电流之间存在相互作用。大量实验证明磁铁和磁铁，磁铁和电流，以及电流和电流之间存在相互作用。 1.磁铁和磁铁间的相互作用 将一根磁铁悬挂起来使它能够自由转动，并用另一根磁铁去接近它，可以发现，同号的磁极相互排斥，异号的磁极相互吸引。 2.电流对磁铁的作用力（奥斯特实验） 导线沿南北方向放置，下面有一可在水平面内自由转动的磁针。当导线中没有电流通过时，磁针在地磁场的作用下沿南北取向. 当导线中通有电流时, 磁针就会发生偏转。上述实验表明，电流可以对磁铁施加作用力。
3.磁铁对电流的作用力 把一段水平直导线悬挂在马蹄形磁铁两极间，通电后，导线就会移动。这表明磁铁可以对载流导线施加作用力。 4.电流对电流的作用力 把两根细直导线平行的悬挂起来，当电流通过导线时，便可发现它们之间有相互作用。当电流方向相同时，它们相互吸引，当电流方向相反时，它们相互排斥。
4.1.2 磁场 如第一章所述，静止电荷之间的作用力是通过电场来实现的，而电场的基本性质是对于任何置于其中的电荷施加力的作用。这就是说电的作用是近距的。磁极和电流之间的相互作用也是这样，不过它是通过另外一种场—磁场来传递。磁极或电流在自己周围空间产生一个磁场，而磁场的基本性质之一是它对任何置于其中的其它磁极或电流施加作用力。因此用磁场的观点我们就可以把磁铁和磁铁，磁铁和电流，以及电流和电流之间的相互作用的各个实验统一起来了。
4.1.3 安培定律 正象点电荷之间相互作用的规律—库仑定律是静电场的基本规律一样，电流之间的相互作用是稳恒磁场的基本规律。这个规律是安培通过精心设计的实验得到的，称之为安培定律。 我们把相互作用着的两个载流回路分割为许多无穷小的线元，叫电流元，只要知道了任意一对电流元之间相互作用的基本规律，整个闭合回路受的力便可通过矢量迭加计算出来。但在实验中无法实现一个孤立的稳恒电流元，从而无法直接用实验来确定它们的相互作用。
从而只能间接的从闭合载流回路的实验中推得。这里我们只给出结论：从而只能间接的从闭合载流回路的实验中推得。这里我们只给出结论： 此式为安培定律的完整的表达形式。将式中的下标1和2对调，即可得电流元2对电流元1的作用力的表达式。
4.1.4磁感应强度矢量B 为了定量的描述电场的分布时我们曾引入电场强度矢量E的概念。同样，为了定量的描述磁场的分布，我们也需引入一个矢量。在引入电场强度矢量时我们从库仑定律出发。 式中F为点电荷q1给 q2的力，将q2看成是试探电荷，则上式可写为 这就是电场强度的定义。
然而在磁场强度里相当于静电库仑定律的是安培定律。安培定律的表达形式为然而在磁场强度里相当于静电库仑定律的是安培定律。安培定律的表达形式为 现在把电流元 看成是试探电流元。则整个回路对试探电流元的作用应是上式对 的积分：
将上式拆成两部分得 式中的B叫磁感应强度矢量。 上式为B的定义式。
若只讨论矢量的数值，则上式变为 此式说明当我们把试探电流元放在磁场中某处时，它受到的力与试探电流元的取向有关。在某个特殊方向上以及与之相反的方向上，受力为0，将试探电流元旋转 ，受的力达到最大。
我们定义空间这一点的磁感应强度大小为 此时矢量B的方向沿试探电流元不受力的取向。按照此定义，B的单位为牛顿/安培·米。这个单位有个专有名称叫特斯拉，用T表示。1特斯拉=1牛顿/安培·米。
§4.2 载流回路的磁场 1.毕奥－萨伐尔定律 2.载流直导线的磁场 3.载流圆线圈轴线上的磁场 4.载流螺线管中的磁场
4.2.1 毕奥－萨伐尔定律 上节末已指出，载流导线产生磁场的基本规律是毕奥－萨伐尔定律。 写成微分形式有 它的积分形式为
下面我们利用上两式来计算一些特殊形式的载流回路产生的磁场。下面我们利用上两式来计算一些特殊形式的载流回路产生的磁场。 1.载流直导线的磁场 考虑在直导线旁任意一点p的磁感应强度。根据毕奥－萨伐尔定律可以看出，任意电流元产生的磁场方向都一致。因此总磁感应强度大小等于dB的代数和。对于有限的一段导线A1A2来说
将式中的积分变量L换为θ得到 若导线无限长，则 以上结果表明，在载流无限长直导线周围的磁感应强度与距离的一次方成反比。
2.载流圆线圈轴线上的磁场 设圆线圈的中心为O，半径为R，在直径两端电流元产生的元磁场对称，合成后垂直于轴线方向的分量相互抵消，因此只需计算沿轴线方向的磁场分量。对于整个圆周来说也一样，总的磁感应强度沿轴线方向。即利用毕奥－萨伐尔定律，对于轴上的P点，得公式
下面我们考虑两个特殊情形： 1.在圆心处： 2.r>>R时，
3.载流螺线管中的磁场 设螺线管的半径为R，总长度为L，单位内的匝数n，每点在场点P产生的磁感应强度都沿轴线方向，其大小可由下式计算 因此，整个螺线管在P点产生的磁场强度为
令 的几何意义见下图
把上面的螺线管积分变量L换为β，则有， 下面我们考虑两种特殊的情形： 1.无限长螺线管 2.在半无限长螺线管的一端
§4.3 磁场的高斯定理与安培环路定理 1.磁场的高斯定理 2.磁场的安培环路定理
4.3.1 磁场的高斯定理 仿照第一章中引入电通量的办法，我们规定通过一个曲面S的磁感应通量为 反过来，我们也可以把磁感应强度看成是通过单位面积上的磁通量，即磁通密度。
由于载流导线产生的磁感应线是无始无终的闭合线，由于载流导线产生的磁感应线是无始无终的闭合线， 可以想象，从一个闭合S的某处穿进的磁感应线必定要从另一处穿出，所以通过任意闭合S 的磁通量恒等于0，既 我们把这个结论叫做磁场的高斯定理。
4.3.2 磁场的安培环路定理 （1）安培环路定理的形式 在稳恒电流的磁场中，磁感应强度B沿任何闭合回路L的线积分，等于穿过这回路的所有电流强度代数和的 倍，数学表达式为：
（2）安培环路定理的应用 正如高斯定理可以帮助我们计算某些具有一定对称性的带电体的电场分布一样，安培环路定理也可以帮助我们计算某些具有一定对称性的载流导线的磁场分布： 首先分析磁场的对称性，根据电流的分布来分析; 之后，过场点选取合适的闭合积分路径； 选好积分回路的取向，确定回路内电流的正负； 最后由安培环路定理求出B。
★ 注意事项： 1.符号规定：电流方向与L的环绕方向服从右手关 系的I为正，否则为负。 2.安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。3.B的环流与电流分布有关，但路径上B仍是闭合路 径内外电流的合贡献。 4.物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。
§4.4磁场对载流导线的作用 1.安培力 2.平行无限长直导线间的相互作用 3.矩形载流线圈在均匀磁场中所受的力矩 4.载流线圈的磁矩
4.4.1 安培力 安培力形式为 写成矢量式为 此式既是一个电流元Idl在外磁场B中受力的基本规律，又是定义磁感应强度B的依据。这个力 就叫安培力，此公式叫安培公式。利用安培公式可以计算各种形式的载流回路在外磁场中所受的力和力矩。
4.4.2两平行无限长直导线间的相互作用 设两导线的垂直距离为d，其中电流强度分别为I1，I2，导线1在导线2处产生的磁感应强度为 其方向与导线垂直。导线2的一段受到的力大小为
反过来，导线2产生的磁场作用在导线1上的一段的力的大小为反过来，导线2产生的磁场作用在导线1上的一段的力的大小为 因此，单位长度导线上的作用力的大小为
4.4.3 矩形载流线圈在均匀磁场中 所受的力矩 在均匀磁场中，有一刚性矩形载流线圈abcd，它的边长分别为l1和l2，电流为I。设 电流绕行方向的右手螺旋方向与B方向之间的夹角为φ 。 对于导线ad段和bc段，作用力的大小相等、方向相反，并且在同一直线上，所以它们的合力及合力矩都为零。而导线ab段和cd段所受磁场作用力的大小则分别为F2= F2′=BIL2。
这两个力大小相等、方向相反，但不在同一直线上，因此磁场作用在线圈上的磁力矩的大小为:这两个力大小相等、方向相反，但不在同一直线上，因此磁场作用在线圈上的磁力矩的大小为:
4.4.4 载流线圈的磁矩 考虑线圈的磁矩 ，则上式矢量表示为: 如果线圈有N匝，那么其所受的磁力矩应为
考虑下述几种特殊情况： （1）当θ=0°时，线圈平面与B垂直， M=0 ，此时线 圈处于稳定平衡状态；（2）当θ=90°时，线圈平面与B平行， M=MMAX=NBLS ；（3）当θ=180°时，线圈平面与B垂直，但载流线圈 的方向与B的方向相反，M=0，此时线圈是处于不 稳定平衡状态。总之，磁场对载流线圈作用的磁 力矩，总是使磁矩M转到磁感强度B的方向上。
§4.5带电粒子在磁场中的运动 1. 2. 3.带电粒子在均匀磁场中的运动 4.荷质比的测定 5.霍耳效应 洛伦兹力 洛伦兹力与安培力的关系
4.5.1 洛伦兹力 洛伦兹力:运动电荷在磁场中所受的力。实验证明，运动带电粒子在磁场中受的力F与粒子的电荷q、它的速度v、磁感应强度B有如下关系： 按照矢径的定义，上式表明，F的大小为:
θ为v与B之间的夹角；F的方向与v和B构成的平面垂直（如图）。θ为v与B之间的夹角；F的方向与v和B构成的平面垂直（如图）。 而且F的方向与电荷q的正负也有关系。由于洛伦兹力的方向总与带电粒子速度的方向垂直，洛伦兹力永远不对粒子作功。它只改变粒子运动的方向而不改变它的速率和动能。
4.5.2 洛伦兹力与安培力的关系 安培力是作用在自由电子上洛伦兹力的宏观表现。如图，考虑一段长度为ΔI的金属导线，它放置在垂直纸面向内的磁场中。设导线中通有电流I，其方向向上。
从微观的角度看，电流是由导体中的自由电子向下作定向运动形成的。设自由电子的定向运动速度为u，导体单位体积内的自由电子数为（自由电子数密度）n，每个电子所带的电量为-e。所以根据电流的定义:从微观的角度看，电流是由导体中的自由电子向下作定向运动形成的。设自由电子的定向运动速度为u，导体单位体积内的自由电子数为（自由电子数密度）n，每个电子所带的电量为-e。所以根据电流的定义: 由于这里电子的定向速度u与磁感应强度B垂直，所以，每个电子由于定向运动受到的洛伦兹力为f=euB。
虽然这个力作用在金属内的自由电子上，但是自由电子不会越出金属导线，它所获得的冲量最终都会传递给金属的晶格骨架。虽然这个力作用在金属内的自由电子上，但是自由电子不会越出金属导线，它所获得的冲量最终都会传递给金属的晶格骨架。 宏观上看来将是金属导线本身受到这个力。整个长度为Δl的这段导线的体积为SΔl，其中包含自由电子的总数为nSΔl，每个电子受力f=euB，所以这段导线最终受到的总力为F=nSΔleuB=B(enSu)Δl。 而I=enSu，所以F=BIΔl。这正好是安培力。
4.5.3 带电粒子在均匀磁场中的运动 （1）粒子的初速v垂直于B:由于洛伦兹力永远垂直于粒 子的速度，它只改变粒子运动的方向，但不改变 其速率v，因此粒子将在平面内作匀速圆周运动。 设粒子的质量为m，根据牛顿第二定律：f=ma， 有:
所以R=mv/qB。运动周期为 f叫做带电粒子在磁场中的回旋共振频率。回旋共振频率与粒子的速率和回旋半径（又称拉摩半径）无关。
4.5.4 何质比的测定: 利用电子（或其它带电粒子）在磁场中偏转的特性，可以测定出它们的电荷与质量之比，即所谓荷质比。 （1）汤姆孙测电子的何质比的方法:
如上图，玻璃管内抽成真空，阳极A与阴极K之间维持数千伏特的电压，靠管内残存气体的离子在阴极引起的二次发射产生电子流。阳极A和第二个金属屏A'的中央各有一个小孔，在K、A之间被加速了的电子流，只有很窄一束能够通过这个孔。如果没有玻璃管中部的那些装置，狭窄的电子束依靠惯性前进，直射在玻璃管另一端的荧光屏S的中央，形成一个光点O。 C、D为电容器的两极板，在它们中间可产生一个竖直方向的电场。在圆形区域里，可由管外的电磁铁产生一方向垂直纸面的磁场。适当调节电场与磁场的强度，可使它们作用在电子上的力达到平衡即 eE=evB,或v=E/B。 由E和B的数值可以测出电子流的速度v。再将电场切断，电子束在磁场区内将沿圆弧运动，R=mv/qB，因而电子的何质比为 ，半径R可以直接从仪器上来确定。
如上图，用磁聚焦法测荷质比装置的一种。真空玻璃管中装有热阴极K和有小孔的阳极A，在A、K之间加电压ΔU时，由阳极小孔射出的电子的动能为 ，从而其速率为 。在电容器C上加一不大的横向交变电场，使不同时刻通过这里的电子发生不同程度的偏转。在电容器C和荧光屏S之间加一均匀纵向磁场，如上所述，电子从C出来后将沿螺旋线运动，到 的地方聚焦。适当的调节B的大小，可使电子流的焦点刚好落在荧光屏S上。这时，h就等于C到S间的距离l，于是从上述h与v的表达式中消去v即得 ，上式右端各量都可以测出，由此即可确定e/m。
