DISTIBUZIONE BINOMIALE

1. DISTIBUZIONE BINOMIALE Probabilità di un numero limitato di successi

2. variabile casuale di Bernoulli Supponiamo di fare un esperimento con appena 2 risultati possibili. Gli esempi comuni sono: passare/fallire un esame vincere/perdere al gioco Osservare testa/croce lanciando una moneta includere una persona in una lista [fumatori | non fumatori] vivere/morire a causa di un ricovero in ospedale Si consideri una variabile casuale dicotomica. La variabile deve assumere uno di due possibili valori; questi risultati mutuamente esclusivi possono essere, ad esempio: [maschio o femmina], [salute o malattia]. Per semplicità, vengono spesso indicati come [“insuccesso” e “successo”]. Una variabile di questo tipo è nota come variabile casuale di Bernoulli.

3. La distribuzione binomiale La distribuzione binomiale {x} è la distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta… tale che … Il valore della variabile casuale sia il “numero di successi in una serie di esperimenti identici ed indipendenti”, Se, per esempio,l’esperimento consiste nel lancio di una moneta. Sia X = il numero di teste che deriva da una serie di n=10 lanci. Allora la variabile casuale X segue una distribuzione binomiale. La distribuzione binomiale più semplice deriva da un singola lancio di una moneta. Un tale esperimento è denominato una “prova di Bernoulli” e la variabile casuale che corrisponde al numero di successi è denominata una variabile di Bernoulli.

4. Le prove di Bernoulli e la distribuzione binomiale Un esperimento che consiste di singolo lancio di una moneta, o una singola classificazione è denominato una prova di Bernoulli. Se l'esperimento (o prova) è ripetuto piò volte e le ripetizioni sono indipendenti tra loro, allora la distribuzione di probabilità della variabile casuale X= # dei successi in n prove indipendenti di Bernoulli è denominata “distribuzione binomiale”.

5. Una distribuzione è binomiale quando: Il risultato di ogni prova è uno di 2 risultati, riferito spesso come un successo|fallimento. La probabilità p di successo è la stessa in ogni prova. Le prove sono indipendenti: il risultato di una prova non ha influenza sul risultato di un'altra prova.

6. Studiamo la distribuzione binomiale La distribuzione binomiale è semplicemente una distribuzione discreta di probabilità. Possiamo studiare la distribuzione scrivendo i risultati possibili nello spazio dei campioni e determinando la loro probabilità. Cominciamo con un esempio semplice nel quale una moneta è gettata due volte. Poi studiamo la possibilità di gettare la moneta n=3 volte. Ciò induce a provare a generalizzare la probabilità di quale risultato avremmo se la moneta fosse lanciata n=4 volte, o persino di più volte.

7. Esempio 1 Assumiamo … di eseguire un esperimento che consiste nel lancio una moneta n=2 volte e contare le teste {H}, che i lanci siano indipendenti. la moneta non sia viziata, che P(H)=0.5 = probabilità di una testa in un lancio. Rappresentiamo il risultato di 2 lanci come {esito 1°lancio esito 2°lancio}. lo Spazio dei Campioni: ({ HH }, { HT }, { TH }, { TT }). Per l’indipendenza: P({HH})=P(H nel 1°lancio)P(H nel 2°lancio) =0.25. Definiamo la variabile casuale X pari al numero di teste osservate. Allora:

8. Esempio 2: Un esperimento consiste nel selezionare due allievi di una classe (n=2) ed osservare quanti di loro hanno ricevuto A in un esame. Sia che il secondo allievo selezionato abbia o non abbia ricevuto A questo evento non dipende dal risultato del il primo allievo (i risultati sono indipendenti). Inoltre si supponga che la probabilità di ricevere A sia P(A)=0.2. Determiniamo la distribuzione binomiale per il numero di A ?. Rappresentiamo il risultato delle due selezioni come {1° alunno, 2° alunno }. Rappresentiamo il grado A con la lettera A ed il “not A” con la lettera B

9. Esempio 2 Spazio dei campioni: ({AA}, {AB}, {BA}, {BB}). Poichè i lanci sono indipendenti : P({AA}) = P(A 1° alunno ) P(A 2° alunno) = 0.04. P({AB}) = P(A 1° alunno ) P(B 2° alunno) = 0.16. P({BA}) = P(B 1° alunno ) P(A 2° alunno) = 0.16. P({BB}) = P(B 1° alunno ) P(B 2° alunno) = 0.64. Definiamo una variabile casuale X pari alllo score A osservato. Allora: Evento. x Risultati P(X=x) P(X¡?x). 0 {BB} 0.64 0.64. 1 {AB, BA} 0.32 0.96. 2 {AA} 0.04 1.00.

10. Esempio 3 Un esperimento consiste nel selezionare a caso n=3 annotazioni in un pronto soccorso d'ospedale e vedere se il paziente ha una polizza di assicurazione contro le malattie. Poniamo che le selezioni siano prove di Bernoulli con la probabilità P=0.6 di avere una polizza di assicurazione contro le malattie. Q=0.4 = probabilità che un paziente non abbia assicurazione contro le malattie. Rappresentiamo il risultato delle tre selezioni come {1° risultato di selezione, 2° risultato di selezione, 3°risultato di selezione }. In fine, sia: X= numero di pazienti con polizza di assicurazione, e rappresentiamo gli eventi: Y= il paziente con polizza di assicurazione. N= il paziente senza polizza di assicurazione.

11. Distribuzione Binomiale di X Poiché le prove sono indipendenti : P(YYY)=P(Y) P(Y) P(Y) =PPP=(0.6)(0.6)(0.6)=0.216 P(YYN)=P(Y) P(Y) P(N) =PPQ=(0.6)(0.6)(0.4)=0.144 P(YNY)=P(Y) P(N) P(Y) =PQP=(0.6)(0.4)(0.6)=0.144 P(NYY)=P(N) P(Y) P(Y) =QPP=(0.4)(0.6)(0.6)=0.144 P(YNN)=P(Y) P(N) P(N) =PQQ=(0.6)(0.4)(0.4)=0.096 etc. Lista di tutti i possibli pz , e, Prob(#pz con polizza). x Risultato P(X=x) 0 {NNN} 0.064 1 {YNN} 0.096 1 {NYN} 0.096 1 {NNY} 0.096 2 {YYN} 0.144 2 {YNY} 0.144 2 {NYY} 0.144 3 {YYY} 0.216 x Risultato P(X=x) P(X¡?x) 0 {NNN} 0.064 0.064 1 {YNN},{NYN},{NNY} 3(0.096)=0.288 0.352 2 {YYN},{YNY},{NYY} 3(0.144)=0.432 0.784 3 {YYY} 0.216 1.000

12. Esempio 4a. Supponiamo che una “NEVICATA” capiti prima del 10 settembre circa una volta ogni 10 anni. Durante i prossimi 5 anni, quante volte si verifi- cherà una NEVICATA prima del 10 settembre ? Sia X = # di annate con una NEVICATA durante prossimi 5 anni. Assumiamo per X una Distribuzione Binomiale, con n=5, P=0.10, Q=0.9. Qual è la distribuzione di X? Possiamo generalizzare i risultati? (Sia Y= NEVICATA, N= NEVICATA assente.). Ci sono due fattori che agiscono sulle probabilità. A. Un fattore è la probabilità del risultato. B. L'altro fattore è il numero di possibili risultati differenti.

13. Esempio 4a. A. La probabilità dei risultati : {YNYNN} allora X=2, P(YNYNN)=PQPQQ=(PP)(QQQ)= P2Q3 {NNYYN} allora X=2, P(NNYYN)=QQPPQ=(PP)(QQQ))= P2Q3 In generale, con n prove, la probabilità di un risultato è : Px Q(n-x)=Px (1-P)(n-x) B. Quanti risultati differenti possono verificarsi? Ogni tipo di evento x può accadere … un numero di volte = nCx

14. Teminologia Notazione Fattoriale: N! si legge: N fattoriale ed è uguale a: N! = N(N-1)(N-2)(N-3)…(4)(3)(2)(1). Ad esempio, 3!=3(2)(1)=6. Nota: Per definizione 0!=1.

15. Esempio 1a: Supponiamo che ci siano 4 sedie nella prima fila in un'aula.  ? Quattro allievi entrano nell’aula e ciascuno si siede in una delle sedie.  ? In quanti modi differenti possono sedere gli allievi nelle sedie?  ? Questo numero è il numero di permutazioni.  ? Riferiamo gli allievi come: A, B, C e D ed elencano tutte le permutazioni.

16. Esempio 4a. Si suppone che una NEVICATA si presenti circa una volta prima del 10 settembre ogni 10 anni. Durante i 5 anni futuri, quante volte si verificherà una NEVICATA prima del 10 settembre? Sia X = # di annate con una NEVICATA durante prossimi 5 anni. Assumiamo per X una Distribuzione Binomiale, con n=5, P=0.10, Q=0.9. Qual è la distribuzione di X? (Sia Y= NEVICA , N= NON NEVICA.). Le probabilità binomiali sono date da …

17. la fluttuazione casuale in un campione e la distribuzione binomiale CAMPIONAMENTO DA UNA POPOLAZIONE CON DISTRIBUZIONE BINOMIALE

18. la fluttuazione casuale in un campione e la distribuzione binomiale

19. Ora ci poniamo la domanda:conoscendo P, cioè la proporzione effettiva della popolazione di origi-ne, che cosa possiamo prevedere circa la proporzione p che incontre-remo in un campione estratto a caso?

20. In un’estrazione di 10 individui sono possibili 11 risultati:

22. Binom(x,p=0.3;n=10)

23. Binom(x,p=0.3;n=10)

24. Somma[Binom(x,p=0.3;n=10)] per {7 ? x ? 10}

25. Somma[Binom(x,p=0.3;n=10)] per {0 ? x ? 6}

27. Regione critica di rifiuto Nell’esempio citato abbiamo stabilito la regione critica al livello di probabilità di 1,06%. Se accettiamo qualche rischio supplementare, possiamo include-re nella regione di rifiuto il campione contenente 0 individui di tipo A, campione che ha 2,82% probabilità di presentarsi. In questo caso, la regione di “non significatività” sarà rappresen-tata dai campioni comprendenti fra 1 e 6 individui di tipo A. La regione di “significatività” sarà rappresentata dalle 2 “code” della distribuzione, l’una a sinistra (0 di tipo A) e l’altra a destra (da 7 a 10 di tipo A).

28. Stima dei parametri A ciascuno dei 50 polli di un allevamento furono somministrate sei uova infettate da heterakis gallinarum. La tabella mostra i dati dell’esperimento dopo che i polli furono sacrificati.

29. Bontà di adattamento